云南省紅河州文山州2023-2024學年高二下學期末學業質量監測數學試題1．已知集合U=1,2,3.4,5,6,7,8，A=2,5,6，則A．1,3,4,7 B．1,3,7,8 C．1,3,4,7,8 D．1,3,4,5,7,82．已知直線l：x+3y+m=0與圓C：A．?5,3 B．?5,3 C．?9,7 D．?9,73．為全面普及無人機知識，激發青少年探索航空未來創造力與想象力，提升青少年科學素養和創新能力，培養航空后備人才.中國航空學會、云南省科學技術協會、云南警官學院于2024年4月中句在紅河州彌勒市共同舉辦第8屆全國青少年無人機大賽（云南省賽）.某校為下一屆大賽做準備，在校內進行選拔賽，9名學生成績依次為：85，105，75，100，95，85，90，100，80.則這組數據的第60百分位數為（）A．85 B．90 C．92.5 D．954．已知函數fx對任意的x∈R都有fx+3?fx=0成立，當x∈A．?32 B．32 C．5．若函數fx=3A．2kπ?π3,2kπ+π6，k∈Z B．C．kπ?π3,kπ+π6，k∈Z6．東平房塔（如圖）建于遼代，塔平面呈正六邊形，是遼西古塔中僅有的兩座遼代六邊形古塔之一.請根據塔平面抽象出正六邊形ABCDEF，若AB=2，則AC?A．6 B．43 C．8 7．已知橢圓C：x2a2+yA．223 B．63 C．38．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是（）A．小于10g B．等于10gC．大于10g D．大于或等于10g9．以下說法正確的是（）A．若X~Bn,13，B．隨機變量ξ，η，若η=5ξ+3，則EC．若A?B，PA=0.2，PD．ξ~N2,σ2，且10．記正項數列an的前n項和為Sn，已知A．a2=2 C．Sn=2n11．如圖1，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2.沿對角線BD將其翻折，如圖2.則（）A．在折疊過程中直線AC與BD所成角不變B．當點C在平面ABD的投影為△ABD的重心時，AC=2C．三棱錐D?ABC的表面積最大值為4D．當三棱錐D?ABC的體積最大時，其外接球半徑為1512．設z為虛數，z=1，則z可以為13．已知函數fx，gx分別是定義在R上的奇函數，偶函數，且fx+g14．已知直線l：x?2y+2=0與拋物線C：x2=4y交于A，B兩點，如圖，點P為拋物線C上的動點，且位于直線AB的下方，則△ABP面積的最大值為15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos（1）求B；（2）若b=2，△ABC的面積為3，求△ABC的周長.16．如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D（1）求證：D1P//平面（2）求平面ABB1A17．已知函數fx=x+1?a（1）當a=0時，求出方程fx（2）討論函數fx18．為提高學生的身體素質，除了進行體育鍛煉之外，學校每天中午免費為學生提供水果和牛奶兩種營養餐（每人每次只能選擇其中一種），經過統計分析發現：學生第一天選擇水果的概率為13，選擇牛奶的概率為23.而前一天選擇水果第二天選擇水果的概率為34，選擇牛奶的概率為14；前一天選擇牛奶第二天選擇水果的概率為12（1）記某班的2名同學在發放營養餐開始第二天選擇水果的人數為X，求X的分布列和期望；（2）證明數列{pn?（3）為了培養學生的服務意識，30天后學校組織學生參加志愿服務活動，其中有15位學生負責為全體同學分發營養餐，應該如何安排分發水果和牛奶的人數.19．已知點?5,12，3,52在雙曲線C:x（1）求雙曲線C的標準方程；（2）當m=1且k≠0時，直線l與雙曲線C分別交于A，B兩點，A關于y軸的對稱點為D.證明：直線BD過定點；（3）當k≠±ba時，直線l與雙曲線C有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸，y軸于Sx,0，T0,y兩點.當點

