高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西2025屆高中畢業班4月適應性測試數學試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以，因為，所以.故選：B.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設復數，則其共軛復數，所以，則，解得.所以.故選：C.3.在公差不為0的等差數列中，若是與的等差中項，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為在公差不為0的等差數列中，是與的等差中項，所以，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.故選：.4.已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由，則，解得，即，所以在上的投影向量為.故選：D.5.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】；所以故選：B.6.某校新聞社團負責報道采訪本校田徑運動會，社團派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑三個比賽場地進行現場報道，且每個場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數為（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】當甲單獨一人進行現場報道時，甲有種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個地方，情況數為，則此時總的情況數為；當甲與人組隊進項現場報道時，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊，則情況數為，再在跳高、跳遠選一個去進行現場報道，則情況數為，最后剩下的兩人安排去其他兩個地方，則情況數為，所以此時總的情況數為；綜上，符合題意的情況數為.故選：C.7.已知拋物線：的焦點為，雙曲線：經過點，且雙曲線與拋物線交于，兩點，若為等腰直角三角形，其中為坐標原點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線：的焦點為，雙曲線：經過點，即點為雙曲線的上頂點，可得，即.雙曲線與拋物線交于，兩點，且為等腰直角三角形，設點，代入拋物線方程，得.將點代入雙曲線方程，，化簡得.則，所以漸近線方程為.故選：C.8.如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內的一個動點，當時，點的軌跡長度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設平面，連接，，，，因為，，所以三棱錐為正三棱錐，因為平面，平面，所以，因為，，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，則為正三角形的中心，則，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以，即，，因為，即，因為，解得，所以點的軌跡是半徑為的圓，所以點的軌跡長度是.故選：.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.某超市在兩周內的車厘子每日促銷量如下圖，根據此折線圖，下面結論正確的有（）A.這兩周的日促銷量低于200盒的比例低于50%B.這兩周的日促銷量的眾數是214C.這兩周的日促銷量的極差是195D.這兩周的日促銷量的第30百分位數是155【答案】BC【解析】對于A，日促銷量低于200盒的有：80,83,138,155,157,165,179共7個，所以日促銷量低于200盒的比例為50%，A不正確；對于B，由圖中數據可知眾數是214，B正確；對于C，由圖中數據可知極差是,C正確；對于D，由知，日促銷量的第30百分位數是從小到大排列的第5個數據，即157，D不正確.故選：BC10.在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到點的距離等于1，若直線與曲線交于不同的兩點，，則（）A.當時， B.線段中點軌跡長度為C.的取值范圍為 D.【答案】ABD【解析】由題意，曲線為圓，如圖：對于選項A，圓的圓心坐標為，半徑為，若直線，圓心C到直線的距離為，則，故A正確；對于選項B，如圖線段中點M滿足，所以M的軌跡是以OC為直徑的圓圓C內部部分，所以線段中點的軌跡長度為，故B正確；對于選項C，，因為點A，B不重合，所以，故C錯誤；對于選項D，，故D正確.故選：ABD11.已知首項為1的正項數列滿足，若數列前項和為，且，則下列結論正確的有（）A.是等差數列 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，即等差數列，A正確；對于B，設的公差為，則，即，，所以，因為，所以，解得，所以，，B不正確；對于C，由B可知，C正確；對于D，令，則，即為增函數，所以，即，所以，又，所以，D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，則圓錐的體積為______.【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為，母線為，高為，因為圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，，，則，則這個圓錐的體積為.故答案為：.13.已知函數，若函數為偶函數，則的最大負值是______.【答案】【解析】由，則，由函數為偶函數，則軸為該函數圖象的對稱軸，即，，化簡可得，，當時，取得最大負值為.故答案為：14.設函數，若有兩個極值點，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域為，，有兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，，，，，；設，則，在上單調遞減，，即，的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知的內角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求角；（2）若，，求邊.解：（1）由，根據正弦定理，則，由，則，化簡可得，易知，則，解得.（2）由，化簡可得，解得，由余弦定理可得，解得.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，，為線段的中點.（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接BD交AC于點H，連接HE.因為四邊形ABCD是正方形，根據正方形對角線性質，可知H是BD的中點.又因為E為線段PD的中點，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直線平面ACE.（2）解：因為底面ABCD是邊長為2的正方形，所以AB⊥AD.又因為AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD內作Ax⊥AP，分別以Ax，AP，AB為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系A?xyz.又底面ABCD為邊長為2的正方形，，則，，；；設平面PAC的一個法向量為，則，即，令，得，設直線AE與平面PAC所成角為θ，，即直線AE與平面PAC所成角正弦值為.17.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）對任意的，當時，都有，求實數的取值范圍.解：（1）函數定義域為，.當時，由得，由得.此時函數的增區間為，減區間為.綜上所述，當時，函數的增區間為，減區間為.（2）由，化簡為，即.令，因為，則，所以函數在上單調遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，設，，在單調遞增，所以.綜上所述，實數的取值范圍為.18.已知點和直線：，點到的距離，記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點作斜率不為0的直線與曲線交于，不同的兩點，再過點作直線的平行線與曲線交于不同的兩點，.①證明：為定值；②求面積的取值范圍.解：（1）設，由題意，，整理可得.（2）設直線方程為，則直線的方程為.聯立，得，可得.設，則.聯立，得，，設，則.①證明：因為，所以，故為定值.