數學試卷考生注意：本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．所有試題均在答題卡上作答，否則無效．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項．1.（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查有理數的加法，絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，據此計算即可．熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：，故選：D．2.根據國家統計局的數據，2024年中國生產芯片約451420000000顆，彰顯了中國芯片產業的強大實力．數據451420000000用科學記數法可以表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查科學記數法表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：．故選：C．3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查同底數冪除法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，利用同底數冪除法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方法則逐項判斷即可．熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意，B、，故此選項不符合題意，C、，故此選項不符合題意，D、，故此選項符合題意，故選：D．4.如圖1，三根木條a，b，c相交成，，固定木條b，c，將木條a繞點A順時針轉動至如圖2所示，使木條a與木條b平行，則可將木條a旋轉（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，平行線的性質，根據兩直線平行同位角相等，求出旋轉后的度數，然后用旋轉前的度數減去旋轉后的度數即可得到木條旋轉的度數．根據平行線的性質求出旋轉后的度數是解題的關鍵．【詳解】解：如圖2所示，，旋轉后的，要使木條與平行，木條繞點順時針旋轉的度數可以是．故選：A．5.關于x的一元二次方程有兩個實數根，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了根據方程根的情況求參，根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．根據方程有兩個實數根得到，然后解關于的不等式即可．【詳解】解：對于方程，其根的判別式為：，∵方程有兩個實數根，∴，即，解得，故選：B．6.如圖，一個多邊形紙片的內角和為，按圖示的剪法剪去一個內角后，所得新多邊形的邊數為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】A【解析】【分析】本題考查了多邊形內角和問題，設原多邊形的邊數為，根據內角和可解得，按圖示的剪法剪去一個內角后，新多邊形的邊數比原多邊形的邊數多1，即可解答，熟知多邊形內角和公式是解題的關鍵．【詳解】解：設原多邊形的邊數為，則可得，解得，按圖示的剪法剪去一個內角后，新多邊形的邊數比原多邊形的邊數多1，為，故選：A．7.如圖，四邊形內接于，，連接，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查圓內接四邊形的性質、圓周角定理，根據圓內接四邊形的性質得到，根據得到，即可得到的度數．關鍵是根據圓內接四邊形的性質得到解答．【詳解】解：由圓內接四邊形的性質可知：，，，∵，．故選：C．8.習近平總書記致首屆全民閱讀大會舉辦的賀信指出：閱讀是人類獲取知識、啟智增慧、培養道德的重要途徑，可以讓人得到思想啟發，樹立崇高理想，涵養浩然之氣．中華民族自古提倡閱讀，講究格物致知、誠意正心，傳承中華民族生生不息的精神，塑造中國人民自信自強的品格．如圖是某網站連續多年對其用戶書籍閱讀量的統計圖，下列結論錯誤的是（）A.2022年，人均紙質書籍閱讀量為5本B.2023年，人均電子書籍閱讀量為11本C.2024年，人均電子書籍閱讀量是人均紙質書籍閱讀量的3倍D.2016年至2024年，人均電子書籍閱讀量逐年上升【答案】C【解析】【分析】本題考查條形統計圖，根據條形統計圖逐項判斷即可．從圖形中讀取有效信息是解題關鍵．【詳解】解：由統計圖可知，2022年人均紙質書籍閱讀量為5本，故A正確，不符合題意；2023年人均電子書籍閱讀量為11本，故B正確，不符合題意；2024年人均電子書籍閱讀量為12.3本，人均紙質書籍閱讀量為5.3本，，年人均電子書籍閱讀量不是人均紙質書籍閱讀量的3倍，故C錯誤，符合題意；2016年至2024年人均電子書籍閱讀量是逐年上升的，故D正確，不符合題意．故選：C．9.