高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇錫常鎮四市2025屆高三下學期教學情況調研（二）數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，，故，所以，又，故.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.3.詩歌朗誦比賽共有八位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從8個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評分相比，一定不變的數字特征是（）A.極差 B.平均數 C.中位數 D.標準差【答案】C【解析】根據題意，將8個數據從小到大排列，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評分相比，最中間的兩個分數不變，而最高分、最低分、平均分、標準差都有可能發生變化，因此一定不變的數字特征是中位數.故選：C.4.已知圓：，將直線：繞原點按順時針方向旋轉后得到直線，則（）A.直線過圓心 B.直線與圓相交，但不過圓心C.直線與圓相切 D.直線與圓無公共點【答案】B【解析】直線：即，斜率為，傾斜角為，將直線繞原點順時針方向旋轉得到直線，則直線的傾斜角為，所以直線的方程為，即，圓：的圓心坐標為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相交但不過圓心.

故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由與聯立，結合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故選：B.6.已知等比數列的公比，前項和為，則對于，下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，，，，，A錯；，B錯；，C錯；一般情況，時，，，，，此時；時，，左邊，右邊左邊，D對；故選：D．7.已知函數和的定義域均為.若是奇函數，是偶函數，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是奇函數，則，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故選：D.8.一個底面邊長和側棱長均為4的正三棱柱密閉容器，其中盛有一定體積的水，當底面水平放置時，水面高為.當側面水平放置時（如圖），容器內的水形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點均在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：，如圖，，而，，，即，由于到距離，則到距離，設正方形外接圓圓心，則設矩形外接圓圓心，則，設外接球半徑，，故外接球表面積為，故選;A.方法二：由當底面水平放置時，水面高為可知容器內的空氣占容器體積的，于是側放時，圖中的空氣區域的“小三棱柱”的體積為容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面積為大三角形的，則邊長之比為，即“小三角形”邊長為1.然后如圖：設圓的半徑為，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.的展開式中，則（）A.的系數為 B.第3項與第4項的二項式系數相等C.所有項的二項式系數和為32 D.所有項的系數和為32【答案】ABC【解析】A選項，展開式第項，時，，A對；B選項，第3項二項式系數為，第4項的二項式系數為，兩者相同，B對.C選項，所有項二項式系數和為，C對.D選項，時，，即所有項的系數和為，D錯；故選：ABC10.已知函數，則（）A.的圖象關于點對稱B.的最小正周期為C.的最小值為D.在上有四個不同的實數解【答案】BD【解析】方法一：由，則，，則，所以不可能關于對稱，A錯誤；因為函數的最小正周期為，函數的最小正周期為，則的最小正周期為，B正確；當時，，當時，；當時，，作出函數大致圖象，如圖，則，C錯誤，在有4個根，D正確.方法二：由，作出和的圖像，取位于上方的部分即可：由圖可知，AC錯誤，B正確，對于D，計算知與在內的交點坐標為，而，結合函數的圖象特征可知函數與圖象在內有四個交點，所以在上有四個不同的實數解，故D正確.故選：BD.11.已知為曲線：上一個動點（異于原點），在處的切線是指曲線在處的切線.直線為在處的切線，過作的垂線，若，分別與軸交于，兩點，則（）A.關于軸對稱B.到點的距離不小于到直線的距離C.存在，使得D.當取得最小值時，直線的斜率為【答案】ACD【解析】A，若點滿足方程，則點也滿足方程，則關于軸對稱，故A正確；B，設，則，則到點的距離，到直線的距離，則，當時，，即，所以B錯誤；C，設，則，因，則，則曲線在點處切線斜率為，所以直線為，直線為，所以，，可得，，則因，故存在，使得時，故C正確；D，由C選項可知，，等號成立時，，即，此時的斜率為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，若，則實數的值為______.【答案】【解析】，，，.故答案為：13.在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，焦距長為.若和拋物線交于，兩點，且為正三角形，則的離心率為______.【答案】【解析】由對稱性知、關于軸對稱，為正三角形，則由正三角形對稱性可知、為與拋物線的交點，聯立與得或0（舍去），當時，，故其中一個交點為，設雙曲線方程為，故，解得，在雙曲線上，，，故離心率為；故答案為：14.