第19頁（共19頁）2024-2025學年下學期高二數學人教A版（2019）期末必刷常考題之計數原理一．選擇題（共7小題）1．（2025?寧德三模）已知（x+a）n的展開式中只有第3項的二項式系數最大．若展開式中所有項的系數和為16，則a的值為（）A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或12．（2025?河南模擬）《孫子算經》是中國南北朝時期重要的數學著作，書中的“中國剩余定理”對同余除法進行了深入的研究．現給出一個同余問題：如果a和b被m除得的余數相同，那么稱a和b對模m同余，記為a≡b（modm）．若a為（4+x）2024的二項展開式中含x項的系數，且a≡b（mod5），則b的值可以是（）A．203 B．204 C．205 D．2063．（2025?廣東校級模擬）已知(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3A．﹣640 B．﹣200 C．﹣160 D．﹣404．（2025春?龍崗區校級期中）滿足C16x2A．1，5 B．3，﹣7 C．1，3 D．5，﹣75．（2025春?深圳校級期中）(2xA．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項6．（2025春?薛城區校級期中）用數字1，2，3，4，5組成無重復數字的三位數，其中偶數的個數為（）A．24 B．30 C．36 D．607．（2025春?東城區校級期中）某校合唱團參加紅五月合唱比賽，合唱團選出6個人站在第一排，其中甲、乙作為領唱需要站在第一排的正中間，則這6個人的排隊方案共有（）A．24種 B．48種 C．120 D．240種二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?太原模擬）若(xA．a0B．a0+a1+?+a9＝0 C．2(aD．2（多選）9．（2025春?如皋市期中）已知(x+2)n=aA．n＝7 B．a0＝128 C．i=0na（多選）10．（2025?贛州二模）設（x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則（）A．a0＝1 B．a1+a2+…+a9＝0 C．a4+a5＝0 D．a1+a3+a5+a7+a9＝256三．填空題（共3小題）11．（2025春?龍崗區校級期中）為了促進邊疆少數民族地區教育事業的發展，坪山高級中學教育集團選派了3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個學校對口支教，每名教師只去一個學校，每個學校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個學校，則不同的分派方法有種．12．（2025?河北模擬）（2﹣x2）（1﹣2x）5的展開式中x4的系數為（用數字作答）．13．（2025?昆明校級模擬）在一個裝飾盒中有3個藍色珠子（編號1、2、3）和3個綠色珠子（編號1、2、3），現取出4個珠子排成一列．如果要求相同顏色的珠子不能相鄰，相同編號的珠子也不能相鄰，則滿足條件的排列方式有種．四．解答題（共2小題）14．（2025春?東城區校級期中）在（2x2+1x）（Ⅰ）求各項的二項式系數之和；（Ⅱ）求第3項的系數；（Ⅲ）求x3的系數；（Ⅳ）求常數項；（Ⅴ）求二項式系數最大的項．15．（2025春?南岸區期中）在(x+2給出下列條件：①二項式系數和為64；②第三項的二項式系數為15；③只有第4項的二項式系數最大；試在這三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求n的值，并求出展開式中的常數項；（2）求(1+x2)(x

2024-2025學年下學期高二數學人教A版（2019）期末必刷常考題之計數原理參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案DDACCAB二．多選題（共3小題）題號8910答案ABDADCD一．選擇題（共7小題）1．（2025?寧德三模）已知（x+a）n的展開式中只有第3項的二項式系數最大．若展開式中所有項的系數和為16，則a的值為（）A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1【考點】二項式系數與二項式系數的和．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】D【分析】依題意可知展開式有5項，故n＝4，再由所有項的系數和為16可列出等式進而求出a．【解答】解：因為（x+a）n的展開式中只有第3項的二項式系數最大，故n2解得n＝4，又展開式中所有項的系數和為16，令x＝1，有（1+a）4＝16，即（1+a）2＝4，解得a＝1或a＝﹣3．故選：D．【點評】本題考查了二項式定理，重點考查了賦值法，屬基礎題．2．（2025?河南模擬）《孫子算經》是中國南北朝時期重要的數學著作，書中的“中國剩余定理”對同余除法進行了深入的研究．現給出一個同余問題：如果a和b被m除得的余數相同，那么稱a和b對模m同余，記為a≡b（modm）．若a為（4+x）2024的二項展開式中含x項的系數，且a≡b（mod5），則b的值可以是（）A．