高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市名校2025屆高三下學期模擬測試（二）數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，所以.故選：D2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由指數函數的性質可得，所以.故選：D.3.已知命題，，命題，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】A【解析】對于命題，當時，，當時，，所以命題是真命題；對于命題，當時，，所以命題是真命題；故選：A.4.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對A，令，定義域為，因為，所以函數為奇函數，所以其圖象關于原點對稱，故A不滿足；對B，當時，，故B不滿足；對C，當，故C不滿足；而D均滿足以上分析.故選：D.5.在長方體中，分別是的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】取的中點，連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角即與所成角（或其補角），即，因為平面，，所以平面，平面，所以，在中，.故異面直線與所成角的正切值為.故選：A.6.已知函數的部分圖象如圖所示，若，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，可得，因為，可得，所以，過點作軸于點，可得且，所以，可得函數的周期為，所以.故選：B.7.若數列為正項等比數列，，數列為公差為6，首項為1的等差數列，則數列前5項和的最小值為（）A. B. C. D.65【答案】A【解析】因為數列為公差為6，首項為1的等差數列，所以若數列為正項等比數列，，設公比為，則，所以數列前5項和為，設，求導可得，令，可得，在上為增函數，又，當時，，所以在上為增函數，又，所以當,，，，所以，當,,所以則數列前5項和的最小值為.故選：A.8.已知，函數的值等于除以6得到的余數，．設，若存在，使得對于任意的，都不滿足，則函數的個數是（）A.729 B.189 C.378 D.540【答案】B【解析】，函數與的關系如下圖所示：可以看出，由于函數的對應關系固定，函數的個數只取決于的到的對應關系．因為存在，使得對于任意的，都不滿足，所以的沒有對應滿中的所有元素．考慮其反面，即對于任意的，總存在，使得，即的對應滿了中的所有元素．求滿足反面的的個數的問題等價于“6名工人到3間工廠應聘，每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應聘，求應聘情況的總數”，一共有種情況，即滿足反面的有540個，沒有限制條件的有個，因此滿足題目條件的有個，故B正確．故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，下列結論正確的是（）A. B.的最小值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ACD【解析】，由，解得，A正確；，當且僅當時，等號成立，而此時不存在，B錯誤；由，得，所以，當且僅當，即時，等號成立，C正確.由，得，則，當且僅當，即時，等號成立，D正確.故選：ACD.10.已知函數，則（）A.的值域為B.圖象的對稱中心為C.當時，在區間內單調遞減D.當時，有兩個極值點【答案】BD【解析】對于A：當至少一個不為0，則為三次或者一次函數，值域均為；當均為0時，值域為，錯誤；對于B：函數滿足，可知為奇函數，其圖象關于中心對稱，所以的圖象為的圖象向上移動兩個單位后得到的，即關于中心對稱，正確；對于C：，當時，取，當時，在區間上單調遞增，錯誤；對于D：，當時，有兩個不相等的實數根，所以函數有兩個極值點，正確.故選：BD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別是，點在雙曲線的右支上，則下列說法正確的是（）A.若直線的斜率為，則B.使得為等腰三角形的點有且僅有2個C.點到兩條漸近線的距離的乘積為D.已知點，則的最小值為5【答案】AC【解析】對于A，由題意可知，，設，則直線的斜率，，令，則，令，則在上單調遞減，，則，故A正確；對于B，當時，滿足條件的點有兩個，當時，滿足條件點有兩個，顯然不存在點滿足，滿足為等腰三角形的點有4個，故B錯誤；對于C，易知雙曲線的漸近線方程為，即，點到兩條漸近線的距離的乘積為，故C正確．對于D，點與在雙曲線兩側，當三點共線，且點在線段上時，有最小值，此時，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】【解析】若，則.故答案為：.13.已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的準線方程為______．【答案】【解析】易知，直線的方程為，由得，設，則，，所以，解得，所以的準線方程為．故答案為：14.已知四棱錐的底面為矩形，，，側面為正三角形且垂直于底面，為四棱錐內切球表面上一點，則點到直線距離的最小值為______.【答案】【解析】如圖，過點作，交于點，由側面為正三角形可知為中點，設中點為，連接.由題意得，平面截四棱錐的內切球所得的截面為大圓，此圓為的內切圓，設內切圓半徑為，與，分別相切于點，，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，而平面，則，因為，，所以，，，在中，，解得，所以四棱錐的內切球的半徑為1，連接，因為平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，因為平面，所以，所以內切球表面上一點到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，又，所以四棱錐內切球表面上一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，．