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為集合U=1,2,3.4,5,6,7,8，A=所以?U故答案為：C.【分析】根據已知條件和補集的運算法則，從而得出集合A在集合U中的補集.2．【答案】A【解析】【解答】解：由圓C：x?12+y因為直線l：x+3y+m=0與圓C：x?12+y2=4解得：?5≤m≤3.故答案為：A.【分析】根據圓的標準方程得出圓的半徑長，再結合已知條件得出直線與圓恒有公共點，則由d≤r和點到直線的距離公式，從而得出實數m的取值范圍.3．【答案】D【解析】【解答】解：因為9名學生成績從低到高依次為：75，80，85，85，90，95，100，100，105，且9×60%=5.4，所以，這組數據的第60百分位數為：95.故答案為：D.【分析】根據已知條件和百分位數的定義，從而得出這組數據的第60百分位數.4．【答案】A【解析】【解答】解：由fx+3?fx=0，

得fx+3=fx所以f2024當x∈?1,2時，f所以f(?1)=sin故答案為：A.【分析】利用已知條件得到函數的周期，則得出f20245．【答案】C【解析】【解答】解：因為f(x)=3所以?π所以?π則函數fx的單調遞增區間為kπ?π3故答案為：C.【分析】先將函數解析式化簡整理得到f(x)=sin2x+π6+6．【答案】D【解析】【解答】解：以A為坐標原點，AB,AE所在直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標系，

則A0,0所以，AC?故答案為：D.【分析】利用已知條件建立平面直角坐標系，從而寫出點的坐標，再利用數量積的坐標表示，從而得出AC?7．【答案】B【解析】【解答】解：設A則x12a2+因為線段AB的中點為M1,?1，

所以y所以y1?y2x則直線AB的斜率為：kAB所以13=b故答案為：B.

【分析】利用已知條件和點差法以及中點坐標公式和兩點求斜率公式，從而得出a，b的關系式，再結合橢圓中a，b，c三者的關系式和橢圓的離心率公式，從而得出橢圓C的離心率.8．【答案】C【解析】【解答】解：因為天平兩臂不等長，

可設天平左臂長為a，右臂長為b，則a≠b，再設先稱得黃金為xg，后稱得黃金為yg，

則bx=5a，ay=5b，∴x=5ab，∴x+y=5a當且僅當ab=ba時，即當a=b時等號成立，

但a≠b，等號不成立，因此，顧客購得的黃金大于10g.故答案為：C.

【分析】設天平的左臂長為a，右臂長b，則a≠b，售貨員現將5g的砝碼放在左盤，將黃金xg放在右盤使之平衡，然后又將5g的砝碼放入右盤，將另一黃金yg放在左盤使之平衡，則顧客實際所得黃金為x+yg，再利用杠桿原理和基本不等式求最值的方法，從而得出顧客購得的黃金大于10g9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，若X~Bn,則D解得n=9，故A錯誤；對于B，隨機變量ξ，η，若η=5ξ+3，則Eη對于C，若A?B，則PA則PA對于D，因為ξ~N2,σ2則P2<ξ<6故答案為：BCD.【分析】根據二項分布的方差的性質可判斷選項A；根據數學期望的性質可判斷選項B；根據條件概率的公式可判斷選項C；根據正態分布的性質可判斷選項D，從而找出說法正確的選項.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于B：∵2Sn∴當n=1時，2a1=當n≥2時，2Sn?1由①②得2an化為an∵?n∈N?有an>0，則數列an∴an∴an對于A、C：因為a2=2，對于D：因為1a所以，數列1ana故答案為：AD.

