第23頁（共23頁）2024-2025學年下學期高二數學人教A版（2019）期末必刷常考題之數列一．選擇題（共7小題）1．（2025?羅湖區校級模擬）在數列{an}中，a1＝1，若數列{anan+2}是以3為公比的等比數列，則log3a985＝（）A．490 B．491 C．492 D．4932．（2025春?商丘期中）在等比數列{an}中，a3﹣2a2＝4，a4﹣2a3＝﹣8，則{an}的公比為（）A．-12 B．﹣2 C．12 3．（2025春?江西校級月考）某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，已知員工甲每天中午都會在這兩種套餐中選擇一種，米飯套餐的價格是每份18元，面食套餐的價格是每份12元，如果甲當天選擇了某種套餐，他第二天會有60%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯套餐，第n天選擇米飯套餐的概率為Pn，給出以下論述：①P3＝0.52；②Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N）；③P④前k天甲午餐總費用的數學期望為15k其中正確的是（）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③4．（2025春?遼寧期中）設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝3，S6＝4S3，則a7＝（）A．9 B．12 C．27 D．485．（2025春?安徽期中）設數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan＝2n﹣1（n∈N*），則數列{annA．131132 B．135132 C．175132 6．（2025春?皇姑區校級期中）已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，則（）A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1 C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a17．（2025?晉中模擬）已知{an}是公差為1的等差數列，Sn是其前n項和，若S6＝S9，則a9＝（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?安徽期中）已知等差數列{an}的公差為d，其前n項和為Sn．S11＞0，S12＜0，則（）A．a7＞0 B．d＞0 C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|（多選）9．（2025春?安徽期中）已知等差數列{an}的公差為d，其前n項和為Sn，S11＞0，S12＜0，則（）A．a6＞0 B．d＜0 C．{Sn}中S7最大 D．|a4|＜|a9|（多選）10．（2025春?遼寧期中）已知數列{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確的有（）A．若{an}是等比數列，S2＝2，S4＝8，則S6＝16 B．若an＝2n﹣11，則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61 C．若{an}是等差數列，a1＝﹣2025，若S1010-S88D．若a1＝1，an=Sn+三．填空題（共3小題）11．（2025?太原模擬）記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a1＝2，8S3＝3S5，則S6＝．12．（2025?寧德三模）已知數列{an}共有m+k項（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m項為0，k項為1．若數列{an}滿足對任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的個數不少于1的個數，則稱數列{an}為“規范數列”．當m＝3，k＝3時，“規范數列”的個數為，記Pm+k表示數列{an}是“規范數列”的概率，則Pm+2的最小值為．13．（2025?朝陽區校級四模）已知在等差數列{an}中，a1，a7是正整數，且a1＜a7，設Sn為數列{an}的前n項和，若S10＝35，則a10＝．四．解答題（共2小題）14．（2025?吉林模擬）已知數列{an}與{log2bn}都是等差數列，其前n項和分別為Sn與Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3．（1）求數列{an}與{bn}的通項公式；（2）求數列{(-1)nanbn15．（2025?江蘇校級模擬）已知數列{an}，其前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．（1）求數列{an}的通項公式an及前n項和Sn；（2）若bn=2a2n-1，求數列{b

2024-2025學年下學期高二數學人教A版（2019）期末必刷常考題之數列參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案CBBCABA二．多選題（共3小題）題號8910答案CDABDBCD一．選擇題（共7小題）1．（2025?羅湖區校級模擬）在數列{an}中，a1＝1，若數列{anan+2}是以3為公比的等比數列，則log3a985＝（）A．490 B．491 C．492 D．493【考點】數列遞推式；等比數列的性質；由等比數列中若干項求通項公式或其中的項．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】C【分析】根據題意，分析可得anan+2＝3（an﹣1an+1）＝9（anan﹣2），變形可得an+4＝9an，由此可得a985的值，由對數的運算性質計算可得答案．【解答】解：根據題意，數列{anan+2}是以3為公比的等比數列，則anan+2＝3（an﹣1an+1）＝9（anan﹣2），則有an+2＝9an﹣2，變形可得an+4＝9an，又由a1＝1，則a985＝a1×9246＝9246，故log3a985＝log39246＝492．故選：C．【點評】本題考查等比數列的性質和應用，涉及等比數列的通項公式，屬于基礎題．2．（2025春?商丘期中）在等比數列{an}中，a3﹣2a2＝4，a4﹣2a3＝﹣8，則{an}的公比為（）A．