案例八——離散時間傅里葉變換離散著算內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟一般信號DTFT的計算矩形序列形式單位取樣響應(yīng)的頻率響應(yīng)能量和能量譜密度計算思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的通過編制計算任意序列離散時間傅里葉變換的程序，理解離散時間傅里葉變換的定義、性質(zhì)，建立幅頻函數(shù)、相頻函數(shù)、信號能量和能量密度的概念，掌握模擬信號能量和時域離散序列能量的關(guān)系，理解幅頻響應(yīng)的線性表示和對數(shù)表示的優(yōu)缺點。相關(guān)基礎(chǔ)理論1．序列的離散時間傅里葉變換時域離散信號x(n)若滿足絕對可和條件，則其離散時間傅里葉變換（DTFT）存在，且有：（8.1）或者將ω的連續(xù)的復(fù)函數(shù)

改寫為（8.2）或者（8.3）其中，表示復(fù)函數(shù)

的模值或幅度，反映了信號的幅頻特性；表示復(fù)函數(shù)

的相位角，為信號的相頻特性，它們與復(fù)函數(shù)

的實部

、虛部

的關(guān)系為（8.4）（8.5）若線性時不變（LTI）系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)用h(n)表示，對序列h(n)做DTFT的結(jié)果記為

稱為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，

稱為系統(tǒng)的相頻響應(yīng)。圖6.1采樣開關(guān)及其數(shù)學(xué)描述相關(guān)基礎(chǔ)理論2．序列DTFT的計算因為是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，因此從一個周期就可以了解到的全貌。而

在一個周期內(nèi)的值，可以借助數(shù)值計算工具通過計算足夠多的離散點

k上的值近似得到。當(dāng)x(n)為有限長序列，即僅在的范圍內(nèi)x(n)才有非零值，其中N1和N2為任意整數(shù)。令，此時式（8.1）可改寫為（8.6）從式（8.6）可以看出，離散點

k上值的計算轉(zhuǎn)化為

次多項式在

k上計算的值。此時可以調(diào)用MATLAB的內(nèi)置函數(shù)polyval實現(xiàn)，或者用矩陣直接計算，即（8.7）

情境任務(wù)及步驟一、一般信號DTFT的計算1．信號產(chǎn)生設(shè)x(n)=R6(n)，在Figure1中畫出x(n)～n的圖，n取

10～10，圖中表示每個樣值大小的線的末端用實心圈，并要求標(biāo)注橫坐標(biāo)。2．編程計算x(n)的DTFT（1）根據(jù)式（8.6）編制程序，計算X(ejω)在

取

5π∶π/100∶5π時的值。建議調(diào)用polyval函數(shù)。（2）在Figure2中畫出幅頻特性圖和相頻特性圖，并標(biāo)注橫縱坐標(biāo)和圖題。（3）觀察幅頻特性圖的周期特性、對稱特性。MATLAB的支持函數(shù)為abs和angle，可以通過Help文件學(xué)習(xí)相關(guān)函數(shù)的調(diào)用語法。情境任務(wù)及步驟3．相頻特性看移位（1）將序列x(n)右移5個樣點，

取0∶π/100∶2π，重新計算X(ejω)。（2）在Figure3中畫幅頻特性圖和相頻特性圖。（3）對比Figure2與Figure3中

取0∶π/100∶2π的部分，結(jié)合DTFT的性質(zhì)對序列時域移位前后對應(yīng)的幅頻圖的一致性和相頻圖斜率的變化進行總結(jié)。為了使對比效果明顯，建議使用axis函數(shù)對Figure2限定顯示范圍。4．雙音信號頻譜（1）設(shè)

1=π/8,2=π/3，x1(n)=cos1n，x2(n)=cos2n，x3(n)=x1(n)+x2(n)，編制程序計算x1(n)、x2(n)和x3(n)的DTFT，結(jié)果記為X1(ej)、X2(ej)、

X3(ej)。要求計算信號的頻譜時序列的長度至少為x3(n)的10個周期以上。（2）在Figure4中自上而下畫圖顯示三個信號的幅頻特性圖。（3）從X3(ej)與X1(ej)和X2(ej)的關(guān)系，總結(jié)DTFT的性質(zhì)。情境任務(wù)及步驟二、矩形序列形式單位取樣響應(yīng)的頻率響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)=R51(n)。1．手工推導(dǎo)結(jié)論以確定比較基準(zhǔn)按照DTFT定義推導(dǎo)H(ejω)的表達式，確定幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，并大致畫出

