高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2025屆高三下學期普通高考測試（二）數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，所以．故選：A.2.已知函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點處的切線方程為．故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，解得．故選：A.4.某林業科學院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質量（單位：g）近似服從正態分布，現有該新品種草莓10000個，估計其中單果質量超過的草莓有（）附：若，則．A.228個 B.456個 C.1587個 D.3174個【答案】C【解析】由可知，則，故其中單果質量超過的草莓約有個．故選：C.5.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以在上單調遞增，且．因為是定義在上的奇函數，所以在上單調遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選：B.6.已知拋物線與直線交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，，則，整理得，因為線段中點的橫坐標為，所以線段中點的縱坐標為，則，從而可得，故選：D.7.若函數在上單調遞增，則當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，其中,且為銳角，因為在上單調遞增，且，所以，則的最大值為，此時．故選：D.8.已知正方體的棱長為，以頂點A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因為正方體的棱長為，則表面上的點到點A的最大距離為，所以以頂點A為球心，為半徑的球的球面與這三個表面沒有公共點．如圖，若球面與表面的公共點為P，因為，則，由，可得，同理可得，則，可知P的運動軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，所以交線總長為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，則下列復數為純虛數的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因為，則，．為純虛數的是，，.故選：BCD．10.已知銳角三角形的內角分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為為銳角三角形，所以，則，從而,A選項正確；由，得，則，則，B選項錯誤；由，可得，則當時，，C選項錯誤；由，得，則，從而，D選項正確；故選：AD.11.在平面直角坐標系中，動點P在直線上的射影為點Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結論正確的是（）A.C關于直線l對稱B.C上存在點，使得C.的最小值為D.若C與兩條坐標箱的正半軸所圍成的面積為S，則【答案】ABD【解析】設，則．由，得，即．關于l對稱的點為，也滿足方程，故C關于直線l對稱，A正確．顯然點在C上，且滿足，B正確．因為，當且僅當時，等號成立，所以，整理得，從而，C不正確．記C在第一象限內的部分為曲線D，設為D上任意一點，則，由，得，即，故點B在直線的上方或在的下方（不重合），從而．假設，則由，可得，則，則，則，這與假設矛盾，故D在直線的上方，從而，故，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線的離心率為，則_____________．【答案】3【解析】由雙曲線，得，所以雙曲線C的離心率為，所以，解得故答案為：.13.4名醫生和2名護士站成一排，要求2名護士不相鄰，且醫生甲不站在隊伍的最左端，則不同的站法共有_____________種．【答案】408【解析】若醫生甲不站在醫生的最左端則有種不同的站法，若醫生甲站在醫生的最左端，則有種不同的站法，故不同的站法共有種．故答案為：408.14.將數列與中所有的項去掉它們的公共項后，剩余的項從小到大排序得到數列，則_____________，的前202項和為_____________．【答案】①.14②.49609【解析】與的公共項為，去掉它們的公共項后，剩余的項從小到大排序為4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以，且每兩個相鄰的公共項之間有5項，分別求和，，，，…，可以看到這5項的和為一項構成的新數列是首項為70，公差為60的等差數列．因為，所以的前202項和為．故答案為：14，49600四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了研究觀眾對某檔節目的喜愛情況與性別的關聯性，分別調查了該檔節目男、女觀眾各100人，發現共有70名觀眾喜愛該檔節目，且不喜愛該檔節目的女性觀眾數是喜愛該檔節目的男性觀眾數的2倍．（1）根據題中信息，完成下面列聯表；單位：人性別喜愛情況合計喜愛不喜愛男女合計（2）根據（1）中的列聯表，依據的獨立性檢驗，能否認為觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別有關？附：．0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）設喜愛該檔節目的男性觀眾數為x，則喜愛該檔節目的女性觀眾數為，不喜愛該檔節目的女性觀眾數為，則，得．故列聯表完成如下．單位：人性別喜愛情況合計喜愛不喜愛男3070100女4060100合計70130200（2）零假設為：觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別無關．根據（1）中列聯表的數據，計算得到．根據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別無關．16.如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，記的中點為G，連接．因為平面，所以．由是正三角形，四邊形是正方形，F為的中點，易得，則．因為G是的中點，所以．又，所以．因，平面，所以平面，從而．（2）解：記的中點為O，連接，則．以O為坐標原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨令，則，．設平面的法向量為，由得令，得，則．設直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數．（1）若，求的極值；（2）若，討論的單調性．解：（1）當時，，定義域為，則．當時，單調遞增；當時，單調遞減．故當時，取得極大值，無極小值．（2）由，得．令，得或．若，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減．若，則，當和時，單調遞減；當時，單調遞增．若，則在上恒成立，單調遞減．綜上所述，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；當時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間．18.已知，若正項數列滿足，則稱為“上界m數列”．（1）若，判斷數列是否為“上界1數列”，并說明理由；（2）若數列是“上界m數列”，求m的最小值；（3）若，且．證明：數列是“上界1數列”．（1）解：由題可知，，因為，所以，則，則，從而不是“上界1數列”．（2）解：因為，又數列是“上界m數列”，所以恒成立．又，所以，即m的最小值為2．（3）證明：因為，所以，，則，從而．要證數列是“上界1數列”，需證，當時，由，得．當時，由，得，則，整理得，則，則，即．因為，所以，則，則，從而，所以數列是“上界1數列”．19.已知橢圓的左、右焦點分別為是圓上一點，線段與C交于點Q，且．（1）求C的標準方程；（2）過點的直線與C交于A，B兩點，記O為坐標原點，線段的中點為N，C的左頂點為D．