如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置，噴頭M向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關系式是，則水流噴出的最大高度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數的實際應用，把函數解析式化為頂點式，由函數性質求最大值．解題的關鍵是從實際問題中抽象出二次函數模型，難度中等．【詳解】解：，，當時，取最大值，最大值為，即2.75米，故選：B．10.如圖1，在等腰直角三角形中，，點D為邊的中點．動點P從點A出發，沿邊方向勻速運動，運動到點B時停止．設點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到的中點時，的長為（）A.2 B.2.5 C. D.4【答案】A【解析】【分析】本題考查了根據函數圖象得到信息，三角形中位線，等腰直角三角形，根據運動軌跡可得的面積先增大，再減小，當點P運動到點時，的面積最大，此時的面積為，即可求得，再利用三角形中位線定理即可解答，得到當點P運動到點時，的面積最大是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意動點P從點A出發，沿邊方向勻速運動過程中，的面積先增大，再減小，當點P運動到點時，的面積最大，根據函數圖象可得此時的面積為，如圖，，點D為邊的中點，等腰直角三角形,，可得，當點P運動到的中點時，如圖，，點D為邊的中點，，故選：A．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：______．【答案】##【解析】【分析】本題考查因式分解，直接利用完全平方公式進行因式分解即可．熟練掌握因式分解的方法，是解題的關鍵．【詳解】解：；故答案為：．12.方程的解是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查解分式方程，將分式方程轉化為整式方程，求解后，進行檢驗即可．【詳解】解：，去分母，得：，解得：；經檢驗是原方程的解，故答案為：．13.已知點，在反比例函數的圖象上，如果，那么_______（請寫出一個符合條件的k值）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質，根據點，在反比例函數的圖象上，且，得到在同一象限內隨著的增大而減小，進而得到圖象過一，三象限，得到，即可．【詳解】解：∵點，在反比例函數的圖象上，又∵，，∴在同一象限內隨著的增大而減小，∴雙曲線過一，三象限，∴，∴（答案不唯一）；故答案為：1（答案不唯一）．14.如圖，把平行四邊形紙片沿對角線折疊，點B落在點處，與相交于點E，此時恰為等邊三角形．若，則_______．【答案】12【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，折疊得到，平行線的性質，得到，進而得到，等邊三角形的性質，結合三角形的外角推出，進而得到，再根據含30度角的直角三角形的性質，得到即可．【詳解】解：∵折疊，∴，∵平行四邊形紙片，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：1215.“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．風箏古稱紙鳶，起源于春秋戰國時期，風箏制作技藝已被列入國家非物質文化遺產名錄．為豐富校園生活，某校開展風箏制作活動，小言和哥哥制作了一大一小兩個形狀相同的風箏，風箏的形狀如圖所示，其中對角線．已知大、小風箏的對應邊之比為，如果小風箏兩條對角線的長分別為和，那么大風箏兩條對角線長的和為________．【答案】195【解析】【分析】本題考查了相似多邊形的應用，證明大風箏和小風箏相似，相似比為，即可解決問題．熟練掌握相似多邊形的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】解：小言和哥哥制作了一大一小兩個形狀相同的風箏，大、小風箏的對應邊之比為，大風箏和小風箏相似，相似比為，大風箏兩條對角線長：小風箏兩條對角線長，大風箏兩條對角線的長分別為和，大風箏兩條對角線長的和為，故答案為：195．16.勾股樹是一個可以無限生長的樹形圖形，它既展示了數學中的精確與秩序，還蘊含了自然界的生長與繁衍之美．如圖是勾股樹及它的形成過程，其中第1個圖形是正方形，第2個圖形是以這個正方形的邊長為斜邊在其外部構造一個直角三角形，再以這個直角三角形的兩條直角邊為邊長，分別向外生成兩個新的正方形，重復上述步驟得到第3個圖形，……，則第5個圖形中共有_______個正方形．【答案】31【解析】【分析】本題考查圖形類規律探究，觀察可知，第一個圖形有1個正方形，第2個圖形有個正方形，第3個圖形有個正方形，依次類推求出第5個圖形中小正方形的個數即可．【詳解】解：由圖可知：第一個圖形有1個正方形，第2個圖形有個正方形，第3個圖形有個正方形，∴第5個圖形中共有個正方形，故答案為：31．