-12 B．﹣2 C．12 【考點】等比數列的性質；等比數列的通項公式．【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】B【分析】根據等比數列的通項公式列式計算．【解答】解：因為數列{an}為等比數列，所以a4﹣2a3＝（a3﹣2a2）q，即﹣8＝4q，解得q＝﹣2．故選：B．【點評】本題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題．3．（2025春?江西校級月考）某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，已知員工甲每天中午都會在這兩種套餐中選擇一種，米飯套餐的價格是每份18元，面食套餐的價格是每份12元，如果甲當天選擇了某種套餐，他第二天會有60%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯套餐，第n天選擇米飯套餐的概率為Pn，給出以下論述：①P3＝0.52；②Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N）；③P④前k天甲午餐總費用的數學期望為15k其中正確的是（）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【考點】數列遞推式；離散型隨機變量的均值（數學期望）．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】先根據題意找到遞推式，即可判斷①②，由遞推式可求出Pn，從而判斷③，根據期望公式，期望的性質以及Pn，即可判斷④．【解答】解：若甲在第（n﹣1）天選擇了米飯套餐，那么在第n天有40%的可能性選擇米飯套餐，甲在第（n﹣1）天選擇了面食套餐，那么在第n天有60%的可能性選擇米飯套餐，所以第n天選擇米飯套餐的概率Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N），故②正確；因為P2＝0.4，所以甲在第1天選擇了米飯套餐，所以P3＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52，故①正確；由②得，Pn＝﹣0.2Pn﹣1+0.6，所以Pn﹣0.5＝﹣0.2（Pn﹣1﹣0.5），又由題意得，P1＝1，{Pn﹣0.5}是以0.5為首項，﹣0.2為公比的等比數列，所以Pn-0.5=(1-0.5)×(-0.2)n前k天甲午餐總費用的數學期望為18×故④正確．故選：B．【點評】本題考查數列的遞推式，以及等比數列的定義、通項公式，以及數學期望，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．4．（2025春?遼寧期中）設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝3，S6＝4S3，則a7＝（）A．9 B．12 C．27 D．48【考點】等比數列的前n項和．【專題】方程思想；定義法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】C【分析】設等比數列{an}的公比為q，討論q＝1和q≠1時，利用S6＝4S3求出q3，即可求出a7．【解答】解：設等比數列{an}的公比為q，因為a1＝3，q＝1時，S6＝6a1＝18，4S3＝12a1＝36，S6≠4S3，所以q≠1；由S6＝4S3，得3×(1-q6)1-q=4×3×(1-q3)1-q，1+q3＝4，所以q3＝3，所以a故選：C．【點評】本題考查了等比數列的前n項和公式應用問題，是基礎題．5．（2025春?安徽期中）設數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan＝2n﹣1（n∈N*），則數列{annA．131132 B．135132 C．175132 【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】計算題；整體思想；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】A【分析】由遞推關系求出an，再由裂項相消法求得前10項和即可．【解答】解：當n＝1時，a1＝1；當n∈N*，且n≥2時，a1+2a2+3a3+?+nan＝2n﹣1，所以a1+2a2+3a3+?+（n﹣1）an﹣1＝2n﹣3，兩式相減得nan＝2，所以an=2所以an=1，n=1所以an所以數列{ann13故選：A．【點評】本題考查數列的求和，屬于中檔題．6．（2025春?皇姑區校級期中）已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，則（）A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1 C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1【考點】等比數列的性質．【專題】函數思想；綜合法；導數的綜合應用；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】B【分析】先利用導數法證不等式lnx≤x﹣1，然后確定首項和公比的范圍，再利用不等式的性質判斷．【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx﹣1，則f′（x）＝1-1當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，∴f（x）≥f（1）＝0，即lnx≤x﹣1．∴a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4）≤a2+a3+a4﹣1，得a1≤﹣1，又a4＞1，∴a1q則等比數列的公比q＜0，且q3=a4a1從而|q|＞1，即q2＞1，∴a4=a2q∵a1≤﹣1，q2＞1，∴a3-a1=a1(故選：B．【點評】本題考查等比數列的性質，訓練了利用導數研究函數的單調性，是中檔題．7．（2025?晉中模擬）已知{an}是公差為1的等差數列，Sn是其前n項和，若S6＝S9，則a9＝（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5【考點】求等差數列的前n項和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】A【分析】借助等差數列的性質計算即可得．