案例十七——復信號有如此妙用之希爾伯特變換內容概要案例設置目的相關基礎理論情境任務及步驟基于希爾伯特變換的時頻分析AM（幅度調制）信號特征及解調思考題總結報告要求案例設置目的通過實驗了解解析信號的構造方法以及解析信號在時頻分析、包絡解調、單邊帶調制、帶通信號采樣等場合的應用，理解實信號和復信號的頻譜特性。相關基礎理論1.解析信號及連續希爾伯特變換設x(n)為實信號，由DTFT定義和歐拉公式可知：（17.1）若按照數字角頻率ω的取值進行劃分，X(ejω)可以劃分成三段：（17.2）仔細觀察ω取大于0和小于0的部分，不難理解X(ejω)在ω取大于0和小于0的兩部分是共軛關系，因此模值相同，所以實序列x(n)的頻譜是關于ω=0偶對稱的。若對X(ejω)做如下處理：在ω≥0時乘以－j，在ω<0時乘以j，并將處理后的結果記為X?(ejω)，ω=0時乘以0即（17.3）相關基礎理論將實序列x(n)的DTFT結果X(ejω)與X?(ejω)進行如下的線性組合，不難發現組合的結果在在ω<0時結果變成了0，在ω≥0時X(ejω)的幅度加倍。從圖形的角度看，|X(ejω)|關于ω=0偶對稱，而|X(ejω)+jX?(ejω)|是非對稱圖形，非零部分或非負頻率處的幅度是|X(ejω)|的兩倍。（17.4）綜上，通過對實序列x(n)的DTFT結果X(ejω)進行分段處理，之后將處理后的結果與X(ejω)進行線性組合可以得到只包含X(ejω)非負頻率的結果（其中的2倍可以通過乘以1/2或增益控制變成幅度保持不變），從而提高頻譜資源效率，這種思想便是希爾伯特變換（HilbertTransform）。

相關基礎理論設xr(t)是一個實信號，其傅里葉變換（連續時間傅里葉變換CTFT）為Xr(

jf

)，則可構造僅包含X(jf)非負頻率分量的函數Xa(jf)（17.5）其中sgn(f)為符號函數，f<0時sgn(f)=-1，f=0時sgn(f)=0，f>0時sgn(f)=1。只保留了Xr(jf)非負頻率分量的Xa(jf)對應的時域信號與xr(t)有什么關系呢？對Xa(jf)進行傅里葉逆變換得到的時域信號記為xa(t)，即（17.6）（17.7）其中符號“

”表示線性卷積。相關基礎理論由式（17.7）可以看出Xa(jf)對應的時域信號xa(t)是個復信號，且實部就是原來的實信號xr(t)，而虛部也與xr(t)密切相關。由于xa(t)的傅里葉變換僅包含了Xr(jf)非負頻率分量，沒有負頻率分量，因此xa(t)稱作xr(t)的解析信號。若定義ha(t)為（17.8）（17.9）則解析信號xa(t)可以看成是實信號xa(t)與ha(t)卷積的結果，其中式（17.7）中的xi(t)是實值信號xr(t)的希爾伯特（Hilbert）變換結果。實值信號xr(t)

希爾伯特變換定義如下：（17.10）相關基礎理論結合式（17.7）和式（17.8），構造實值信號對應解析信號的過程可用圖17.1所示。對式（17.9）求希爾伯特變換核函數或單位沖擊響應的傅里葉變換得到傳遞函數，即（17.11）進而可知解析信號xa(t)的實部xr(t)的傅里葉變換Xr(jf)與其虛部xi(t)的傅里葉變換Xi(jf)之間存在如下關系：（17.12）從這意義上講，希爾伯特變換可以看成是90°的移相器。如實信號xr(t)=cos2πft，其希爾伯特變換的結果為xi(t)=sin2πft，相應的解析信號為xa(t)=xr(t)+jxr(t)=cos2πft+jsin2πft=ej2πft，信號的頻譜由實信號的雙邊對稱譜變成了復信號的單邊譜，且僅有非負分量。圖17.1解析信號構造相關基礎理論另外，從Xr(jf)到Xa(jf)的關系是可逆的，即（17.13）其中Xa(

jf

)*表示Xa(

jf

)的復共軛。2．離散希爾伯特變換及其計算離散希爾伯特核函數的傳遞函數定義為（17.14）計算其離散傅里葉反變換得（17.15）相關基礎理論h(n)隨n變化的曲線如圖17.2所示。結合式（17.15）和圖17.2，容易看出離散希爾伯特變換的單位取樣響應h(n)為無窮長序列，滿足奇對稱特性，而且h(n)

幅度的絕對值隨著n對原點的遠離而單調減小。希爾伯特變換的原理很容易理解，但是希爾伯特變換的計算卻并不簡單，離散希爾伯特變換通常有兩種計算方法，一種是基于FIR的方法，另一種是基于FFT的方法。圖17.2希爾伯特變換核函數（單位脈沖響應）相關基礎理論3．基于希爾伯特變換的信號瞬時幅度和瞬時頻率分析式（17.7）表明解析信號xa(t)由實部和虛部兩部分組成，若將其表示為極坐標形式就可以得到信號的幅度和瞬時角度信息，即（17.16）其中瞬時幅度或極徑|A(t)|和瞬時相位或角度

