高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市西城區2025屆高三下學期5月模擬測試數學試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，錯誤，錯誤，錯誤，，所以，D正確，故選：D2.設為虛數單位，則在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，所以復數對應的點，位于第四象限，故選：D3.設，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得.故選：B.4.若，則（）A.0 B.1 C.4 D.8【答案】A【解析】法一：令，則，所以原式左邊為，原式右邊為，所以.法二：根據二項式定理，得所以所以.故選：A.5.設圓的圓心為，直線與該圓相交于兩點．若，則實數（）A.1 B.3或1 C.3 D.3或【答案】D【解析】將直線代入圓的方程可得：，設，所以，，則，所以，化簡得：，解得：或，故選：D6.設為雙曲線的右焦點．已知成等差數列，那么雙曲線的離心率等于（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由題意，即，由于，解得.故選：B.7.設平面向量與不共線，，則“與共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若與共線，則存在實數，使得，即，由于平面向量與不共線，所以且，故，因此“與共線”是“”的充要條件，故選：C8.小明在某印刷服務公司看到如下廣告：“本公司承接圖紙復印業務，規格可達A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1復印紙有多大呢？據查：所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，且兩張A4紙可以拼接成一張A3紙，兩張A3紙可以拼接成一張A2紙…….已知A4紙的寬為210mm，那么A1紙的長和寬約為（）A.840mm，594mm B.840mm，588mmC.594mm，420mm D.588mm，420mm【答案】A【解析】A4紙的寬為，設其長為，若兩張A4紙的寬拼在一起，則A3紙的寬為，長為，且，故舍去；若兩張A4紙的長拼在一起，即A3紙的寬為，長為，A2紙的寬為，長為，A1紙的寬為，長為，由所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，可得，解得，則，所以A1紙的長和寬約為840mm，594mm.故選：A9.設正方體的棱長為2，P為正方體表面上一點，且點P到直線的距離與它到平面ABCD的距離相等，記動點P的軌跡為曲線W，則曲線W的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，顯然點到平面的距離為，設點，在上取一點，而，所有，從而，所以點P到直線的距離為，所以，令，得，此時點的軌跡就是一個點，此時點的軌跡長度是0，令，得，此時點在以為圓心半徑為2的四分之一的圓周上面運動，此時點的軌跡長度是，令，得，即，此時點的軌跡長度是0，令，得，即，此時點在線段上運動，軌跡長度是，令，，即，此時點在線段上運動，軌跡長度為，令得，，即，此時點的軌跡長度是0，綜上所述，所求為.故選：D.10.已知函數若對于任意的，都有，那么實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，即，此時，滿足要求；若，則，此時，故恒成立，其中，故；若且，即，此時，對稱軸為，若，此時在上單調遞增，故只需，即，解得，故；若，此時在上單調遞減，在上單調遞增，故，令，解得，與取交集得，若，此時在上單調遞減，故只需，即，解得，與取交集得；綜上，實數的取值范圍為.故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為______．【答案】【解析】由函數有意義，則滿足，解得且，所以函數的定義域為.故答案為：.12.一個金屬模具的形狀，大小如圖所示，它是圓柱被挖去一個倒立的圓錐剩余的部分．那么該模具的體積為______．【答案】【解析】由題可知，，∴該模具的體積為，故答案為：.13.設函數，則使得函數在區間上存在最大值的一個值為______．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，則，令，所以，因為在區間上存在最大值，所以，則，又，即，所以或，所以符合題意的一個值為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）14.在數列中，，且任意連續三項的和均為7，則______；記數列的前項和為，則使得成立的最大整數______．【答案】①.6②.44【解析】由題意，所以數列是周期為3的周期數列，所以，故；當時，，解得，此時最大整數為42，當時，，解得，此時最大整數為42，當時，，解得，此時最大整數為44，綜上所述，，使得成立的最大整數.故答案為：6，44.15.數學中有許多形狀優美，應用廣泛的曲線．雙紐線就是其中之一（如圖），其定義為：在平面內，到兩個定點和的距離之積為常數的點的軌跡．設為上一點，給出下列四個結論：①；②；③若點在第一象限，則；④的周長可以等于．其中，所有正確結論的序號是______．【答案】①②③【解析】對于①中，由雙紐線，令，可得，解得或，所以，所以①正確；對于②中，設，其中，且，由，因為，可得，可得，所以，所以②正確；對于③中，若點位于第一象限，要證，即證，等價于，由雙紐線，可得，所以③正確；對于④中，設，則三角形的周長為，在中，由余弦定理得，即，即，所以，即，所以，因為，所以④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知中，．（1）求的大小；（2）設為的中點，且，求的面積．解：（1）由，得．