【解答】解：因為{an}是公差為1的等差數列，S6＝S9，所以S9﹣S6＝a7+a8+a9＝0，所以3a8＝0，即a8＝0，所以a9＝a8+1＝1．故選：A．【點評】本題考查等差數列的前n項和與性質，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?安徽期中）已知等差數列{an}的公差為d，其前n項和為Sn．S11＞0，S12＜0，則（）A．a7＞0 B．d＞0 C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|【考點】等差數列的前n項和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；邏輯思維．【答案】CD【分析】由等差數列的前n項和公式結合條件式可得a6＞0，a7＜0，公差d＜0，判斷A，B；再由數列的單調性與前n項和定義可判斷C；由等差數列的性質計算判斷D．【解答】解：由S11=11(a1+由S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)＜0，得a6+a7＜0，所以因為d＜0，所以a1＞a2＞?＞a6＞0＞a7＞a8＞?，所以{Sn}中S6最大，故C正確；因為a4＞0，a9＜0，所以|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，則|a4|＜|a9|，故D正確．故選：CD．【點評】本題考查等差數列的前n項和公式，等差數列的性質應用，屬于基礎題．（多選）9．（2025春?安徽期中）已知等差數列{an}的公差為d，其前n項和為Sn，S11＞0，S12＜0，則（）A．a6＞0 B．d＜0 C．{Sn}中S7最大 D．|a4|＜|a9|【考點】等差數列的前n項和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】ABD【分析】由等差數列的前n項和公式結合條件式可得a6＞0，a7＜0，公差d＜0，判斷A，B；再由數列的單調性與前n項和定義可判斷C；由等差數列的性質計算判斷D．【解答】解：由S11=11(a1+a11由S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)＜0，得a6+a7＜因為d＜0，所以a1＞a2＞?＞a6＞0＞a7＞a8＞?，所以{Sn}中S6最大，故C錯誤；因為a4＞0，a9＜0，所以|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，則|a4|＜|a9|，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查等差數列的前n項和公式，等差數列的性質應用，屬于基礎題．（多選）10．（2025春?遼寧期中）已知數列{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確的有（）A．若{an}是等比數列，S2＝2，S4＝8，則S6＝16 B．若an＝2n﹣11，則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61 C．若{an}是等差數列，a1＝﹣2025，若S1010-S88D．若a1＝1，an=Sn+【考點】求等比數列的前n項和；求等差數列的前n項和．【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】BCD【分析】對于A，由等比數列和的性質列式計算即可；對于B，根據an的正負即可去掉絕對值符號，進而代入公式計算即可；對于C，利用等差數列的通項及求和公式計算即可；對于D，由an＝Sn﹣Sn﹣1可得{S【解答】解：對于A，因為{an}是等比數列，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數列，所以(S4-S2)2=S2(S6-S4)，即對于B，因為an＝2n﹣11，所以an+1﹣an＝2，所以{an}是等差數列，由an＝2n﹣11＜0得n＜所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝﹣（a1+a2+?+a5）+（a6+a7+?+a11）=-5×(a對于C，因為S10所以S2025＝﹣2025，故C正確；對于D，因為an=S所以Sn-Sn-1所以Sn=1+(n所以a50=S故選：BCD．【點評】本題主要考查了等差數列與等比數列的綜合應用，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025?太原模擬）記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a1＝2，8S3＝3S5，則S6＝57．【考點】等差數列的前n項和．【專題】方程思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】57．【分析】由等差數列的前n項和公式建立方程，求出公差，再由等差數列的前n項和公式即可求得．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，因為a1＝2，8S3＝3S5，所以8（3a1+3d）＝3（5a1+10d），即6d＝9a1＝18，所以d＝3，所以S6=6a1+6×5故答案為：57．【點評】本題考查等差數列的前n項和求解，屬于基礎題．12．（2025?寧德三模）已知數列{an}共有m+k項（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m項為0，k項為1．若數列{an}滿足對任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的個數不少于1的個數，則稱數列{an}為“規范數列”．當m＝3，k＝3時，“規范數列”的個數為5，記Pm+k表示數列{an}是“規范數列”的概率，則Pm+2的最小值為13【考點】數列的應用．【專題】計算題；整體思想；等差數列與等比數列；運算求解；新定義類．【答案】5；13【分析】根據定義列出當m＝3，k＝3條件下的所有“規范數列”，由此可得第一空結論，結合組合數定義確定有m個0，2個1，m≥2，m∈N*時數列{an}的個數，再求其中“規范數列”的個數，結合古典概型概率公式求結論．【解答】解：根據題目：已知數列{an}共有m+k項（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m項為0，k項為1．