(t)分別定義為（17.17）（17.18）角度

(t)相對時間的變化率，即為解析信號的瞬時頻率，即（17.19）解析信號xa(t)

的頻譜特性與實值信號xr(t)

在正頻率段的分布特性完全相同，時域上比實值信號多了一維或一個自由度，也因此對解析信號的分析比對實值信號本身的分析能獲得更多的信息。解析信號xa(t)的瞬時幅度|A(t)|有些場合也稱為包絡，直接反映了xr(t)的幅度變化情況；解析信號xa(t)的瞬時相位

(t)是因希爾伯特變換得到一種特征，單位是弧度，其對于時間的導數——瞬時頻率f(t)的單位是Hz。

情境任務及步驟一、基于希爾伯特變換的時頻分析1．拆解希爾伯特變換設序列x(n)={1,2,3,4,5}。（1）按照DTFT的定義寫出X(ejω)=DTFT[x(n)]。（2）計算X(ejω)的值。ω取-π~π，步進間隔為π/10。計算X(ejω)各點值時，可以調用函數polyval。該函數的用法可以通過查閱MATLAB中的Help進行學習。（3）計算X?(ejω)的值。按照式（17.3）計算出X(ejω)各離散ω點對應的X?(ejω)值。（4）計算Xa(ejω)。按照式（17.4）計算出Xa(ejω)在各離散點的值，其中Xa(ejω)=X(ejω)+j×X?(ejω)。之后輸出Xa(ejω)和X(ejω)在各離散點上的值，ω取-π~π，步進間隔為π/10，并將觀察到的結果記錄到實驗報告中。情境任務及步驟2．固定單頻信號的時頻分析設xr1(t)為一單音（頻）信號，xr1(t)=cos(2

f0

t)，f0=10，試分析其瞬時頻率。（1）生成符合要求的固定頻率單頻信號。采樣頻率Fs取10倍的f0，信號持續時間td定為50s，生成單頻信號記為xr1(t)。（2）構造單頻信號對應的解析信號。調用MATLAB函數希爾伯特得到xr1(t)的解析信號xa1(t)。函數希爾伯特的函數說明和調用語法可以通過MATLAB中的Help進行學習。（3）計算解析信號的瞬時相位。調用MATLAB函數angle計算解析信號xa1(t)的瞬時相位θ1(t)。函數angle的函數說明和調用語法可以通過MATLAB中的Help進行學習。情境任務及步驟（4）計算瞬時頻率。調用MATLAB函數diff計算瞬時相位θ1(t)對于時間t的導數，結果記為f1(t)。函數diff的函數說明和調用語法可以通過MATLAB中的Help進行學習。值得注意的是要考慮瞬時相位θ1(t)求差分前是否需要用函數unwrap進行解卷繞。（5）結果展示。創建一個圖形窗口，并將圖形窗口一分為二。在一個圖形子窗口中顯示xr1(t)～t的波形，要求顯示10個周期的長度。在另外一個子窗口顯示瞬時頻率的波形f1(t)～t。兩個子窗口都要求加注圖題和橫坐標，并加網格線。對比f1(t)～t與f0的關系，并將結論寫于情境任務總結報告中。情境任務及步驟3．Chirp（線性調頻）信號的時頻分析設xr2(t)為一Chirp信號，

，試分析其瞬時頻率。（1）生成符合要求的Chirp信號。采樣頻率Fs取100，信號持續時間td定為50s，kf=(fend-f1)/td/2，fend=10Hz，生成的Chirp信號記為xr2(t)。（2）構造Chirp信號對應的解析信號。調用MATLAB函數希爾伯特得到xr2(t)的解析信號xa2(t)。（3）計算解析信號的瞬時相位。調用MATLAB函數angle計算解析信號xa2(t)的瞬時相位θ2(t)。（4）計算瞬時頻率。調用MATLAB函數diff計算瞬時相位θ2(t)對于時間t的導數，結果記為f2(t)。情境任務及步驟（5）結果展示。創建一個圖形窗口，并將圖形窗口一分為二。在一個圖形子窗口中顯示xr2(t)～t的波形，要求顯示0～10s的長度。在另外一個子窗口顯示f2(t)～t的波形。兩個子窗口都要求加注圖題和橫坐標，并加網格線。觀察f2(t)～t的變換情況，并寫于情境任務總結報告中。情境任務及步驟二、AM（幅度調制）信號特征及解調1．AM信號的生成及其頻譜特征（1）生成AM信號。設AM信號表示式為xr3(t)=Uc[1+km×m(t)]cos(2

fc

t)，其中m(t)=cos(2

2

t)，fc=10，km=1/2，Uc=1。采樣頻率Fs取100，信號持續時間t定為50s，生成的Chirp信號記為xr3(t)。（2）構造AM信號對應的解析信號。調用MATLAB函數希爾伯特得到xr3(t)的解析信號xa3(t)。（3）分析信號的頻譜特性。調用MATLAB函數fft計算m(t)、xr3(t)和xa3(t)的傅里葉變換，結果分別記為MT