在

π～π范圍內(nèi)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)圖。2．編程實現(xiàn)驗證計算效果1）表達式計算對推導(dǎo)得出H(ejω)的表達式，在

取

π∶π/100∶π的點上計算H(ejω)的值，在Figure1中畫出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)圖，并標(biāo)注橫縱坐標(biāo)和圖題，且橫坐標(biāo)對π進行歸一化。2）作圖根據(jù)式（8.6）或（8.7）編制程序，直接由h(n)計算H(ejω)在

取

π∶π/100∶π上的值，在Figure2中畫出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)圖，并做好標(biāo)注。比較Figure1和Figure2的異同。情境任務(wù)及步驟3）對數(shù)形式的幅頻特性圖以上述任一種方法得出的結(jié)果為基礎(chǔ)，求出H(ejω)的最大值，并記為maxH，之后在Figure3中畫出20?lg[|H(ejω)|/maxH]隨

變化的圖。MATLAB的支持函數(shù)為max和log，可以通過Help文件學(xué)習(xí)調(diào)用語法。觀察Figure3，借助grid、axis等函數(shù)或工具欄上的DataCursor估算最大峰值和次大峰值的幅度，并計算出二者的幅度差。情境任務(wù)及步驟三、能量和能量譜密度計算1.能量一估計（1）編制程序計算信號x(n)

的時域能量E和頻域能量譜密度P(

)。若存在有界常數(shù)B，使序列x(n)

滿足：(8.8)則序列稱為有界信號。有界時域離散序列的能量定義為序列各樣點值的平方和，即(8.9)當(dāng)E<+∞時，稱為能量有限信號或能量信號。能量有限的時域離散信號的能量譜密度可以通過下式計算，即(8.10)根據(jù)Parseval定理，式（8.9）和式（8.10）存在如下關(guān)系：(8.11)這里只計算G(

)

在

取

π∶π/1000∶π時的值。（2）畫出G(

)

隨

變化的圖，橫坐標(biāo)要求對π進行歸一化，即顯示范圍為

1～1。情境任務(wù)及步驟2.能量再估計假設(shè)h(n)是從一個持續(xù)時間為0.05s的單位幅度門函數(shù)（矩形函數(shù)）形信號ha(t)

是通過均勻采樣得到的。（1）模擬信號能量。計算信號ha(t)的能量Ea。Ea可以通過下式計算，即

（8.12）（2）時域離散序列能量。首先根據(jù)ha(t)和h(n)計算信號采樣頻率Fs，結(jié)果記為Fs1；再根據(jù)式（8.12）和（8.9）計算ha(t)和h(n)的能量E，結(jié)果記為Ea1、E1。（3）若假設(shè)h(n)是從一個持續(xù)時間為0.5s的單位幅度門函數(shù)形信號ha(t)通過均勻采樣得到，重復(fù)模擬信號、時域離散序列ha(t)和h(n)能量的計算，結(jié)果記為Ea2、E2，此時信號采樣頻率記為Fs2。記下兩次的采樣頻率、對應(yīng)的時域離散序列能量、對應(yīng)的模擬信號能量，并計算商E1/Ea1、E2/Ea2，將商值與相應(yīng)的采樣率比較后你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論記于總結(jié)報告中。思考題（1）本案例中在計算DTFT時，

的取值或一定區(qū)間內(nèi)的取樣間隔還是比較隨意的，真可以這樣任性選取嗎？否則該怎樣取？待完成頻率采樣定理后，希望能對這一問題給出完整準(zhǔn)確的回答。（2）比較信號能量E、Ea和總采樣點數(shù)的關(guān)系，試總結(jié)時域離散序列能量、模擬信號能量和采樣點數(shù)之間存在什么樣的聯(lián)系？（3）時域離散序列的功率和模擬信號的功率如何定義？它們之間又存在什么關(guān)系？（4）結(jié)合時域采樣定理和案例一中第四步，是分析該如何看信號的頻譜？總結(jié)報告要求（1）情境任務(wù)總結(jié)報告中原理部分要簡要描述序列DTFT離散化計算的原理、DTFT