若數列{an}滿足對任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的個數不少于1的個數，則稱數列{an}為“規范數列”．當m＝3，k＝3時，當m＝3，k＝3時，滿足要求的“規范數列”有0，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，1；0，0，1，1，0，1；0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1；所以當m＝3，k＝3時，“規范數列”的個數為5．n＝m+k，m≥k，m，k∈N*時，具有“規范數列”數列特征的數列{an}的個數為f（m，k），當k＝2，m≥2，m∈N*時，由已知數列{an}共有m+2項，其中m項為0，2項為1，所以滿足條件的數列{an}的個數為Cm若數列{an}為“規范數列”，則第一項為0，若第一項為0，第二項為0時，“規范數列”個數為Cm當第一項為0，第二項為1，第三項必然為0，此時“規范數列”個數為Cm所以f(故Pm因為函數y=1-2x+1所以當m＝2時，Pm+2取最小值，(P故答案為：5；13【點評】本題考查數列的應用，屬于中檔題．13．（2025?朝陽區校級四模）已知在等差數列{an}中，a1，a7是正整數，且a1＜a7，設Sn為數列{an}的前n項和，若S10＝35，則a10＝5．【考點】等差數列通項公式的應用；求等差數列的前n項和．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】5．【分析】根據給定條件，利用等差數列前n項和可得a1+a10＝7，再由正整數的條件推得3d是正整數即可得解．【解答】解：根據題意，設等差數列{an}的公差為d，若S10＝35，則S10=10(a1+a10)2=35又由a1＜a7，則d=a7-a16＞而a4+a7＝a1+a10，則有a4+a7＝7，又a1，a7是正整數，則a4＝a1+3d是正整數，故3d是正整數，而a1+a10＝2a1+9d＝7，即2a1＝7﹣3×3d＝7﹣9d，則7﹣9d是正偶數，故3d是正奇數，且3d必有3d＝1，此時a1＝2，a10＝5，a4＝3，a7＝4，符合題意，所以a10＝5．故答案為：5．【點評】本題考查等差數列的性質和應用，涉及整數的性質，屬于中檔題．四．解答題（共2小題）14．（2025?吉林模擬）已知數列{an}與{log2bn}都是等差數列，其前n項和分別為Sn與Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3．（1）求數列{an}與{bn}的通項公式；（2）求數列{(-1)nanbn【考點】數列的求和．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】（1）an＝2n，bn（2）-4【分析】（1）設等差數列{an}與{log2bn}的公差分別為d1、d2，根據所給條件得到d1、a1＝2的方程組，解得即可求出an，求出log2b2，log2b1，即可求出log2bn的通項公式，從而求出bn的通項；（2）由（1）可得(-1)n【解答】解：（1）已知數列{an}與{log2bn}都是等差數列，其前n項和分別為Sn與Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3，設等差數列{an}與{log2bn}的公差分別為d1、d2，由a2+a4+所以an＝2n，由b1＝a1＝2，T3＝a3＝6，即log2b1+log2b2+log2b3＝3log2b2＝6，所以b2＝4，則d2＝log2b2﹣log2b1＝2﹣1＝1，又log2b1＝1，所以log2bn＝n，則bn（2）由（1）可得(-1)n所以Pn則-1兩式相減得3=-所以數列{(-1)nanbn}【點評】本題考查了等差數列的通項公式和錯位相減求和，屬于中檔題．15．（2025?江蘇校級模擬）已知數列{an}，其前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．（1）求數列{an}的通項公式an及前n項和Sn；（2）若bn=2a2n-1，求數列{b【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】（1）an＝2n﹣1，Sn（2）Tn【分析】（1）推導出數列{an}為等差數列，確定該數列的首項和公差，可得出數列{an}的通項公式，利用等差數列的求和公式可求出Sn的表達式；（2）推導出數列{bn}為等比數列，確定該數列的首項和公比，結合等比數列的求和公式可求出Tn的表達式．【解答】解：（1）因為數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2，所以，Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+2，即an+1﹣an＝2，根據等差數列的定義可得數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，根據等差數列的通項公式和求和公式可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，Sn（2）因為bn=2a2n-1根據等比數列的定義可得數列{bn}是首項為2，公比為16的等比數列，故Tn【點評】本題考查了等差數列和等比數列的綜合應用，屬于中檔題．

考點卡片1．等差數列通項公式的應用【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，已知等差數列的首項a1，公差d，那么第n項為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為am，則第n項為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入通項公式，計算數列的具體項．﹣推導公式：根據實際問題推導出數列的通項公式．﹣綜合應用：將通項公式與其他數列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數列的通項公式計算具體項，推導數列公式，解決實際問題．已知數列{an}滿足a1＝5，an+1＝an+3，若an＝20，則n等于_____．解：∵an+1＝an+3，an+1﹣an＝3，∴數列{an}為等差數列，且d＝3，∵a1＝5，an＝20，∴20＝5+（n﹣1）×3，∴n＝6，2．