高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省2025屆高三下學(xué)期仿真演練二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，所以，，故選：B.2.已知集合，集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于集合A：由題意，得，所以，對(duì)于集合B，，則，所以，因此.故選：A3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式，故選：B.4.若函數(shù)與直線恰有三個(gè)交點(diǎn)，則a取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】畫出的圖象，由圖象可知a的范圍是.故選：D5.從兩名男同學(xué)和四名女同學(xué)中隨機(jī)選出三人參加數(shù)學(xué)競賽，則恰好選出一名男同學(xué)和兩名女同學(xué)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】六名同學(xué)選名同學(xué)，有種選法，其中恰好選出一名男同學(xué)和兩名女同學(xué)有種選法，所以，故選：C.6.已知是直三棱柱，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足，，若三棱柱有內(nèi)切球，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，根據(jù)正弦定理得，，則，因?yàn)椋裕瑒t，即，則，又，所以，所以，即，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，要使三棱柱有內(nèi)切球，說明內(nèi)切球半徑剛好為，所以三棱柱的高為內(nèi)切球的直徑，即.故選：B.7.數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)，，若時(shí)，恒有成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知當(dāng)，時(shí)，，即，當(dāng)，時(shí)，，得，當(dāng)，時(shí)，，得，又當(dāng)，時(shí)，，即，解得，則，，，，，當(dāng)，時(shí)，，得，當(dāng)，時(shí)，，得，所以，故選：B.8.若橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，直線l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，即得，代入，得，，，，因?yàn)椋顒t，則，若，，又因?yàn)椋拿娣e都為定值，因此，因此我們只需要求的最小值即可，設(shè)，，，作差得，時(shí)最小為，因此；同理，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)最小為0，S最小為，綜合比較可的最小值為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，均為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.若，則C.若，D.若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)n的范圍是【答案】AC【解析】，，則，，，故A正確設(shè)，，則，而，故B錯(cuò)誤設(shè)，，則，則，故C正確因?yàn)椋虼耍鶎?duì)應(yīng)點(diǎn)為該點(diǎn)在第一象限，說明，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.是周期函數(shù)，且最小正周期為C.不存在直線與曲線相切D.若，，，則【答案】ACD【解析】由函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；又函數(shù)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，A選項(xiàng)正確；由，周期為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，方程無解，故C選項(xiàng)正確；，且在單調(diào)遞增，因此，所以，所以，，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11.為拋物線上一點(diǎn)，按照如下方式構(gòu)造與：過點(diǎn)作的切線交軸于，取中點(diǎn)為，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，與為兩個(gè)不同的點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.【答案】BCD【解析】由拋物線，即，，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)做拋物線的切線，則切線斜率為：，則切線方程為，即，則，又為中點(diǎn)坐標(biāo)值為，，過的切線，代入，得，，可得，，故A錯(cuò)誤，B正確；又，則，所以，，所以則，故D正確；過點(diǎn)的切線為，所以，令，，即，又，，所以，故C正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機(jī)變量，且，則______.【答案】0.7【解析】隨機(jī)變量，且，故，所以.故答案為：0.713.已知橢圓，為的右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與、軸分別交于，兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】設(shè)，，易知切線斜率存在，則設(shè)切線方程為，可得，則，所以，代入直線，可得，即，即直線為，即，令，得，同理令，得，因此，，又因?yàn)椋剩茫庶c(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.14.若函數(shù)，，若，為偶函數(shù)，則______.若為奇函數(shù)，則______.【答案】①.，②.，【解析】當(dāng)時(shí)，，若為偶函數(shù)，則，，整理得恒成立，恒成立，因此，，若為奇函數(shù)，則，即整理得：，因此，此時(shí)，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且，，D為外一點(diǎn).（1）求角A；（2）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求四邊形面積的最大值.解：（1）由及正弦定理得，即，又，故，因?yàn)椋裕裕裕?（2）由題意為圓內(nèi)接四邊形，所以，又，由余弦定理得，所以，所以，同理，，所以，所以，所以四邊形面積為，所以四邊形面積最大值為.16.已知橢圓，，，M為C上異于P，Q一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離為1時(shí)，求直線的斜率；（2）若直線交于點(diǎn)N，，的面積分別為和，若，求直線的斜率.解：（1）設(shè)，由題意解得，所以的斜率為；（2）過點(diǎn)P作，所以，所以，設(shè)，，所以，聯(lián)立聯(lián)立所以，，解得，，所以直線的斜率為或.17.