高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市四縣聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，函數(shù)有意義滿足，即，解得：，所以，故選：D2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】由，得，.故選:．3.已知是公差為的等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.9 C.18 D.24【答案】B【解析】因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，，所以，故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A. B.1516 C. D.1517【答案】D【解析】由題意，在中，因?yàn)楫?dāng)時，，所以是以為周期的周期函數(shù)，故，，所以.故選：D.5.已知、是過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，因?yàn)椋瑒t，所以，，可得，，可得，，而，所以，，解得.故選：D.6.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)、、、的圖形．圖中四邊形的對角線相交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】延長、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，易知為等腰直角三角形，則，，所以，，，，故為等腰直角三角形，且，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，且，所以，，故.故選：B.7.已知四棱錐，，平分，點(diǎn)在上且滿足，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，到平面的距離為，則有，而，，又由，，平分，則，則；故，而，則有，又由點(diǎn)在上且滿足，故到平面的距離為，則有，故．故選：B．8.已知函數(shù)的定義域是，且滿足，（其中為自然常數(shù)，），則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.在上有極大值 D.在上有極小值【答案】B【解析】設(shè)，則（為常數(shù)），所以，，故，因?yàn)椋獾茫裕瑒t對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有10道判斷題，某學(xué)生對其中7道題有思路，3道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.5．該同學(xué)從這10道題中隨機(jī)選擇1題，記事件A：選擇的是有思路的題，記事件B：答對該題，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意可得：，，，A錯誤；，則，B錯誤；由全概率公式可得，所以，C正確；，D正確．故選：CD10.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)內(nèi)一定取得到最大值D.函數(shù)在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)【答案】AD【解析】由，所以，在上，此時遞減，所以為且的子區(qū)間，，則，故，即，A正確；當(dāng)，則，而，故，故上不一定單調(diào)，B錯誤；由B分析知：，故當(dāng)時，此時取不到最大值，C錯誤；當(dāng)，則，而，故，所以，當(dāng)時，在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時，在內(nèi)有一個零點(diǎn)；故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，D正確.故選：AD11.設(shè)橢圓，，為橢圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，則（）A.的最大值為B.直線的斜率乘積為定值C.若軸上存在點(diǎn)，使得，則的坐標(biāo)為或D.直線過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，在橢圓上，，，，由題意知：，的對稱軸為，若，即時，，；當(dāng)，即時，，；綜上所述：A錯誤；對于B，關(guān)于軸對稱，，，，，B正確；對于C，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，，則∽，；直線，直線，，，，即或，C正確；對于D，，，，直線，即，直線過定點(diǎn)，D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項(xiàng)式的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是_________．【答案】7【解析】的展開式的通項(xiàng)，令，得，因，所以當(dāng)時，有最小值為7.故答案為：7.13.光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一束光以的入射角從空氣中射入點(diǎn)，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為______.【答案】【解析】如圖，入射角，設(shè)折射角為，，，則，，所以，則，，所以，且.該光線再次返回空氣中時，其所在直線的傾斜角為，則其所在直線的斜率為，直線的方程為，整理得.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，設(shè)的最小值為M，若至少有一個零點(diǎn)，且命題成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)榈淖钚≈禐椋矗幢硎緢A及其外部的部分，又因?yàn)槊}成立，即時，恒成立，當(dāng)直線與圓相切時，可得設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，可得的最小值為，所以的最大值為，所以的最小值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），，，，當(dāng)時，也成立，（2），由（1）知，，，，.16.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，……，，.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取3人，求此3人評分至少有兩人在的概率.解：（1）由頻率分布直方圖得，解得；（2）評分在的概率為，評分在的概率為，所以該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)位于，所以50%分位數(shù)為；（3）受訪職工中評分在的有：人，記為，，，受訪職工中評分在的有：人，記為，，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取3人，所有的可能結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，，抽取的3人中，評分至少有兩人在包含的基本事件有：，，，，，，，共7個，故所求概率為17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求直線到平面的距離．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫?）解：因?yàn)榈酌鏋檎叫危矫妫裕瑑蓛苫ハ啻怪保鐖D，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋裕?因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€法向量．設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，則．于是．設(shè)平面與平面的夾角為，所以即平面與平面夾角的余弦值為．．（3）解：由（2）知，平面的法向量為，．因?yàn)椋移矫妫訮B∥平面ACQ．所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離．因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為，即直線到平面的距離為．．18.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求弦長.解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，則，，所以，；（2）由（1）得雙曲線的方程為，設(shè)，，，，，弦長為8.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，不用計算器，用切線“以直代曲”，求的近似值（精確到四位小數(shù)）.（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).