三、解答題：本大題共6小題，共46分．解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算，先化簡二次根式，進行乘法運算，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．18.解不等式組：【答案】【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定出不等式組的解集．正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知確定不等式組解集的原則是解答此題的關鍵．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得，不等式組的解集為．19.化簡：．【答案】【解析】【分析】本題考查分式的混合運算，除法變乘法，約分化簡后，進行同分母的分式的加法運算即可．熟練掌握相關運算法則，是解題的關鍵．【詳解】解：原式．20.如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學與功能上成熟于宋代，北宋建筑學家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術典籍之一．如圖2是古人根據《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設計圖，月洞門呈圓弧形，用表示，點O是所在圓的圓心，是月洞門的橫跨，是月洞門的拱高．現在我們也可以用尺規作圖的方法作出月洞門的設計圖．如圖3，已知月洞門的橫跨為，拱高的長度為a．作法如下：①作線段的垂直平分線，垂足為D；②在射線上截取；③連接，作線段的垂直平分線交于點O；④以點O為圓心，的長為半徑作．則就是所要作的圓弧．請你依據以上步驟，用尺規作圖的方法在圖3中作出月洞門的設計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】圖見解析【解析】【分析】本題考查尺規作圖—復雜作圖，熟練掌握尺規作線段，作垂線的方法是解題的關鍵，根據題干給定的作圖步驟，結合尺規作垂線和作線段的方法作圖即可．【詳解】解：由題意，作圖如下，即為所求；21.如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤被等分成3個扇形，分別涂有“紅、白、藍”三種顏色，轉盤指針固定．轉動轉盤、等轉盤停止轉動后，觀察指針所落區域的顏色．若指針落在區域分界線上，則重新轉動轉盤．（1）任意轉動轉盤一次，指針落在紅色區域的概率為_______；（2）任意轉動轉盤兩次（第一次轉動轉盤，等轉盤停止轉動后，再第二次轉動轉盤），用畫樹狀圖或列表的方法求指針所落區域顏色不同的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查幾何概率，利用列表法求概率，正確的列出表格，熟練掌握概率公式，是解題的關鍵：（1）直接利用概率公式進行計算即可；（2）列出表格，利用概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：由圖可知，任意轉動轉盤一次，指針落在紅色區域的概率為；故答案為：；【小問2詳解】列表：第二次第一次紅白藍紅（紅，紅）（紅，白）（紅，藍）白（白，紅）（白，白）（白，藍）藍（藍，紅）（藍，白）（藍，藍）共有9種等可能結果，顏色不同的結果有6種，．22.如圖1，位于嘉峪關的長城第一墩，又稱天下第一墩，是明代萬里長城最西端的一座墩臺，始建于明嘉靖十八年（1539年）．該墩臺雄踞于討賴河峽谷的懸崖之上，扼守絲綢之路咽喉要道，與嘉峪關長城、懸壁長城共同構成河西走廊的軍事防御體系．隨著歲月的變遷和自然的風化，長城第一墩的高度在慢慢降低．為了解長城第一墩的現存高度，某校同學們開展了“測量長城第一墩高度”的綜合實踐活動．如圖2是他們測量長城第一墩高度AB的示意圖，點A為最高點，點B，F，D是地面同一直線上的三個點（點D，F都在保護柵欄外），在D，F處分別用測角儀測得．，，其中（測角儀的高度），，求長城第一墩的高度（結果精確到）．（參考數據：，，，，，）【答案】長城第一墩的高度為【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．設，分別解，求出的長，再根據線段的和差關系列出方程求出的值，再利用，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，設，在中，，在中，，∵，∴，解得：，∴，∴；答：長城第一墩的高度為．四、解答題：本大題共5小題，共50分．解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．23.某校要從甲、乙兩位射擊隊員中挑選一人參加比賽．