如圖，正三棱錐的各棱長均為，，，分別是，，的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為底面內(nèi)邊上的高所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，為的中心（圖中未畫出），（1）若平面平面直線，證明：平面（2）若，平面與平面的夾角的余弦值為，求.解：（1），，分別是，，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，平面，且平面平面，，又平面，平面，平面；（2）由三棱錐為正三棱錐，且為底面的中心，則平面，又由已知三棱錐的各棱長均為，，，，，，，又為底面內(nèi)邊上的高所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，又易知平面的一個(gè)法向量為，則，，解得.18.已知函數(shù)（1）證明：.（2）若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的范圍.（1）證明：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證即證，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值，所以，即可得證，所以；（2）解：令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由（1）得，，所以，所以，在上單調(diào)遞增，，，，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以存在一個(gè)，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋裕谏蠜]有零點(diǎn)，又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，此時(shí)存在一個(gè)使，但當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn),綜上，.19.甲同學(xué)與乙同學(xué)進(jìn)行如下游戲：在個(gè)白色小方格中，甲同學(xué)將從上往下數(shù)的第i行，從左往右數(shù)的第j列涂黑，而乙同學(xué)從除黑色方格以外的任意一格出發(fā)，只能往前、后、左、右四個(gè)方向移動(dòng)，且不能經(jīng)過黑色方格.若乙可以不重復(fù)的一次性經(jīng)過所有白色方格，則乙獲勝，否則甲獲勝，記甲涂黑的方格為.（1）若，甲同學(xué)隨機(jī)涂黑一個(gè)方格，求甲獲勝的概率.（2）若甲將涂黑，求證：當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，甲一定獲勝.（3）若m為奇數(shù)，乙從出發(fā)，甲將涂黑，其中i，j不同時(shí)為1，求證：甲獲勝的概率.（1）解：甲隨機(jī)涂黑一個(gè)，在方格的四個(gè)角和中心處，顯然乙可以不重復(fù)地一次性經(jīng)過所有白色方格，只有當(dāng)甲涂黑，，，時(shí)，乙無法不重復(fù)地一次性經(jīng)過所有白色方格，故甲獲勝概率為.（2）證明：我們?yōu)楦褡訕?biāo)號(hào)：1黑格12121212121212121212121乙不妨從1出發(fā)，則乙的路線必定是1→2→1→2…，若乙要獲勝，則標(biāo)號(hào)為1的格子數(shù)與標(biāo)號(hào)為2的格子數(shù)之差的絕對(duì)值不大于1，若最后是2，則說明1的數(shù)量和2的數(shù)量相同，若最后是1，則說明比2多一個(gè)，由于m為奇數(shù)，則第3，5，7…列，1的數(shù)量比2的數(shù)量多1個(gè)，這樣的列數(shù)一共有個(gè)，也就是1比2的數(shù)量多，同理，第2，4，6，…，2的數(shù)量比1的數(shù)量多一個(gè)（不考慮黑格），這樣的列一共有列，因此1的數(shù)量比2的數(shù)量多個(gè)，但實(shí)際情況是第二列中1的數(shù)量和2的數(shù)量一樣多，因此1的數(shù)量比2的數(shù)量多兩個(gè)，這說明乙無法不重復(fù)地一次性經(jīng)過所有白色方格，因此當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，甲一定獲勝.（3）證明：受到（2）的啟發(fā)，我們?nèi)匀粸楦褡訕?biāo)號(hào)：1212121212121212121212121乙的路線仍然是1→2→1→2→…,乙獲勝只需要使1和2一樣多，或1比2多一個(gè)，我們考慮1比2多兩個(gè)的情況：若不考慮涂黑的格子，由（2）可知：1比2的數(shù)量多1個(gè)當(dāng)且僅當(dāng)涂黑2時(shí)，1比2的數(shù)量多兩個(gè)，此時(shí)甲一定獲勝，第1，3，5…m列共有個(gè)2，第2，4，6…列共有個(gè)2，因此一共有個(gè)2，又因?yàn)榧卓梢酝亢诔斯矀€(gè)方格，因此甲獲勝的概率.湖南省2025屆高三下學(xué)期仿真演練二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，所以，，故選：B.2.已知集合，集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于集合A：由題意，得，所以，對(duì)于集合B，，則，所以，因此.故選：A3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式，故選：B.4.若函數(shù)與直線恰有三個(gè)交點(diǎn)，則a取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】畫出的圖象，由圖象可知a的范圍是.故選：D5.從兩名男同學(xué)和四名女同學(xué)中隨機(jī)選出三人參加數(shù)學(xué)競賽，則恰好選出一名男同學(xué)和兩名女同學(xué)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】六名同學(xué)選名同學(xué)，有種選法，其中恰好選出一名男同學(xué)和兩名女同學(xué)有種選法，所以，故選：C.6.已知是直三棱柱，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足，，若三棱柱有內(nèi)切球，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，根據(jù)正弦定理得，，則，因?yàn)椋裕瑒t，即，則，又，所以，所以，即，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，要使三棱柱有內(nèi)切球，說明內(nèi)切球半徑剛好為，所以三棱柱的高為內(nèi)切球的直徑，即.故選：B.7.數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)，，若時(shí)，恒有成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知當(dāng)，時(shí)，，即，當(dāng)，時(shí)，，得，當(dāng)，時(shí)，，得，又當(dāng)，時(shí)，，即，解得，則，，，，，當(dāng)，時(shí)，，得，當(dāng)，時(shí)，，得，所以，故選：B.8.若橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，直線l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，即得，代入，得，，，，因?yàn)椋顒t，則，若，，又因?yàn)椋拿娣e都為定值，因此，因此我們只需要求的最小值即可，設(shè)，，，作差得，時(shí)最小為，因此；同理，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)最小為0，S最小為，綜合比較可的最小值為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，均為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.若，則C.若，D.若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)n的范圍是【答案】AC【解析】，，則，，，故A正確設(shè)，，則，而，故B錯(cuò)誤設(shè)，，則，則，故C正確因?yàn)椋虼耍鶎?duì)應(yīng)點(diǎn)為該點(diǎn)在第一象限，說明，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.是周期函數(shù)，且最小正周期為C.不存在直線與曲線相切D.若，，，則【答案】ACD【解析】由函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；又函數(shù)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，A選項(xiàng)正確；由，周期為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，方程無解，故C選項(xiàng)正確；，且在單調(diào)遞增，因此，所以，所以，，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11.為拋物線上一點(diǎn)，按照如下方式構(gòu)造與：過點(diǎn)作的切線交軸于，取中點(diǎn)為，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，與為兩個(gè)不同的點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.【答案】BCD【解析】由拋物線，即，，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)做拋物線的切線，則切線斜率為：，則切線方程為，即，則，又為中點(diǎn)坐標(biāo)值為，，過的切線，代入，得，，可得，，故A錯(cuò)誤，B正確；又，則，所以，，所以則，故D正確；過點(diǎn)的切線為，所以，令，，即，又，，所以，故C正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機(jī)變量，且，則______.【答案】0.7【解析】隨機(jī)變量，且，故，所以.故答案為：0.713.已知橢圓，為的右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與、軸分別交于，兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】設(shè)，，易知切線斜率存在，則設(shè)切線方程為，可得，則，所以，代入直線，可得，即，即直線為，即，令，得，同理令，得，因此，，又因?yàn)椋剩茫庶c(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.14.若函數(shù)，，若，為偶函數(shù)，則______.若為奇函數(shù)，則______.【答案】①.，②.，【解析】當(dāng)時(shí)，，若為偶函數(shù)，則，，整理得恒成立，恒成立，因此，，若為奇函數(shù)，則，即整理得：，因此，此時(shí)，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且，，D為外一點(diǎn).（1）求角A；（2）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求四邊形面積的最大值.解：（1）由及正弦定理得，即，又，故，因?yàn)椋裕裕裕?（2）由題意為圓內(nèi)接四邊形，所以，又，由余弦定理得，所以，所以，同理，，所以，所以，所以四邊形面積為，所以四邊形面積最大值為.16.已知橢圓，，，M為C上異于P，Q一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離為1時(shí)，求直線的斜率；（2）若直線交于點(diǎn)N，，的面積分別為和，若，求直線的斜率.解：（1）設(shè)，由題意解得，所以的斜率為；（2）過點(diǎn)P作，所以，所以，設(shè)，，所以，聯(lián)立聯(lián)立所以，，解得，，所以直線的斜率為或.17.如圖，正三棱錐的各棱長均為，，，分別是，，的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為底面內(nèi)邊上的高所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，為的中心（圖中未畫出），（1）若平面平面直線，證明：平面（2）若，平面與平面的夾角的余弦值為，求.解：（1），，分別是，，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，平面，且平面平面，，又平面，平面，平面；（2）由三棱錐為正三棱錐，且為底面的中心，則平面，又由已知三棱錐的各棱長均為，，，，，，，又為底面內(nèi)邊上的高所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，又易知平面的一個(gè)法向量為，則，，解得.18.已知函數(shù)（1）證明：.（2）若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的范圍.（1）證明：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證即證，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值，所以，即可得證，所以；（2）解：令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由（1）得，，所以，所以，在上單調(diào)遞增，，，，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以存在一個(gè)，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋裕谏蠜]有零點(diǎn)，又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，此時(shí)存在一個(gè)使，但當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn),綜上，.19.甲同學(xué)與乙同學(xué)進(jìn)行如下游戲：在個(gè)白色小方格中，甲同學(xué)將從上往下數(shù)的第i行，從左往右數(shù)的第j列涂黑，而乙同學(xué)從除黑色方格以外的任意一格出發(fā)，只能往前、后、左、右四個(gè)方向移動(dòng)，且不能經(jīng)過黑色方格.若乙可以不重復(fù)的一次性經(jīng)過所有白色方格