由，得，故，所以．（2）由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得或（舍）．所以，故．17.如圖，在三棱錐中，平面平面分別為的中點．（1）求證：平面平面；（2）設，從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（1）證明：因為，平面平面，平面平面，所以平面．由分別為中點，得，所以平面．又因為平面，所以平面平面．（2）解：選擇條件①②：因為，所以，則．所以．由平面，得．故兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．設平面的法向量為，則即令，則．于是．易知平面的一個法向量．設平面與平面夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．選擇條件①③；由平面，得．因為，所以平面．所以．故兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系，以下同選條件①②，略．選擇條件②③；由平面，得．因為，所以平面．所以．故兩兩垂直．又因為，所以．如圖建立空間直角坐標系，以下同選條件①②，略．18.網絡搜索已成為人們獲取信息或解決問題的重要手段.為研究某傳染性疾病的未來流行趨勢，收集得到該疾病某月1號至30號的網絡搜索量（單位：萬次）如下：時間1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號11號12號13號14號15號搜索量6.25.16.1726.17.46.26.36.46.37.16.3737.67.9時間16號17號18號19號20號21號22號23號24號25號26號27號28號29號30號搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48211.512.112.813.6用頻率估計概率.（1）從2號至14號中任取1天，求該天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率；（2）假設該疾病每天的搜索量變化是相互獨立的.在未來的日子里任取3天，試估計這3天該疾病搜索量的數據中既有高于10萬又有低于8萬的概率；（3）記表中30天的搜索量的平均數為，去除搜索量中最大的3個和最小的3個后剩余24個搜索量的平均數為，試給出與的大小關系.（結論不要求證明）解：（1）記事件A為“從2號至14號中任取1天，且該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低”，根據數據，知僅有2，5，7，10，12號這5天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低，所以從2號至14號中任取1天，該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率．（2）記事件B為“在未來的日子里任取3天，且這3天該疾病搜索量的數據中既有高于10萬又有低于8萬”，根據數據，知在未來的日子里某天該疾病的搜索量高于10萬的概率可估計為，低于8萬的概率可估計為．則．所以在未來日子里任取3天，估計這3天該疾病捜索量的數據中既有高于10萬又有低于8萬的概率為．（3）最大的三個數為：，最小的三個數為：，這6個數之和為故故.19.已知橢圓，直線經過橢圓的左頂點和下頂點．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）設過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，直線與直線的交點分別為，線段的中點分別為．若直線經過坐標原點，求的取值范圍．解：（1）因為直線與坐標軸交點為和，所以．由，解得，所以橢圓的方程為，離心率．（2）由題意，直線的斜率存在，故設其方程為，設點，由得，所以．所以點的橫坐標，縱坐標．結合直線過坐標原點，可得直線的方程為．令，得點的坐標為．當時，顯然點不在軸上．則直線：，直線：．令，得點．由線段的中點為，得，整理，得，即，化簡，得．由，得．當時，由題意，點中有一個與點重合（不妨設點與點重合），處為中點，且，在中，，則直線的方程為，由的中點為，則，即，故，所以，當且僅當時等號成立．綜上，的取值范圍為.20.已知函數，其中．（1）若曲線在點處的切線經過點，求的值；（2）證明：函數存在極小值；（3）記函數的最小值為，求的最大值．（1）解：求導，得，所以，，故曲線在點處的切線方程為，將點代入切線方程，得．（2）證明：函數的定義域為．設函數，則，由，得，所以函數在上單調遞增，因為，所以存在唯一的，使得，即．當變化時，與的變化情況如下：-0+極小值所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．故函數存在極小值．（3）解：由（2）知，函數有最小值．由，得．所以．設函數，則．今，得（舍）或．當變化時，與的變化情況如下：1+0-極大值所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．所以當時，，即當時，．結合，知當時，．由函數的導數，知其在區間上單調遞減，故當且僅當時．所以當時，取得最大值0．21.已知項數列，對于給定，定義變換：將數列中的項替換為，其余項均保持不變，記得到的新數列為．其中，當時，；當時，；當時，．若將數列再進行上述變換，記得到的新數列為，重復操作，得到數列，并稱為第一次變換，為第二次變換，?．（1）若數列：，求數列和；（2）設為遞增數列，對進行有限次變換后得到數列．證明：為遞增數列；（3）當第次變換前后兩個數列的首項乘積為負數時，令；否則．對于給定的項數列，進行2025次變換，證明：．（1）解：由題意得，數列，數列，故數列．（2）證明：若對：進行變換，即將替換為，其余項不變，由，得，故仍為遞增數列；若對進行變換，即將替換為，其余項不變，由，很，故仍為遞增數列：若對進行變換，即將替換為，其余項不變，由，得，故仍遞增數列．