在最近10次的選拔賽中，他們的射擊成績（單位：環）信息如下：信息一：甲、乙隊員的射擊成績甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8信息二：甲、乙隊員射擊成績的部分統計量隊員平均數中位數眾數方差甲8.38n2.01乙8.3m91.61根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m，n的值：_______，_______；（2）_______隊員在射擊選拔賽中發揮的更穩定（填“甲”或“乙”）；（3）小瑜認為甲、乙兩人射擊成績的平均數一樣，推薦哪位隊員參賽都可以．你認為他說的對嗎？請說明理由（寫出一條合理的理由即可）．【答案】（1）（2）乙（3）不對，理由見解析（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】本題考查求中位數，眾數，利用方差判斷穩定形，利用方差作決策，熟練掌握相關數據的計算方法和表示意義，是解題的關鍵：（1）將乙中數據排序后，第5個和第6個數據的平均數即為中位數，甲中數據出現次數最多的為眾數，求出的值即可；（2）根據方差判斷穩定性即可；（3）根據方差作決策即可．【小問1詳解】解：乙中數據排序后，第5個和第6個數據分別為：和，∴；甲中數據出現次數最多的是，故；故答案為：；【小問2詳解】由表格可知：甲的方差大于乙的方差，∴乙隊員在射擊選拔賽中發揮的更穩定；故答案為：乙；【小問3詳解】小瑜說的不對，理由如下：兩人成績的平均數相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙隊員發揮更穩定，故應選乙隊員參賽．24.如圖，一次函數的圖象交x軸于點A，交反比例函數的圖象于點．將一次函數的圖象向下平移個單位長度，所得的圖象交x軸于點C．（1）求反比例函數的表達式；（2）當的面積為3時，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及了求反比例函數解析式、一次函數圖象平移問題等知識點，熟記相關結論即可；（1）由題意得：點在一次函數的圖象上，可求出，即可求解；（2）對于一次函數，令求出；一次函數的圖象向下平移個單位長度后的解析式為：；求出，即可求解；【小問1詳解】解：由題意得：點在一次函數的圖象上，∴，∴；∵在反比例函數的圖象上，∴，∴反比例函數的表達式為；小問2詳解】解：對于一次函數，令，則；∴；一次函數圖象向下平移個單位長度后的解析式為：；對于一次函數，令，則；∴；∴；解得：25.如圖，四邊形的頂點A，B，C在上，，直徑與弦相交于點F、點D是延長線上的一點且．（1）求證：是的切線；（2）若四邊形是平行四邊形，．求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識點，熟練掌握切線的判定方法，圓周角定理，是解題的關鍵．（1）連接，根據圓周角定理得到，推出，根據等邊對等角，推出，根據直徑得到，進而得到，繼而得到，即，即可得證；（2）由平行四邊形的性質得到，根據，得到，求出的長，證明是菱形，得到為等邊三角形，進而得到，解，求出的長即可．【小問1詳解】證明：如圖1，連接，，，．，．是的直徑，，即．，，即．為的半徑，是的切線．【小問2詳解】解：如圖2，四邊形是平行四邊形，．又，，．，是菱形，．為等邊三角形，∴．在中，．26.四邊形是正方形，點E是邊上一動點（點D除外），是直角三角形，，點G在的延長線上．（1）如圖1，當點E與點A重合，且點F在邊上時，寫出和的數量關系，并說明理由；（2）如圖2，當點E與點A不重合，且點F在正方形內部時，的延長線與的延長線交于點P，如果，寫出和的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，寫出和的數量關系，并說明理由．【答案】（1），理由見解析（2），理由見解析（3），理由見解析【解析】【分析】（1）根據正方形的性質，證明，即可得出結論；（2）根據正方形的性質，證明，即可得出結論；（3）作，得到，平行線分線段成比例得到，進而得到為的中位線，得到，根據，得到，進而得到，勾股定理得到，再根據，即可得出結論．【小問1詳解】解：，理由如下：∵正方形，∴，∵是直角三角形，，∴，當點E與點A重合時，則：，∴，又∵，∴，∴；【小問2詳解】∵正方形，∴，∵點G在的延長線上，的延長線與的延長線交于點P，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴；【小問3詳解】，理由如下：由（2）可知：，∴，，作于點，則：，∴，∴，∴，∵，∴為的中位線，∴，∵，，∴，又∵，∴，在中，由勾股定理，得：，∵，∴．【點睛】本題考查正方形性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，三角形的中位線定理，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，證明三角形全等，添加輔助線構造特殊圖形，是解題的關鍵．27.如圖1，拋物線分別與x軸，y軸交于A，兩點，M為的中點．（1）求拋物線的表達式；（2）連接，過點M作的垂線，交于點C