203 B．204 C．205 D．206【考點】二項式定理的應用；同余的性質．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】D【分析】運用二項式定理算出a＝2024×42023，結合42023＝52023-C20231×52022+C20232×52021-C20233×52020+?+C20232022×51﹣1，推導出a除以5所得的余數與﹣2024除以5所得的余數相同，進而可得a【解答】解：根據題意，（4+x）2024的展開式中含x的項為T2=C20241?42023x，可得由2024×42023＝2024（5﹣1）2023＝2024（52023-C20231×52022+C20232×52021-可知2024×42023除以5所得的余數，與﹣2024除以5所得的余數相同，根據﹣2024＝﹣405×5+1，可得2024×42023除以5所得余數為1，所以a≡b（mod5），可知b除以5的余數也是1，對照各個選項，可知D項符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查二項式定理及其應用、整數的整除性等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．3．（2025?廣東校級模擬）已知(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+?+A．﹣640 B．﹣200 C．﹣160 D．﹣40【考點】二項式定理．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】A【分析】根據二項展開式的通項判斷各項系數的正負，然后利用賦值法求出n＝6，運用二項展開式的通項公式算出a3的值．【解答】解：由（x2﹣x+2）n＝[（x2+2）﹣x]n，展開式的第r+1項Tr+1=Cnr?（x2+2）n﹣r?（﹣x）r，0≤r≤n，r根據Cnr?（x2+2）n﹣r＞0，且（x2+2）n﹣r的展開式中可得a0，a2，a4，?，a2n為正數，a1，a3，a3，?，a2n﹣1為負數，由（x2﹣x+2）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+?+a2nx2n，令x＝﹣1，可得4n＝a0﹣a1+a2﹣a3+?+a2n＝|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+?+|a2n|＝4096，解得n＝6，所以（x2﹣x+2）6＝[（x2+2）﹣x]6，其展開式的通項為Tr+1=C6r?(x2+2)而（x2+2）6﹣r的展開式的通項為Tk+1=C6-rk?(x2)6-欲使（x2﹣x+2）6的展開式中x的次數為3，則取r＝1，k＝4或取r＝3，k＝3，可得a3故選：A．【點評】本題主要考查二項式定理及其應用、有理數指數冪的運算法則等知識，屬于中檔題．4．（2025春?龍崗區校級期中）滿足C16x2A．1，5 B．3，﹣7 C．1，3 D．5，﹣7【考點】組合及組合數公式．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】根據題意，由組合數的性質可得0≤x2-x≤160≤5x-5≤16，求出x的取值范圍，又由x2﹣x＝5x﹣5或x【解答】解：根據題意，C16必有0≤x2-x≤160≤5x-5≤16，解可得則有x2﹣x＝5x﹣5或x2﹣x+5x﹣5＝16，解可得x＝1或5或x＝3或x＝﹣7，又由-1-652≤x≤0或1≤x≤-1+652，故故選：C．【點評】本題考查組合數公式，注意組合數公式的性質，屬于基礎題．5．（2025春?深圳校級期中）(2xA．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【考點】二項式系數的性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】C【分析】根據展開式中二項式系數最大的項是第四項，由通項公式即可求解．【解答】解：因為展開共有7項，且二項式系數對稱分布且先增后減，故（2x2-1x）6的展開式中，(2x2-1x當k＝3時，C6k最大故選：C．【點評】本題考查了二項式定理的應用，注意運用通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6．（2025春?薛城區校級期中）用數字1，2，3，4，5組成無重復數字的三位數，其中偶數的個數為（）A．24 B．30 C．36 D．60【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】A【分析】根據分步乘法計數原理即可求解．【解答】解：用數字1，2，3，4，5組成無重復數字的三位數，個位只能是2和4，十位和百位可以從剩下的數字中選擇，故符合條件的偶數有2×4×3＝24．故選：A．【點評】本題考查分步乘法計數原理，屬于基礎題．7．（2025春?東城區校級期中）某校合唱團參加紅五月合唱比賽，合唱團選出6個人站在第一排，其中甲、乙作為領唱需要站在第一排的正中間，則這6個人的排隊方案共有（）A．24種 B．48種 C．