（i）求面積的最大值；（ii）若的外心為M，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）由，整理得，則該圓是以為圓心，6為半徑的圓．因為P是圓上一點，線段與C交于點Q，且，所以，即，解得．由題可知，則，故C的標準方程為；（2）（i）當點的直線斜率不存在時，重合，此時不存在，不合要求，當點的直線斜率為0時，重合，此時不存在，不合要求，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為．聯立整理得，則，則線段的中點N的坐標為．設面積為S，則．因為，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為．（ii）為定值9，理由如下：設，顯然為外接圓圓心，故可設外接圓的方程為．因為在外接圓上，所以，故，故外接圓的方程為．聯立，整理得，則．因為，故，解得．故，為定值．廣東省湛江市2025屆高三下學期普通高考測試（二）數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，所以．故選：A.2.已知函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點處的切線方程為．故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，解得．故選：A.4.某林業科學院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質量（單位：g）近似服從正態分布，現有該新品種草莓10000個，估計其中單果質量超過的草莓有（）附：若，則．A.228個 B.456個 C.1587個 D.3174個【答案】C【解析】由可知，則，故其中單果質量超過的草莓約有個．故選：C.5.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以在上單調遞增，且．因為是定義在上的奇函數，所以在上單調遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選：B.6.已知拋物線與直線交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，，則，整理得，因為線段中點的橫坐標為，所以線段中點的縱坐標為，則，從而可得，故選：D.7.若函數在上單調遞增，則當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，其中,且為銳角，因為在上單調遞增，且，所以，則的最大值為，此時．故選：D.8.已知正方體的棱長為，以頂點A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因為正方體的棱長為，則表面上的點到點A的最大距離為，所以以頂點A為球心，為半徑的球的球面與這三個表面沒有公共點．如圖，若球面與表面的公共點為P，因為，則，由，可得，同理可得，則，可知P的運動軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，所以交線總長為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，則下列復數為純虛數的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因為，則，．為純虛數的是，，.故選：BCD．10.已知銳角三角形的內角分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為為銳角三角形，所以，則，從而,A選項正確；由，得，則，則，B選項錯誤；由，可得，則當時，，C選項錯誤；由，得，則，從而，D選項正確；故選：AD.11.在平面直角坐標系中，動點P在直線上的射影為點Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結論正確的是（）A.C關于直線l對稱B.C上存在點，使得C.的最小值為D.若C與兩條坐標箱的正半軸所圍成的面積為S，則【答案】ABD【解析】設，則．由，得，即．關于l對稱的點為，也滿足方程，故C關于直線l對稱，A正確．顯然點在C上，且滿足，B正確．因為，當且僅當時，等號成立，所以，整理得，從而，C不正確．記C在第一象限內的部分為曲線D，設為D上任意一點，則，由，得，即，故點B在直線的上方或在的下方（不重合），從而．假設，則由，可得，則，則，則，這與假設矛盾，故D在直線的上方，從而，故，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線的離心率為，則_____________．【答案】3【解析】由雙曲線，得，所以雙曲線C的離心率為，所以，解得故答案為：.13.4名醫生和2名護士站成一排，要求2名護士不相鄰，且醫生甲不站在隊伍的最左端，則不同的站法共有_____________種．【答案】408【解析】若醫生甲不站在醫生的最左端則有種不同的站法，若醫生甲站在醫生的最左端，則有種不同的站法，故不同的站法共有種．故答案為：408.14.將數列與中所有的項去掉它們的公共項后，剩余的項從小到大排序得到數列，則_____________，的前202項和為_____________．【答案】①.14②.49609【解析】與的公共項為，去掉它們的公共項后，剩余的項從小到大排序為4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以，且每兩個相鄰的公共項之間有5項，分別求和，，，，…，可以看到這5項的和為一項構成的新數列是首項為70，公差為60的等差數列．因為，所以的前202項和為．故答案為：14，49600四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了研究觀眾對某檔節目的喜愛情況與性別的關聯性，分別調查了該檔節目男、女觀眾各100人，發現共有70名觀眾喜愛該檔節目，且不喜愛該檔節目的女性觀眾數是喜愛該檔節目的男性觀眾數的2倍．（1）根據題中信息，完成下面列聯表；單位：人性別喜愛情況合計喜愛不喜愛男女合計（2）根據（1）中的列聯表，依據的獨立性檢驗，能否認為觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別有關？附：．0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）設喜愛該檔節目的男性觀眾數為x，則喜愛該檔節目的女性觀眾數為，不喜愛該檔節目的女性觀眾數為，則，得．故列聯表完成如下．單位：人性別喜愛情況合計喜愛不喜愛男3070100女4060100合計70130200（2）零假設為：觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別無關．根據（1）中列聯表的數據，計算得到．根據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別無關．16.如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，記的中點為G，連接．因為平面，所以．由是正三角形，四邊形是正方形，F為的中點，易得，則．因為G是的中點，所以．又，所以．因，平面，所以平面，從而．（2）解：記的中點為O，連接，則．以O為坐標原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨令，則，．設平面的法向量為，由得令，得，則．設直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數．（1）若，求的極值；（2）若，討論的單調性．解：（1）當時，，定義域為，則．當時，單調遞增；當時，單調遞減．故當時，取得極大值，無極小值．（2）由，得．令，得或．若，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減．若，則，當和時，單調遞減；當時，單調遞增．若，則在上恒成立，單調遞減．綜上所述，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為