【分析】由Sn與an的關系式結合等差數列的定義，從而證出數列11．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】解：對于A，如圖①所示，取BD中點E，連接CE,AE，

因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60所以AB=BC=CD=AD=BD=2，且△CBD,△ABD為等邊三角形，因為E為BD中點，所以CE⊥BD,AE⊥BD，因為CE∩AE=E,CE?平面ACE，AE?平面ACE，所以BD⊥平面ACE，因為AC?平面ACE，所以AC⊥BD，故A正確；對于B，如圖②所示，設△ABD的重心為G，因為點C在平面ABD的投影為△ABD的重心，所以CG⊥平面ABD，因為△ABD為等邊三角形，所以△ABD的重心G在AE上，且AG=2GE=2在△CGE中，CG=C在△CGA中，AC=C對于C，因為△DCA,△BCA全等，所以三棱錐D?ABC的表面積為：

S=2×=4sin因為∠ADC∈(0,2π所以當∠ADC=π2時，對于D，因為當三棱錐D?ABC的體積最大，如圖①所示，所以平面CBD⊥平面ABD，又因為CE⊥BD，平面CBD∩平面ABD=BD，所以CE⊥平面ABD，

故三棱錐D?ABC高最大為CE=所以VD?ABC如圖③所示，設三棱錐D?ABC外接球球心為O，且G為△ABD的重心，過G作OG⊥平面ABD，過O作OF⊥平面CBD，連接OF,OA,OC，因為AE⊥BD，AE?平面ABD，所以AE⊥平面CBD，所以OF//GE，因為CE⊥平面ABD，OG⊥平面ABD，所以OG//EF，所以四邊形OGEF為矩形，

則OG=EF,OF=GE因為O點為三棱錐D?ABC的外接球的球心，到A,B,C,D四點距離相等，設OG=EF=x，外接球半徑為R，

則CF=3在△OGA中，R2在△OFC中，R2解得x=3所以外接球的半徑R=15故答案為：ABD.【分析】取BD中點E，連接CE,AE，利用等邊三角形三線合一得出線線垂直，從而證出直線BD⊥平面ACE，則判斷出選項A；如圖②所示，在△CGE中求出CG的長，在△CGA中，通過勾股定理求出AC的長，則判斷出選項B；將三棱錐D?ABC的表面積表示為SD?ABC=4sin∠ADC+23，再根據∠ADC的取值范圍求出三棱錐D?ABC的表面積的最大值，則判斷出選項C；當三棱錐D?ABC的體積最大時，則平面CBD⊥12．【答案】i（答案不唯一，x±1?【解析】【解答】解：設虛數z=x+yi,x,y∈R,y≠0，

由z=1，得x所以y=±1?x2(?1<x<1)，

取故答案為：i.【分析】設出虛數z的代數形式，再由復數的模的公式和已知條件，從而求出滿足要求的復數z.13．【答案】?1【解析】【解答】解：因為函數fx，gx分別是定義在所以f?x所以fx則fx故答案為：?1.【分析】利用已知條件和函數的奇偶性，從而得出fx14．【答案】5【解析】【解答】解：當拋物線過點P的切線與直線l平行時，?PAB的面積最大，設點Px0,y0，

由x所以切線的斜率：k=12x所以y0=1因為點P到直線l的距離d=1?2×由x?2y+2=0x2=4y，消去y設Ax1,y1，Bx2所以AB=所以?PAB的面積的最大值為：12故答案為：554.

【分析】利用過點P的切線與直線l平行時，?PAB的面積最大，從而求出點P的坐標，再利用點到直線的距離公式得出點P到直線l的距離，再聯立直線與拋物線方程結合韋達定理和弦長公式，從而求出AB的值，再利用三角形的面積公式得出15．【答案】（1）解：由正弦定理，得sinB可得sin(B+C)=2sinAcosB∵A∈0,π，∴sinA>0，

∵B∈0,π，

故B=（2）解：∵B=π3，則S△ABC=12acsinB=由余弦定理b2=a2+c2可得a+c=4，

則?ABC的周長為6.【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式、三角形內角和定理、誘導公式以及三角形中角A的取值范圍，從而得出角B的余弦值，再結合三角形中角B的取值范圍，從而得出角B的值.（2）利用三角形的面積公式可得ac的值，再利用余弦定理可得a+c的值，再結合已知條件和三角形的周長公式，從而得出?ABC的周長.（1）由正弦定理有，sinB可得sin(B+C)=2sinA∵A∈0,π，∴sinA>0∵B∈0,π，故B=（2）∵B=π3，則S△ABC=12ac由余弦定理b2=a2+可得a+c=4，則△ABC的周長為6.16．【答案】（1）證明：因為底面ABCD是邊長為2的正方形，DD所以DD1，DA，以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸，z軸，在四棱臺ABCD?A1B1C1則D則D1所以D1P=?BC1，