120 D．240種【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】首先讓甲、乙在中間位置上排序，然后剩下的4人在其余位置進行全排列即可．【解答】解：合唱團選出6個人站在第一排，其中甲、乙作為領唱需要站在第一排的正中間，甲，乙站在正中間，有A2其它人隨機排列，有A4則這6個人的排隊方案共有A2故選：B．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?太原模擬）若(xA．a0B．a0+a1+?+a9＝0 C．2(aD．2【考點】二項式系數的性質．【專題】對應思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】ABD【分析】A：令x＝0即可判斷；B：先求出a10，再令x＝1，進而可以判斷；C：令x＝﹣1結合選項B即可求解；D：令x＝2即可判斷．【解答】解：A：令x＝0，則a0=(-2)10B：由已知可得a10=C100?(-2)0=1，令x＝1，則a0+a1+...+a10＝1，所以a0+a1C：令x＝﹣1，則a0﹣a1+...+a10＝310，則2（a0+a2+...+a10）＝310+1，故C錯誤；D：令x＝2，則a0+2a1+...+210a10=20a0故選：ABD．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．（多選）9．（2025春?如皋市期中）已知(x+2)n=aA．n＝7 B．a0＝128 C．i=0na【考點】二項式定理的應用；二項展開式的通項與項的系數．【專題】轉化思想；綜合法；導數的概念及應用；二項式定理；運算求解．【答案】AD【分析】令x+1＝t，將所給等式化簡為關于t的二項展開式，根據a2＝21列式求出n＝7，判斷出A項的正誤；取t＝0求出常數項a0＝1，可判斷B項的正誤；取t＝1求出展開式的系數和，可判斷C項的正誤；在等式的兩邊求導數，可得7（t+1）6＝a1+2a2t+…+7a7t6，然后令t＝1求出a1+2a2+…+7a7的值，進而判斷出D項的正誤．【解答】解：令x+1＝t，則所給等式化簡為（t+1）n＝a0+a1t+a2t2+…+antn．根據二項式定理，可得a2=Cnn-2=21，即Cn由（t+1）7＝a0+a1t+a2t2+…+a7t7，取t＝0，得a0＝1，可知B項不正確；取t＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝27＝128，即i=0nai=128對（t+1）7＝a0+a1t+a2t2+…+a7t7兩邊求導數，可得7（t+1）6＝a1+2a2t+…+7a7t6，取t＝1得a1+2a2+…+7a7＝7×26＝448，即i=1n故選：AD．【點評】本題主要考查二項式定理及其應用、導數的運算法則、運用賦值法求系數和等知識，屬于中檔題．（多選）10．（2025?贛州二模）設（x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則（）A．a0＝1 B．a1+a2+…+a9＝0 C．a4+a5＝0 D．a1+a3+a5+a7+a9＝256【考點】二項式定理的應用．【專題】對應思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】CD【分析】分別令x＝0、x＝1、x＝﹣1求相關系數或系數和判斷A、B、D，應用二項式定理寫出通項公式求a4，a5判斷C．【解答】A：令x＝0，則a0=(0-1)B：令x＝1，則a0+a1+a2+...+a9＝0①，又a0＝﹣1，則a1+a2+...+a9＝1，故B錯；C：二項式的展開式中含x4的項為C95x4?(-1所以a4+aD：令x＝﹣1，則a0-①﹣②得2（a1+a3+...+a9故選：CD．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025春?龍崗區校級期中）為了促進邊疆少數民族地區教育事業的發展，坪山高級中學教育集團選派了3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個學校對口支教，每名教師只去一個學校，每個學校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個學校，則不同的分派方法有36種．【考點】從不同類別人員物品中進行挑選的組合問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】36．【分析】根據2名女教師分派到同一個學校考慮該校是否分配男教師，即可求出答案．【解答】解：3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個學校對口支教，每名教師只去一個學校，每個學校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個學校，根據題意，分派方案可分為兩種情況：①2名女教師和1名男教師分派到同一個學校，則有C3②2名女教師分派到同一個學校，且該學校沒有分配沒有男教師，則有：C32?故答案為：36．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．