綜上，對于任意，對進行變換后仍為遞增數列．以此類推，知對進行有限次變換后，所得的數列為遞增數列．（3）解：記數列：中去除等于0的項后得到的數列為（其余項相對位置不變，下同），中去除為0的項后得到的數列為．設中相鄰兩項乘積為負數的有對，中相鄰兩項乘積為負數的有對，則．如果對進行變換，即將替換為，此時若與同號，則數列中相鄰兩項乘積為負數的仍有對，即；若與異號，則或；若與中有0，則一定不與異號，故．如果對進行變換，即將替換為，此時若與同號，則；若與異號，有以下三種情況：①若與同號，顯然也與異號，則；②若與異號，則；③若與中有0，只有一個0，不妨設，則與異號，故，或，或．若與同為0，則；若，，不妨設，則與同號，故；若，，不妨設，則與異號，故或；對進行變換與進行變換類似．綜上，對進行一次變換后，．以此類推，對進行2025次變換，每一次變換后所得數列中去除等于0的項后相鄰兩項乘積為負數的對數比變換前的并不會增大，且．在此之中，若某一次變換使得第一項的正負號發生改變，則該變換一定是變換，且變換之前數列的第一項與第二項異號，故變換之后所得數列中去除等于0的項后相鄰兩項乘積為負數的對數比變換前減少1對．所以對進行2025次變換時，其第一項的正負號最多發生次改變，即．北京市西城區2025屆高三下學期5月模擬測試數學試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，錯誤，錯誤，錯誤，，所以，D正確，故選：D2.設為虛數單位，則在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，所以復數對應的點，位于第四象限，故選：D3.設，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得.故選：B.4.若，則（）A.0 B.1 C.4 D.8【答案】A【解析】法一：令，則，所以原式左邊為，原式右邊為，所以.法二：根據二項式定理，得所以所以.故選：A.5.設圓的圓心為，直線與該圓相交于兩點．若，則實數（）A.1 B.3或1 C.3 D.3或【答案】D【解析】將直線代入圓的方程可得：，設，所以，，則，所以，化簡得：，解得：或，故選：D6.設為雙曲線的右焦點．已知成等差數列，那么雙曲線的離心率等于（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由題意，即，由于，解得.故選：B.7.設平面向量與不共線，，則“與共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若與共線，則存在實數，使得，即，由于平面向量與不共線，所以且，故，因此“與共線”是“”的充要條件，故選：C8.小明在某印刷服務公司看到如下廣告：“本公司承接圖紙復印業務，規格可達A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1復印紙有多大呢？據查：所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，且兩張A4紙可以拼接成一張A3紙，兩張A3紙可以拼接成一張A2紙…….已知A4紙的寬為210mm，那么A1紙的長和寬約為（）A.840mm，594mm B.840mm，588mmC.594mm，420mm D.588mm，420mm【答案】A【解析】A4紙的寬為，設其長為，若兩張A4紙的寬拼在一起，則A3紙的寬為，長為，且，故舍去；若兩張A4紙的長拼在一起，即A3紙的寬為，長為，A2紙的寬為，長為，A1紙的寬為，長為，由所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，可得，解得，則，所以A1紙的長和寬約為840mm，594mm.故選：A9.設正方體的棱長為2，P為正方體表面上一點，且點P到直線的距離與它到平面ABCD的距離相等，記動點P的軌跡為曲線W，則曲線W的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，顯然點到平面的距離為，設點，在上取一點，而，所有，從而，所以點P到直線的距離為，所以，令，得，此時點的軌跡就是一個點，此時點的軌跡長度是0，令，得，此時點在以為圓心半徑為2的四分之一的圓周上面運動，此時點的軌跡長度是，令，得，即，此時點的軌跡長度是0，令，得，即，此時點在線段上運動，軌跡長度是，令，，即，此時點在線段上運動，軌跡長度為，令得，，即，此時點的軌跡長度是0，綜上所述，所求為.故選：D.10.已知函數若對于任意的，都有，那么實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，即，此時，滿足要求；若，則，此時，故恒成立，其中，故；若且，即，此時，對稱軸為，若，此時在上單調遞增，故只需，即，解得，故；若，此時在上單調遞減，在上單調遞增，故，令，解得，與取交集得，若，此時在上單調遞減，故只需，即，解得，與取交集得；綜上，實數的取值范圍為.故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為______．【答案】【解析】由函數有意義，則滿足，解得且，所以函數的定義域為.故答案為：.12.一個金屬模具的形狀，大小如圖所示，它是圓柱被挖去一個倒立的圓錐剩余的部分．那么該模具的體積為______．【答案】【解析】由題可知，，∴該模具的體積為，故答案為：.13.設函數，則使得函數在區間上存在最大值的一個值為______．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，則，令，所以，因為在區間上存在最大值，所以，則，又，即，所以或，所以符合題意的一個值為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）14.