案例二十一——頻率采樣采出FIR濾波器內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟純頻率取樣設(shè)計FIR數(shù)字濾波器頻率取樣基礎(chǔ)上增加過渡點設(shè)計FIR數(shù)字濾波器思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的通過嚴格按照頻率取樣步驟設(shè)計FIR濾波器，深刻理解頻率取樣法的設(shè)計思想及設(shè)計方法，理解添加過渡點對濾波器指標的影響。相關(guān)基礎(chǔ)理論設(shè)所希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為Hd(ej

)，在

取0～2π的范圍內(nèi)對Hd(ej

)等間隔取樣N個點，且第一個取樣點在

=0rad處，得到的頻域離散取樣記為H(k)，即（21.1）根據(jù)頻域離散采樣點H(k)可以確定待設(shè)計濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)或頻率響應(yīng)H(ej

)，即（21.2）（21.3）根據(jù)時域采樣及恢復(fù)理論可知，這樣得到的H(ej

)至少在N個取樣點上與Hd(ej

)是完全一致的，即（21.4）H(ej

)在其他點上是否與Hd(ej

)一致，要取決于對Hd(ej

)進行頻率采樣得到H(k)的過程是否滿足頻率采樣定理。如果Hd(ej

)對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)是無窮長序列，或者說序列長度至少大于取樣點數(shù)N，則頻域采樣必然產(chǎn)生失真，且采樣的點數(shù)越少失真越大，H(ej

)在采樣點以外其他點上與Hd(ej

)的一致性也就越差，或者說H(ej

)

對Hd(ej

)

的逼近度越差。相關(guān)基礎(chǔ)理論為簡單而有效地提高H(ej

)對Hd(ej

)的逼近程度，最常用的是在Hd(ej

)不連續(xù)點附近添加幅度過渡的采樣點，這樣雖然加寬了過濾帶，但緩和了邊界頻率附近樣點幅度的躍變程度，因而將有效地減少起伏振蕩，提高阻帶的最小衰減。增加過渡帶采樣點的個數(shù)m與阻帶衰減

st的經(jīng)驗數(shù)據(jù)參見表21.1。若增加的過渡點個數(shù)為m，則過渡帶寬度近似為2(m+1)π/N。通常濾波器設(shè)計指標中會直接或間接地給出過渡帶寬Bt的要求，通過增加過渡點方式產(chǎn)生的過渡帶也應(yīng)符合指標要求，即

（21.5）當需要設(shè)計滿足線性相位的FIR濾波器時，還必須注意采樣值H(k)的幅度和相位一定要遵循線性相位濾波器四種不同的約束關(guān)系。對于兩類四種情況的線性相位FIR濾波器而言，其頻率響應(yīng)都具有如下形式：（21.6）式中Hg(

)是幅頻特性函數(shù)，是

的是函數(shù)；

(

)=－α

+β，α=(N―1)/2，β等于－π/2或0。m123

st44～54dB65～75dB85～95dB相關(guān)基礎(chǔ)理論對H(ej

)在[0,2π)之間進行N個等間隔取樣，且第一個采樣點在

=0處，則有（21.7）式中Hg(k)是Hg(

)的N個離散采樣值；

(k)是

(

)的N個離散采樣值。對于第一類線性相位FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)滿足偶對稱，即h(n)=h(N―n―1)，對應(yīng)的相頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)應(yīng)滿足：（21.8）（21.9）（21.10）此時，對相頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)采樣得到的離散采樣值應(yīng)滿足：（21.11）（21.12）（21.13）相關(guān)基礎(chǔ)理論對于第二類線性相位FIR濾波器，h(n)滿足奇對稱特性，即h(n)=－h(huán)(N―n―1)，對應(yīng)的相頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)應(yīng)滿足：（21.14）（21.15）（21.16）相頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)對應(yīng)的離散采樣值應(yīng)滿足：（21.17）（21.18）（21.19）相關(guān)基礎(chǔ)理論綜上，頻率取樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器（Frequency-SampledFIRFilterDesign--SFD）的步驟歸納如下。SFDStep1：根據(jù)阻帶最小衰減

st，參照表21.1所示經(jīng)驗數(shù)據(jù)，確定需增加的過渡帶采樣點個數(shù)m。SFDStep2：由過渡帶寬Bt根據(jù)式（21.5）確定頻域采樣點數(shù)N（即濾波器的長度）。SFDStep3：構(gòu)造希望逼近的第一類線性相位理想濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)（21.20）其中Hd(ω)在通帶內(nèi)取常數(shù)1，在阻帶內(nèi)取常數(shù)0。SFDStep4：對Hd(ej

)進行頻域采樣，得（21.21）（21.22）并依據(jù)經(jīng)驗或累試的方法設(shè)置過渡帶內(nèi)樣點的值，即修改式（21.22）中落入過渡帶內(nèi)的值。相關(guān)基礎(chǔ)理論SFDStep5：對H(k)進行Ｎ點IDFT，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)（21.23）SFDStep6：檢驗設(shè)計結(jié)果。計算h(n)的離散時間傅里葉變換，并驗證其幅頻響應(yīng)是否滿足阻帶衰減指標。若不滿足，則調(diào)整過渡帶采樣值，重復(fù)SFDStep5，直到滿足指標。情境任務(wù)及步驟在頻率取樣法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器時，通常設(shè)理想低通濾波器的幅頻特性函數(shù)定義為（21.24）一、純頻率取樣設(shè)計FIR數(shù)字濾波器以逼近理想低通濾波器為例，用純頻率取樣設(shè)計法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器。（1）取N=15，寫出

(

)在N=15的具體表達式，由式（21.6）和式（21.24）確定H(ej

)，并逐點確定Hg(

)和

(

)在

=2kπ/N處的值，k=0,1,…,14，得到Hg(k)及

(k)。（2）根據(jù)式（21.7）確定濾波器頻率響應(yīng)的離散采樣值H1(k)。（3）根據(jù)式（21.23）確定濾波器的單位脈沖響應(yīng)h1(n)。（4）驗證設(shè)計結(jié)果。①調(diào)用freqz函數(shù)確定h1(n)

的頻率響應(yīng)H1(ej

)。②

創(chuàng)建圖形窗口Figure1，在同一幅圖中用不同顏色的線分別畫出H1(ej

)

的幅頻響應(yīng)和Hg(

)。情境任務(wù)及步驟二、頻率取樣基礎(chǔ)上增加過渡點設(shè)計FIR數(shù)字濾波器1．頻率取樣基礎(chǔ)上增加1個過渡點再設(shè)計（1）復(fù)制情境一中已確定的Hg(k)及

(k)。（2）只修改Hg(k)而

(k)不變。根據(jù)式（21.12）、式（21.13）、式（21.15）或式（21.16）選擇Hg(4)

及與其對稱的樣點，，并將Hg(4)及與其對稱的采樣點的值由0改為0.85。（3）

(k)

和修改后的Hg(k)

根據(jù)式（21.17）組合得到H2(k)。（4）根據(jù)式（21.23）確定濾波器的單位脈沖響應(yīng)h2(n)。（5）驗證設(shè)計結(jié)果。調(diào)用freqz函數(shù)在圖形窗口Figure1中，以holdon的方式作圖表示h2(n)

的頻率響應(yīng)H2