已知隨機變量，相互獨立，且，，則______；若，則______.【答案】①.②.【解析】，，.并利用，記原式，倒序相加.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某種產品可以采用甲、乙兩種工藝來生產，為了研究產品的質量與所采用的生產工藝的關聯性，現對該種產品進行隨機抽查，得到的結果如下表所示.工藝甲工藝乙合計合格6040100不合格203050合計8070150（1）依據小概率值的獨立性檢驗，分析產品的質量是否與采用的工藝有關；（2）在不合格的50件樣本產品中任選3件，求在這3件樣本產品中至少有1件是采用工藝甲生產的條件下，這3件樣本產品中恰有一件是采用工藝乙生產的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設：產品的質量與采用的工藝無關，根據小概率值的獨立性檢驗，產品的質量與采用的工藝有關.（2）記事件為3件樣本產品中至少有1件是采用工藝甲，事件為這3件樣本產品中恰有一件是采用工藝乙..16.如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：，，，由余弦定理得，，，，又，，平面，平面；（2）解：平面，平面，且，二面角平面角為，而，，等邊三角形，以為坐標原點，所在直線分別為軸，所在平面為平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，由，，，，設平面的一個法向量，，解得，令，則，故，設與平面所成角為，.17.已知橢圓：的離心率為，且經過點.，是的左、右焦點.（1）求的標準方程；（2）過的直線與交于，兩點.若的內切圓半徑為，，求的值.解：（1）設橢圓的半焦距為，由離心率為，得，令，，橢圓：過點，則，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，設直線方程為，，，由消去得，，，，，而，，則，解得，所以.18.已知函數，，.（1）若曲線在點的切線也是曲線的切線，求的值；（2）討論函數在區間上的單調性；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由已知得，，在點處的切線方程為.設與切于，，，則過該點的切線方程為：，整理得，由于該切線與重合，則.（1）由，求導得，①當時，，，在上單調遞增；②當時，令當時，，在區間上單調遞減，當時，，在區間上單調遞增③當時，令當時，，在區間上單調遞增；當時，，在區間上單調遞減（3）由題意得，即對恒成立.令，，令，，因為，，若，則在處的切線必然是上升的，又因為，所以當且靠近的函數值滿足，此時就有，從而可推導在且靠近的附近是遞增的，又因為，所以在且靠近的附近必有則必然不滿足對恒有，所以要滿足對恒有，首先必需滿足在且靠近的附近，所以滿足，從而可得參數滿足的必要條件是；下面再證充分性，當，時，則，即有，又構造，，可得，所以在區間上單調遞增，即，則可知，則，恒成立，符合題意，綜上：的取值范圍為.19.若無窮數列滿足：，，，則稱為“均值遞減數列”.（1）已知無窮數列的前項和為，若為“均值遞減數列”，求證：，；（2）若數列的通項公式，判斷是否為“均值遞減數列”，并說明理由；（3）若兩個正項數列和均為“均值遞減數列”，證明：數列也為“均值遞減數列”.（1）證明：法一：；法二：為“均值遞減數列”，關于單調遞減，即關于單調遞減，，；（2）解：法一：設的前項和為，令，則，判別式小于零，所以遞減，因此是“均值遞減數列”；法二：易知時，單調遞減；時，單調遞增且時，當時，單調遞減且，且計算易得，設前項和為，歸納假設，，時，，即，即，，，即，，時，成立.而成立，對且恒成立，也有，即為“均值遞減數列”；（3）證明：法一：設依題意，均為遞減數列，而，相乘展開得，由于，，則由補充不等式有，所以，求和得，由（1）的結論知，，所以，于是再由（1）的結論即可知是“均值遞減數列”；法二：設的前項和為，的前項和為，和均為均值遞減數列，由（1）知對恒成立，由①②知，，記的前項和為，證對，，時不等式顯然成立，設當，時，成立，即，，，，，即時，不等式也成立，對恒成立，也為“均值遞減數列”.江蘇省蘇錫常鎮四市2025屆高三下學期教學情況調研（二）數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，，故，所以，又，故.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.3.詩歌朗誦比賽共有八位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從8個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評分相比，一定不變的數字特征是（）A.極差 B.平均數 C.中位數 D.標準差【答案】C【解析】根據題意，將8個數據從小到大排列，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評分相比，最中間的兩個分數不變，而最高分、最低分、平均分、標準差都有可能發生變化，因此一定不變的數字特征是中位數.故選：C.4.已知圓：，將直線：繞原點按順時針方向旋轉后得到直線，則（）A.直線過圓心 B.直線與圓相交，但不過圓心C.直線與圓相切 D.直線與圓無公共點【答案】B【解析】直線：即，斜率為，傾斜角為，將直線繞原點順時針方向旋轉得到直線，則直線的傾斜角為，所以直線的方程為，即，圓：的圓心坐標為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相交但不過圓心.