（1）求的面積；（2）求AB邊上的高的最大值.解：（1）在中，由，得，解得，由及正弦定理，得，即，則，而，解得，所以的面積.（2）由余弦定理，得，即，當且僅當時取等號，設h為AB邊上的高，則，即，所以AB邊上的高的最大值為.16.為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關聯性，隨機調查了某中學的100名學生，整理得到如下列聯表：男學生女學生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100（1）依據的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡跳繩有關聯？（2）已知該校學生每分鐘的跳繩個數，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘的跳繩個數都增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在內的人數（結果精確到整數）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.解：（1）：學生的性別和是否喜歡運動無關.，所以根據的獨立性檢驗，不能認為學生的性別與是否喜歡跳繩有關.（2）訓練前該校學生每人每分鐘跳繩個數，則，，，即訓練前學生每分鐘的跳繩個數在，，，，由（人）估計訓練前該校每分鐘的跳繩個數在內的人數為.即預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在內的人數為.17.如圖，在正四棱臺中，，，，棱上的點滿足取得最小值.（1）證明：平面；（2）在空間取一點為，使得，設平面與平面的夾角為，求的值.（1）證明：在等腰梯形中，因為，，所以，所以，將側面與側面沿著展平到同一個平面內，連接，如圖，可得當且僅當時，取得最小值，此時，設與交于，再連結，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，（2）解：設上底面的中心為，則，，兩兩垂直，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標系，在直角梯形中得，，顯然平面的法向量為，，，，，所以，不妨設，設平面的一個法向量為，所以，不妨設，所以.18.設，.（1）求函數的單調區間;（2）求證:；（3）設函數與的定義域的交集為，集合.若對任意，都存在，使得成等比數列，且成等差數列，則稱與為"A關聯函數".求證：若與為"關聯函數"，則.（1）解：由題意可知：定義域為，且.當時，；當時，，所以函數的單調增區間為，單調見區間為.（2）證明：由（1）可知，故只需證.由于，等價于.令，則.當時，；當時，；可知函數在內單調遞減，在單調遞增，則，所以.（3）證明：由題意知，對任意，存在，滿足，且，則，即，即.對于給定的，有，當且僅當，即時，等號成立，因此對任意都成立.在上式中令，得.令，則，當時，；當時，；可知在內單調遞增，在內單調遞減，且，可知滿足不等式.19.已知圓交軸于，兩點，橢圓以為長軸，橢圓上有一動點，且的最小值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與分別平分直線與橢圓和圓的交線段，①證明：存在實數使得恒成立，并求出實數的值；②求直線，與橢圓的交點構成的四邊形面積的最大值.解：（1）由，令得，不妨令，，則可設橢圓的標準方程為，設，則，，，則，而，則，解得，∴橢圓的標準方程為.（2）①顯然直線與垂直，設直線，直線與橢圓交于，，由于直線平分直線與圓的交線段，則有，，于是，由于，，則，∴存在實數使得恒成立.②令，解得，則直線與橢圓交線長為，同理可得直線與橢圓的一個交點，則到直線的距離，∴四邊形面積，當時，四邊形不存在，當時，，∴四邊形面積的最大值為，在時取到.河南省許昌市名校2025屆高三下學期模擬測試（二）數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則，所以.故選：D2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由指數函數的性質可得，所以.故選：D.3.已知命題，，命題，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】A【解析】對于命題，當時，，當時，，所以命題是真命題；對于命題，當時，，所以命題是真命題；故選：A.4.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對A，令，定義域為，因為，所以函數為奇函數，所以其圖象關于原點對稱，故A不滿足；對B，當時，，故B不滿足；對C，當，故C不滿足；而D均滿足以上分析.故選：D.5.在長方體中，分別是的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】取的中點，連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角即與所成角（或其補角），即，因為平面，，所以平面，平面，所以，在中，.故異面直線與所成角的正切值為.故選：A.6.已知函數的部分圖象如圖所示，若，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，可得，因為，可得，所以，過點作軸于點，可得且，所以，可得函數的周期為，所以.故選：B.7.若數列為正項等比數列，，數列為公差為6，首項為1的等差數列，則數列前5項和的最小值為（）A. B. C. D.65【答案】A【解析】因為數列為公差為6，首項為1的等差數列，所以若數列為正項等比數列，，設公比為，則，所以數列前5項和為，設，求導可得，令，可得，在上為增函數，又，當時，，所以在上為增函數，又，所以當,，，，所以，當,,所以則數列前5項和的最小值為.