則D1P//BC所以D1P//平面（2）解：由（1）知，BC=(?2,0,0),BC設平面BCC1則n令y1=1設平面ABB1則n令x2=1則cos所以，平面ABB1A1與平面【解析】【分析】（1）利用正方形的結構特征和線面垂直的定義，從而證出線線垂直，進而建系結合中點的性質和已知條件，則得出點的坐標和向量的坐標，再根據向量共線的坐標表示，則證出D1P//BC1，從而證出（2）由（1）得出向量的坐標，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而得出平面BCC1B1的法向量和平面ABB（1）底面ABCD是邊長為2的正方形，DD故DD1，DA，以D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸，在四棱臺ABCD?A1B1C故D1則D1所以D1P=?且D1P?平面BCC1B故D1P//平面（2）由（1）知，BC=(?2,0,0),BC設平面BCC1則n令y1=1設平面ABB1則n令x2=1故cos故平面ABB1A1與平面17．【答案】（1）解：當a=0時，fx則x+ln設g(x)=x?ln則g'(x)=1?1x=故在x>1時，g'(x)>0恒成立，g(x)在在0<x<1時，g'(x)<0恒成立，g(x)在所以g(x)則g(x)=x?ln所以，方程fx（2）解：因為函數定義域為(0,+∞由題意可得f'當a≤0時，在x>0時，f'(x)>0恒成立，f(x)在當a>0時，f'(x)>0的解為x>a，f'f(x)在(a,+∞)上單調遞增，在綜上所述，當a≤0時，f(x)在(0,+∞當a>0時，f(x)在(a,+∞)上單調遞增，在【解析】【分析】（1）設g(x)=x?lng(x)=x?lnx?1=0的解的個數，進而得出方程（2）根據a和0的大小關系和導數判斷函數單調性的方法，從而分類討論出函數fx（1）當a=0時，fx即x+ln設g(x)=x?ln則g'且g(x)定義域為(0,+∞故在x>1時，g'(x)>0恒成立，g(x)在在0<x<1時，g'(x)<0恒成立，g(x)在所以g(x)故g(x)=x?ln即方程fx（2）函數定義域為(0,+∞由題意f'當a≤0時，在x>0時，f'(x)>0恒成立，f(x)在當a>0時，f'(x)>0的解為x>a，f'f(x)在(a,+∞)上遞增，在綜上所述，當a≤0時，f(x)在(0,+∞當a>0時，f(x)在(a,+∞)上遞增，在18．【答案】（1）解：依題意，第二天選擇水果的概率為p=1第二天選擇牛奶的概率為p'第二天選擇水果的人數X的可能值為0,1,2，則P(X=0)=所以X的分布列為：X012P253549所以，數學期望為E(X)=0×25（2）證明：依題意，pn+1因為pn+1?2所以數列{pn?23}是以?1所以，數列pn的通項公式為p（3）解：由（2）知，pn=23?13×(所以pn≈23(n>30)所以15位學生負責為全體同學分發營養餐，分發水果和牛奶的人數分別為23【解析】【分析】（1）先求出第二天選擇水果的概率，再求出X的可能值和對應的概率，從而列出X的分布列，并求出X的數學期望.（2）利用相互獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而求出遞推公式pn+1=14p（3）由（2）得pn（1）依題意，第二天選擇水果的概率為p=1第二天選擇牛奶的概率為p'第二天選擇水果的人數X的可能值為0,1,2，P(X=0)=(所以X的分布列為：X012P253549