②因為的面積,,.設，則.由對勾函數的性質可得，所以.19.我國廣西某自然保護區分布著國家一級保護動物白頭葉猴，為了研究空氣質量與白頭葉猴分布數量的相關性，將該保護區分為面積大小相近的多個區域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中20個區域進行編號，統計抽取到每個區域的某空氣指標和區域內白頭葉猴分布的數量，得到數組.已知，，.（1）求樣本的相關系數；（2）假設白頭葉猴的壽命為隨機變量（可取任意正整數）.研究人員統計大量數據后發現：對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數量占比相同，均等于0.05，這種現象被稱為“幾何分布的無記憶性”.①求的表達式；②推導白頭葉猴壽命期望的值.附：相關系數.解：（1）（2）①已知對于任意的，，，，①當時，，②兩式相減可得：，，又，所以②設，，兩式相減得：，所以，所以白頭葉猴壽命期望.廣西2025屆高中畢業班4月適應性測試數學試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以，因為，所以.故選：B.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設復數，則其共軛復數，所以，則，解得.所以.故選：C.3.在公差不為0的等差數列中，若是與的等差中項，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為在公差不為0的等差數列中，是與的等差中項，所以，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.故選：.4.已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由，則，解得，即，所以在上的投影向量為.故選：D.5.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】；所以故選：B.6.某校新聞社團負責報道采訪本校田徑運動會，社團派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑三個比賽場地進行現場報道，且每個場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數為（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】當甲單獨一人進行現場報道時，甲有種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個地方，情況數為，則此時總的情況數為；當甲與人組隊進項現場報道時，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊，則情況數為，再在跳高、跳遠選一個去進行現場報道，則情況數為，最后剩下的兩人安排去其他兩個地方，則情況數為，所以此時總的情況數為；綜上，符合題意的情況數為.故選：C.7.已知拋物線：的焦點為，雙曲線：經過點，且雙曲線與拋物線交于，兩點，若為等腰直角三角形，其中為坐標原點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線：的焦點為，雙曲線：經過點，即點為雙曲線的上頂點，可得，即.雙曲線與拋物線交于，兩點，且為等腰直角三角形，設點，代入拋物線方程，得.將點代入雙曲線方程，，化簡得.則，所以漸近線方程為.故選：C.8.如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內的一個動點，當時，點的軌跡長度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設平面，連接，，，，因為，，所以三棱錐為正三棱錐，因為平面，平面，所以，因為，，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，則為正三角形的中心，則，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以，即，，因為，即，因為，解得，所以點的軌跡是半徑為的圓，所以點的軌跡長度是.故選：.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.某超市在兩周內的車厘子每日促銷量如下圖，根據此折線圖，下面結論正確的有（）A.這兩周的日促銷量低于200盒的比例低于50%B.這兩周的日促銷量的眾數是214C.這兩周的日促銷量的極差是195D.這兩周的日促銷量的第30百分位數是155【答案】BC【解析】對于A，日促銷量低于200盒的有：80,83,138,155,157,165,179共7個，所以日促銷量低于200盒的比例為50%，A不正確；對于B，由圖中數據可知眾數是214，B正確；對于C，由圖中數據可知極差是,C正確；對于D，由知，日促銷量的第30百分位數是從小到大排列的第5個數據，即157，D不正確.故選：BC10.在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到點的距離等于1，若直線與曲線交于不同的兩點，，則（）A.當時， B.線段中點軌跡長度為C.的取值范圍為 D.【答案】ABD【解析】由題意，曲線為圓，如圖：對于選項A，圓的圓心坐標為，半徑為，若直線，圓心C到直線的距離為，則，故A正確；對于選項B，如圖線段中點M滿足，所以M的軌跡是以OC為直徑的圓圓C內部部分，所以線段中點的軌跡長度為，故B正確；對于選項C，，因為點A，B不重合，所以，故C錯誤；對于選項D，，故D正確.故選：ABD11.已知首項為1的正項數列滿足，若數列前項和為，且，則下列結論正確的有（）A.是等差數列 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，即等差數列，A正確；對于B，設的公差為，則，即，，所以，因為，所以，解得，所以，，B不正確；對于C，由B可知，C正確；對于D，令，則，即為增函數，所以，即，所以，又，所以，D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，則圓錐的體積為______.【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為，母線為，高為，因為圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，，，則，則這個圓錐的體積為.故答案為：.13.已知函數，若函數為偶函數，則的最大負值是______.【答案】【解析】由，則，由函數為偶函數，則軸為該函數圖象的對稱軸，即，，化簡可得，，當時，取得最大負值為.故答案為：14.設函數，若有兩個極值點，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域為，，有兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，，，，，；設，則，在上單調遞減，，即，的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知的內角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求角；（2）若，，求邊.解：（1）由，根據正弦定理，則，由，則，化簡可得，易知，則，解得.（2）由，化簡可得，解得，由余弦定理可得，解得.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，，為線段的中點.（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接BD交AC于點H，連接HE.因為四邊形ABCD是正方形，根據正方形對角線性質，可知H是BD的中點.又因為E為線段PD的中點，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直線平面ACE.（2）解：因為底面ABCD是邊長為2的正方形，所以AB⊥AD.又因為AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD內作Ax⊥AP，分別以Ax，AP，AB為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系A?xyz.又底面ABCD為邊長為2的正方形，，則，，；；設平面PAC的一個法向量為，則，即，令，得，設直線AE與平面PAC所成角為θ，，即直線AE與平面PAC所成角正弦值為.17.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）對任意的，當時，都有