故選：A.8.已知，函數的值等于除以6得到的余數，．設，若存在，使得對于任意的，都不滿足，則函數的個數是（）A.729 B.189 C.378 D.540【答案】B【解析】，函數與的關系如下圖所示：可以看出，由于函數的對應關系固定，函數的個數只取決于的到的對應關系．因為存在，使得對于任意的，都不滿足，所以的沒有對應滿中的所有元素．考慮其反面，即對于任意的，總存在，使得，即的對應滿了中的所有元素．求滿足反面的的個數的問題等價于“6名工人到3間工廠應聘，每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應聘，求應聘情況的總數”，一共有種情況，即滿足反面的有540個，沒有限制條件的有個，因此滿足題目條件的有個，故B正確．故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，下列結論正確的是（）A. B.的最小值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ACD【解析】，由，解得，A正確；，當且僅當時，等號成立，而此時不存在，B錯誤；由，得，所以，當且僅當，即時，等號成立，C正確.由，得，則，當且僅當，即時，等號成立，D正確.故選：ACD.10.已知函數，則（）A.的值域為B.圖象的對稱中心為C.當時，在區間內單調遞減D.當時，有兩個極值點【答案】BD【解析】對于A：當至少一個不為0，則為三次或者一次函數，值域均為；當均為0時，值域為，錯誤；對于B：函數滿足，可知為奇函數，其圖象關于中心對稱，所以的圖象為的圖象向上移動兩個單位后得到的，即關于中心對稱，正確；對于C：，當時，取，當時，在區間上單調遞增，錯誤；對于D：，當時，有兩個不相等的實數根，所以函數有兩個極值點，正確.故選：BD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別是，點在雙曲線的右支上，則下列說法正確的是（）A.若直線的斜率為，則B.使得為等腰三角形的點有且僅有2個C.點到兩條漸近線的距離的乘積為D.已知點，則的最小值為5【答案】AC【解析】對于A，由題意可知，，設，則直線的斜率，，令，則，令，則在上單調遞減，，則，故A正確；對于B，當時，滿足條件的點有兩個，當時，滿足條件點有兩個，顯然不存在點滿足，滿足為等腰三角形的點有4個，故B錯誤；對于C，易知雙曲線的漸近線方程為，即，點到兩條漸近線的距離的乘積為，故C正確．對于D，點與在雙曲線兩側，當三點共線，且點在線段上時，有最小值，此時，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】【解析】若，則.故答案為：.13.已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的準線方程為______．【答案】【解析】易知，直線的方程為，由得，設，則，，所以，解得，所以的準線方程為．故答案為：14.已知四棱錐的底面為矩形，，，側面為正三角形且垂直于底面，為四棱錐內切球表面上一點，則點到直線距離的最小值為______.【答案】【解析】如圖，過點作，交于點，由側面為正三角形可知為中點，設中點為，連接.由題意得，平面截四棱錐的內切球所得的截面為大圓，此圓為的內切圓，設內切圓半徑為，與，分別相切于點，，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，而平面，則，因為，，所以，，，在中，，解得，所以四棱錐的內切球的半徑為1，連接，因為平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，因為平面，所以，所以內切球表面上一點到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，又，所以四棱錐內切球表面上一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，．（1）求的面積；（2）求AB邊上的高的最大值.解：（1）在中，由，得，解得，由及正弦定理，得，即，則，而，解得，所以的面積.（2）由余弦定理，得，即，當且僅當時取等號，設h為AB邊上的高，則，即，所以AB邊上的高的最大值為.16.為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關聯性，隨機調查了某中學的100名學生，整理得到如下列聯表：男學生女學生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100（1）依據的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡跳繩有關聯？（2）已知該校學生每分鐘的跳繩個數，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘的跳繩個數都增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在內的人數（結果精確到整數）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.解：（1）：學生的性別和是否喜歡運動無關.，所以根據的獨立性檢驗，不能認為學生的性別與是否喜歡跳繩有關.（2）訓練前該校學生每人每分鐘跳繩個數，則，，，即訓練前學生每分鐘的跳繩個數在，，，，由（人）估計訓練前該校每分鐘的跳繩個數在內的人數為.即預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在內的人數為.17.如圖，在正四棱臺中，，，，棱上的點滿足取得最小值.（1）證明：平面；（2）在空間取一點為，使得，設平面與平面的夾角為，求的值.（1）證明：在等腰梯形中，因為，，所以，所以，將側面與側面沿