在數列中，，且任意連續三項的和均為7，則______；記數列的前項和為，則使得成立的最大整數______．【答案】①.6②.44【解析】由題意，所以數列是周期為3的周期數列，所以，故；當時，，解得，此時最大整數為42，當時，，解得，此時最大整數為42，當時，，解得，此時最大整數為44，綜上所述，，使得成立的最大整數.故答案為：6，44.15.數學中有許多形狀優美，應用廣泛的曲線．雙紐線就是其中之一（如圖），其定義為：在平面內，到兩個定點和的距離之積為常數的點的軌跡．設為上一點，給出下列四個結論：①；②；③若點在第一象限，則；④的周長可以等于．其中，所有正確結論的序號是______．【答案】①②③【解析】對于①中，由雙紐線，令，可得，解得或，所以，所以①正確；對于②中，設，其中，且，由，因為，可得，可得，所以，所以②正確；對于③中，若點位于第一象限，要證，即證，等價于，由雙紐線，可得，所以③正確；對于④中，設，則三角形的周長為，在中，由余弦定理得，即，即，所以，即，所以，因為，所以④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知中，．（1）求的大小；（2）設為的中點，且，求的面積．解：（1）由，得．由，得，故，所以．（2）由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得或（舍）．所以，故．17.如圖，在三棱錐中，平面平面分別為的中點．（1）求證：平面平面；（2）設，從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（1）證明：因為，平面平面，平面平面，所以平面．由分別為中點，得，所以平面．又因為平面，所以平面平面．（2）解：選擇條件①②：因為，所以，則．所以．由平面，得．故兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．設平面的法向量為，則即令，則．于是．易知平面的一個法向量．設平面與平面夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．選擇條件①③；由平面，得．因為，所以平面．所以．故兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系，以下同選條件①②，略．選擇條件②③；由平面，得．因為，所以平面．所以．故兩兩垂直．又因為，所以．如圖建立空間直角坐標系，以下同選條件①②，略．18.網絡搜索已成為人們獲取信息或解決問題的重要手段.為研究某傳染性疾病的未來流行趨勢，收集得到該疾病某月1號至30號的網絡搜索量（單位：萬次）如下：時間1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號11號12號13號14號15號搜索量6.25.16.1726.17.46.26.36.46.37.16.3737.67.9時間16號17號18號19號20號21號22號23號24號25號26號27號28號29號30號搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48211.512.112.813.6用頻率估計概率.（1）從2號至14號中任取1天，求該天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率；（2）假設該疾病每天的搜索量變化是相互獨立的.在未來的日子里任取3天，試估計這3天該疾病搜索量的數據中既有高于10萬又有低于8萬的概率；（3）記表中30天的搜索量的平均數為，去除搜索量中最大的3個和最小的3個后剩余24個搜索量的平均數為，試給出與的大小關系.（結論不要求證明）解：（1）記事件A為“從2號至14號中任取1天，且該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低”，根據數據，知僅有2，5，7，10，12號這5天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低，所以從2號至14號中任取1天，該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率．（2）記事件B為“在未來的日子里任取3天，且這3天該疾病搜索量的數據中既有高于10萬又有低于8萬”，根據數據，知在未來的日子里某天該疾病的搜索量高于10萬的概率可估計為，低于8萬的概率可估計為．則．所以在未來日子里任取3天，估計這3天該疾病捜索量的數據中既有高于10萬又有低于8萬的概率為．（3）最大的三個數為：，最小的三個數為：，這6個數之和為故故.19.已知橢圓，直線經過橢圓的左頂點和下頂點．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）設過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，直線與直線的交點分別為，線段的中點分別為．若直線經過坐標原點，求的取值范圍．解：（1）因為直線與坐標軸交點為和，所以．由，解得，所以橢圓的方程為，離心率．（2）由題意，直線的斜率存在，故設其方程為，設點，由得，所以．所以點的橫坐標，縱坐標．結合直線過坐標原點，可得直線的方程為．令，得點的坐標為．當時，顯然點不在軸上．則直線：，直線：．令，得點．由線段的中點為，得，整理，得，即，化簡，得．由，得．當時，由題意，點中有一個與點重合（不妨設點與點重合），處為中點，且，在中，，則直線的方程為，由的中點為，則，即，故，所以，當且僅當時等號成立．綜上，的取值范圍為.20.已知函數，其中．（1）若曲線在點處的切線經過點，求的值；（2）證明：函數存在極小值；（3）記函數的最小值為，求的最大值．（1）解：求導，得，所以，，故曲線在點處的切線方程為，將點代入切線方程，得．（2）證明：函數的定義域為．設函數，則，由，得，所以函數在上單調遞增，因為，所以存在唯一的，使得，即．當變化時，與的變化情況如下：-0+極小值所