12．（2025?河北模擬）（2﹣x2）（1﹣2x）5的展開式中x4的系數為120（用數字作答）．【考點】二項式定理．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】120．【分析】先得到（1﹣2x）5的展開式的通項，得到T3=40x2，T5=80x4，從而得到展開式中含x4的系數為（﹣【解答】解：（1﹣2x）5的展開式的通項公式為Tr+1=C5r15-r當r＝2時，T3=4C52x2多項式的展開式中含x4的系數為（﹣1）×40+2×80＝120．故答案為：120．【點評】本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．13．（2025?昆明校級模擬）在一個裝飾盒中有3個藍色珠子（編號1、2、3）和3個綠色珠子（編號1、2、3），現取出4個珠子排成一列．如果要求相同顏色的珠子不能相鄰，相同編號的珠子也不能相鄰，則滿足條件的排列方式有12種．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】12．【分析】由排列、組合及簡單計數問題，結合分類加法及分步乘法計數原理求解即可．【解答】由題意可得：取出的4個珠子為2個藍色珠子，2個綠色珠子，若排列為藍綠藍綠，第一位選藍珠有3種選擇，第二位選綠珠有2種，第三位選另一藍珠有1種選擇，第4位選另一綠珠，編號與第3位不同有1種選擇，共有3×2×1×1＝6種，同理若排列為綠藍綠藍，共有6種，共有12種．故答案為：12．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分類加法及分步乘法計數原理，屬基礎題．四．解答題（共2小題）14．（2025春?東城區校級期中）在（2x2+1x）（Ⅰ）求各項的二項式系數之和；（Ⅱ）求第3項的系數；（Ⅲ）求x3的系數；（Ⅳ）求常數項；（Ⅴ）求二項式系數最大的項．【考點】二項式系數與二項式系數的和．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）240；（Ⅲ）160；（Ⅳ）60；（Ⅴ）160x3．【分析】（Ⅰ）根據二項式系數的性質算出答案；（Ⅱ）求出展開式的通項公式，取r＝2求得T3，進而可得第3項的系數；（Ⅲ）求出展開式的通項公式，然后令x的指數等于3，得出k的值，進而求出x3項的系數；（Ⅳ）類似于（Ⅲ）的解法，令x的指數等于0，求出k的值，進而求出常數項；（Ⅴ）根據二項式系數的性質，可得第4項的二項式系數最大，進而求出答案．【解答】解：（Ⅰ）因為n＝6，所以展開式中各項的二項式系數之和等于C6（Ⅱ）由題意得T3=T2+1=（Ⅲ）根據Tk+1=C6k(2x2)6-令12﹣3k＝3，解得k＝3，可得T4=C63×（Ⅳ）由（3）得，令12﹣3k＝0，解得k＝4，常數項為T5（Ⅴ）由二項式系數的性質，可知二項式系數最大的項為第4項，由（Ⅲ）得T4=160x3，可知二項式系數最大的項為【點評】本題主要考查二項式定理、有理數指數冪的運算法則等知識，屬于中檔題．15．（2025春?南岸區期中）在(x+2給出下列條件：①二項式系數和為64；②第三項的二項式系數為15；③只有第4項的二項式系數最大；試在這三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求n的值，并求出展開式中的常數項；（2）求(1+x2)(x【考點】二項式定理的應用．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】（1）選①②③：n＝6，常數項為160；（2）72．【分析】（1）選①：利用二項式系數和公式即可求出n的值，再根據二項式定理即可求出常數項；選②③：利用二項式系數的性質即可求出n的值，再根據二項式定理即可求出常數項；（2）利用（1）的結論代入n的值，再根據二項式定理求出多項式的展開式中含x4的項，進而可以求解．【解答】解：（1）若選①，則2n＝64，解得n＝6，此時二項式（x+2x）6的常數項為若選②，則Cn2=15，解得n＝6，此時二項式（x+2x若選③，則Cn3最大，且n為偶數，則n＝6，此時二項式（x+2x）綜上，選①②③：n的值為6，且此時二項式（x+2x）6的常數項為（2）由（1）可知n＝6，則多項式為（1+x2）(x則多項式的展開式中含x4的項為1×C61x所以已知多項式的展開式中x4的系數為72．【點評】本題考查了二項式定理的應用，涉及到二項式系數的性質，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．