故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由與聯立，結合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故選：B.6.已知等比數列的公比，前項和為，則對于，下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，，，，，A錯；，B錯；，C錯；一般情況，時，，，，，此時；時，，左邊，右邊左邊，D對；故選：D．7.已知函數和的定義域均為.若是奇函數，是偶函數，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是奇函數，則，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故選：D.8.一個底面邊長和側棱長均為4的正三棱柱密閉容器，其中盛有一定體積的水，當底面水平放置時，水面高為.當側面水平放置時（如圖），容器內的水形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點均在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：，如圖，，而，，，即，由于到距離，則到距離，設正方形外接圓圓心，則設矩形外接圓圓心，則，設外接球半徑，，故外接球表面積為，故選;A.方法二：由當底面水平放置時，水面高為可知容器內的空氣占容器體積的，于是側放時，圖中的空氣區域的“小三棱柱”的體積為容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面積為大三角形的，則邊長之比為，即“小三角形”邊長為1.然后如圖：設圓的半徑為，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.的展開式中，則（）A.的系數為 B.第3項與第4項的二項式系數相等C.所有項的二項式系數和為32 D.所有項的系數和為32【答案】ABC【解析】A選項，展開式第項，時，，A對；B選項，第3項二項式系數為，第4項的二項式系數為，兩者相同，B對.C選項，所有項二項式系數和為，C對.D選項，時，，即所有項的系數和為，D錯；故選：ABC10.已知函數，則（）A.的圖象關于點對稱B.的最小正周期為C.的最小值為D.在上有四個不同的實數解【答案】BD【解析】方法一：由，則，，則，所以不可能關于對稱，A錯誤；因為函數的最小正周期為，函數的最小正周期為，則的最小正周期為，B正確；當時，，當時，；當時，，作出函數大致圖象，如圖，則，C錯誤，在有4個根，D正確.方法二：由，作出和的圖像，取位于上方的部分即可：由圖可知，AC錯誤，B正確，對于D，計算知與在內的交點坐標為，而，結合函數的圖象特征可知函數與圖象在內有四個交點，所以在上有四個不同的實數解，故D正確.故選：BD.11.已知為曲線：上一個動點（異于原點），在處的切線是指曲線在處的切線.直線為在處的切線，過作的垂線，若，分別與軸交于，兩點，則（）A.關于軸對稱B.到點的距離不小于到直線的距離C.存在，使得D.當取得最小值時，直線的斜率為【答案】ACD【解析】A，若點滿足方程，則點也滿足方程，則關于軸對稱，故A正確；B，設，則，則到點的距離，到直線的距離，則，當時，，即，所以B錯誤；C，設，則，因，則，則曲線在點處切線斜率為，所以直線為，直線為，所以，，可得，，則因，故存在，使得時，故C正確；D，由C選項可知，，等號成立時，，即，此時的斜率為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，若，則實數的值為______.【答案】【解析】，，，.故答案為：13.在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，焦距長為.若和拋物線交于，兩點，且為正三角形，則的離心率為______.【答案】【解析】由對稱性知、關于軸對稱，為正三角形，則由正三角形對稱性可知、為與拋物線的交點，聯立與得或0（舍去），當時，，故其中一個交點為，設雙曲線方程為，故，解得，在雙曲線上，，，故離心率為；故答案為：14.已知隨機變量，相互獨立，且，，則______；若，則______.【答案】①.②.【解析】，，.并利用，記原式，倒序相加.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某種產品可以采用甲、乙兩種工藝來生產，為了研究產品的質量與所采用的生產工藝的關聯性，現對該種產品進行隨機抽查，得到的結果如下表所示.工藝甲工藝乙合計合格6040100不合格203050合計8070150（1）依據小概率值的獨立性檢驗，分析產品的質量是否與采用的工藝有關；（2）在不合格的50件樣本產品中任選3件，求在這3件樣本產品中至少有1件是采用工藝甲生產的條件下，這3件樣本產品中恰有一件是采用工藝乙生產的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設：產品的質量與采用的工藝無關，根據小概率值的獨立性檢驗，產品的質量與采用的工藝有關.（2）記事件為3件樣本產品中至少有1件是采用工藝甲，事件為這3件樣本產品中恰有一件是采用工藝乙..16.如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：，，，由余弦定理得，，，，又，，平面，平面；（2）解：平面，平面，且，二面角平面角為，而，，等邊三角形，以為坐標原點，所在直線分別為軸，所在平面為平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，由，，，，設平面的一個法向量，，解得，令，則，故，設與平面所成角為，.17.已知橢圓：的離心率為，且經過點.，是的左、右焦點.（1）求的標準方程；（2）過的直線與交于，兩點.若的內切圓半徑為，，求的值.解：（1）設橢圓的半焦距為，由離心率為，得，令，，橢圓：過點，則，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，設直線方程為，，，由消去得，，，，，而，，則，解得，所以.18.已知函數，，.（1）若曲線在點的切線也是曲線的切線，求的值；（2）討論函數在區間上的單調性；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由已知得，，在點處的切線方程為.設與切于，