解：（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，因此函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，函數(shù)中，當(dāng)時，，所以的近似值為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，當(dāng)時，，則，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，則，從而，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，取，，則當(dāng)時，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，由，得；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)；②當(dāng)時，，函數(shù)沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時，，，因此在上有一個零點(diǎn)，設(shè)，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，因此函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，從而有兩個零點(diǎn)，所以當(dāng)或時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，沒有零點(diǎn).河北省承德市四縣聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，函數(shù)有意義滿足，即，解得：，所以，故選：D2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】由，得，.故選:．3.已知是公差為的等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.9 C.18 D.24【答案】B【解析】因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，，所以，故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A. B.1516 C. D.1517【答案】D【解析】由題意，在中，因?yàn)楫?dāng)時，，所以是以為周期的周期函數(shù)，故，，所以.故選：D.5.已知、是過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，因?yàn)椋瑒t，所以，，可得，，可得，，而，所以，，解得.故選：D.6.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)、、、的圖形．圖中四邊形的對角線相交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】延長、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，易知為等腰直角三角形，則，，所以，，，，故為等腰直角三角形，且，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，且，所以，，故.故選：B.7.已知四棱錐，，平分，點(diǎn)在上且滿足，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，到平面的距離為，則有，而，，又由，，平分，則，則；故，而，則有，又由點(diǎn)在上且滿足，故到平面的距離為，則有，故．故選：B．8.已知函數(shù)的定義域是，且滿足，（其中為自然常數(shù)，），則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.在上有極大值 D.在上有極小值【答案】B【解析】設(shè)，則（為常數(shù)），所以，，故，因?yàn)椋獾茫裕瑒t對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有10道判斷題，某學(xué)生對其中7道題有思路，3道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.5．該同學(xué)從這10道題中隨機(jī)選擇1題，記事件A：選擇的是有思路的題，記事件B：答對該題，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意可得：，，，A錯誤；，則，B錯誤；由全概率公式可得，所以，C正確；，D正確．故選：CD10.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)內(nèi)一定取得到最大值D.函數(shù)在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)【答案】AD【解析】由，所以，在上，此時遞減，所以為且的子區(qū)間，，則，故，即，A正確；當(dāng)，則，而，故，故上不一定單調(diào)，B錯誤；由B分析知：，故當(dāng)時，此時取不到最大值，C錯誤；當(dāng)，則，而，故，所以，當(dāng)時，在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時，在內(nèi)有一個零點(diǎn)；故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，D正確.故選：AD11.設(shè)橢圓，，為橢圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，則（）A.的最大值為B.直線的斜率乘積為定值C.若軸上存在點(diǎn)，使得，則的坐標(biāo)為或D.直線過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，在橢圓上，，，，由題意知：，的對稱軸為，若，即時，，；當(dāng)，即時，，；綜上所述：A錯誤；對于B，關(guān)于軸對稱，，，，，B正確；對于C，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，，則∽，；直線，直線，，，，即或，C正確；對于D，，，，直線，即，直線過定點(diǎn)，D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項(xiàng)式的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是_________．【答案】7【解析】的展開式的通項(xiàng)，令，得，因，所以當(dāng)時，有最小值為7.故答案為：7.13.光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一束光以的入射角從空氣中射入點(diǎn)，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為______.【答案】【解析】如圖，入射角，設(shè)折射角為，，，則，，所以，則，，所以，且.該光線再次返回空氣中時，其所在直線的傾斜角為，則其所在直線的斜率為，直線的方程為，整理得.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，設(shè)的最小值為M，若至少有一個零點(diǎn)，且命題成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)榈淖钚≈禐椋矗幢硎緢A及其外部的部分，又因?yàn)槊}成立，即時，恒成立，當(dāng)直線與圓相切時，可得設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，可得的最小值為，所以的最大值為，所以的最小值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），，，，當(dāng)時，也成立，（2），由（1）知，，，，.16.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，……，，.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取3人，求此3人評分至少有兩人在的概率.解：（1）由頻率分布直方圖得，解得；（2）評分在的概率為，評分在的概率為，所以該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)位于，所以50%分位數(shù)為；（3）受訪職工中評分在的有：人，記為，，，受訪職工中評分在的有：人，記為，，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取3人，所有的可能結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，，抽取的3人中，評分至少有兩人在包含的基本事件有：，，，，，，，共7個，故所求概率為17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求直線到平面的距離．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫?）解：因?yàn)榈酌鏋檎叫危矫妫?/p>