考點卡片1．部分位置的元素有限制的排列問題【知識點的認識】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現在特定位置或區域．例如：特定元素只能出現在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問題通常要求考生在處理排列時，先考慮限制條件，再進行一般排列．【解題方法點撥】﹣處理此類問題時，首先對有限制的部分進行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數．﹣對于較復雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進行單獨計算．【命題方向】﹣常考察在特定位置或區域內元素的排列，如規定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運用排列數公式．2．組合及組合數公式【知識點的認識】1．定義（1）組合：一般地，從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個元素中任取m個元素的一個組合．（2）組合數：從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數，用符號Cn2．組合數公式：Cnm=n(n-1)(n-2)(n3．組合數的性質：性質1C性質2Cn3．從不同類別人員物品中進行挑選的組合問題【知識點的認識】﹣這類問題涉及從不同類別的人員或物品中進行挑選的組合問題．例如：從若干類別的物品中各選出一定數量的組合問題．﹣這類問題通常涉及分類討論與組合公式的綜合應用．【解題方法點撥】﹣首先按類別進行組合數計算，再將各類別的組合數相乘，得到總的組合數．注意區分不同類別的組合要求，以及每類物品或人員的選擇范圍．﹣分類討論是解決此類問題的有效策略，先處理每個類別的選擇情況，再綜合計算．﹣在涉及多個類別的組合問題中，可以通過遞推公式或生成函數來簡化計算．【命題方向】﹣可能要求考生計算從不同類別中挑選特定數量物品的組合數，或者分析在多種類別條件下的組合情況．﹣命題可能涉及復雜的分類討論，如多類別選擇、不同選擇條件的疊加等．4．二項式定理【知識點的認識】二項式定理又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）n=i=0nCnia例1：用二項式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.01故答案為：1.105．這個例題考查了二項式定理的應用，也是比較常見的題型．例2：把(3i-解：由題意T8=C107×(3i)3×故答案為：3603i．通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．性質1、二項式定理一般地，對于任意正整數n，都有這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式．其中各項的系數叫做二項式系數．注意：（1）二項展開式有n+1項；（2）二項式系數與二項展開式系數是兩個不同的概念；（3）每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題．2、二項展開式的通項公式二項展開式的第n+1項叫做二項展開式的通項公式．它體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數方面有著廣泛的應用．注意：（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數是Cn（2）字母b的次數和組合數的上標相同；（3）a與b的次數之和為n．3、二項式系數的性質．（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即；（2）增減性與最大值：當k＜n+12時，二項式系數是逐漸增大的．由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當n為偶數時，則中間一項Cnn2的二項式系數最大；當5．二項展開式的通項與項的系數【知識點的認識】﹣二項式定理是指（a+b）n的展開形式，其展開式的通項為Tk+1=﹣通項公式用于計算展開式中特定項的系數和冪次，特別是在涉及較大指數時，通過通項公式可以直接找到所需項．【解題方法點撥】﹣熟練掌握二項式定理的通項公式，并理解通項公式中各項的意義．﹣在涉及系數計算時，確定通項中k的值，并代入公式計算系數．對于較復雜的問題，可以先確定項數，再代入計算．﹣在應用中，可能需要對展開式進行逆運算，即通過已知某一項的系數或冪次，反推出通項公式中的參數．【命題方向】﹣可能要求考生直接求解二項展開式中某一特定項的系數或冪次，或分析展開式中的通項規律．﹣命題可能涉及二項式定理在不完全展開中的應用，要求考生逆向推導或分析已知條件．6．二項式系數與二項式系數的和【知識點的認識】﹣二項式系數是二項展開式中各項的系數，其性質包括對稱性、遞推關系以及系數和的計算．例如：系數和的性質k=0﹣這些性質在二項式定理的擴展應用中有重要作用，特別是涉及系數和的計算與證明．【解題方法點撥】﹣掌握二項式系數的基本性質，并應用這些性質簡化計算或證明問題．﹣在涉及系數和的計算問題中，可以直接應用性質公式，或通過二項展開式的求和進行推導．﹣對于較復雜的系數和問題，考慮使用遞推公式或對稱性來簡化求解過程．【命題方向】﹣可能要求考生計算二項式系數的總和、特定項的系數和，或證明二項式系數的恒等式．﹣命題可能涉及二項式系數的遞推關系、對稱性分析，以及在復雜求和問題中的應用．7．二項式系數的性質【知識點的認識】﹣二項式系數具有多種性質，如對稱性、遞推關系（帕斯卡三角形）以及生成函數．理解這些性質對于復雜二項式展開的求解與證明至關重要．﹣特