等差數列的前n項和【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】eg1：設等差數列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝則S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案為：55點評：此題考查了等差數列的前n項和公式，解題的關鍵是根據題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點評：本題考查等差數列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數列比較常見，單獨考察等差數列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現，大題一般要考察的話會結合等比數列的相關知識考察，特別是錯位相減法的運用．3．求等差數列的前n項和【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入前n項和公式，計算數列的前n項和．﹣推導公式：根據實際問題推導出數列的前n項和公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與其他數列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數列的前n項和公式計算具體項，推導數列和公式，解決實際問題．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設等差數列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+n(n-1)2?2＝故答案為：n2﹣2n．4．等比數列的性質【知識點的認識】等比數列（又名幾何數列），是一種特殊數列．如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數列．等比數列和等差數列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發現這個通項公式其實就是指數函數上孤立的點．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數，那么有am?a等比數列的性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．（4）單調性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數法．5．等比數列的通項公式【知識點的認識】1．等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數列的定義看，等比數列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數．2．等比數列的通項公式設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數列的常用性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．（4）單調性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數列；a1＞00＜q＜1或a1＜6．由等比數列中若干項求通項公式或其中的項【知識點的認識】1．等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數列的定義看，等比數列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數．2．等比數列的通項公式設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比數列的常用性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．【解題方法點撥】﹣定義：等比數列的通項公式為an﹣設未知數：利用已知的數列項，代入通項公式an來求解首項a1和公比r．﹣驗證：驗證推導出的通項公式是否能正確生成數列中的已知項．【命題方向】常見題型包括通過數列的若干項推導出通項公式或求解數列中的其他項，結合具體數列進行分析．已知數列{an}滿足：a1＝2，an+1＝2an，則數列{an}的通項公式an＝_____．解：∵數列{an}滿足：a1＝2，an+1＝2an，∴{an}是首項為2，公比為2的等比數列，∴數列{an}的通項公式an＝2n．故答案為：2n．7．等比數列的前n項和【知識點的認識】1．等比數列的前n項和公式等比數列{an}的公比為q（q≠0），其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn=a2．等比數列前n項和的性質公比不為﹣1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數列，其公比為qn．8．求等比數列的前n項和【知識點的認識】1．等比數列的前n項和公式等比數列{an}的公比為q（q≠0），其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn=a2．等比數列前n項和的性質公比不為﹣1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數列，其公比為qn．【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值和公比r代入前n項和公式，計算數列的前n項和．﹣公式推導：根據實際問題推導出等比數列的前n項和公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與其他數列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等比數列的前n項和公式計算具體和，推導數列和公式，解決實際問題．設等比數列{an}滿足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則S6＝_____．解：根據題意，設等比數列{an}的公比為q，由于a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則a1+a故S69．數列的應用【知識點的認識】1、數列與函數的綜合2、等差數列與等比數列的綜合3、數列的實際應用數列與銀行利率、產品利潤、人口增長等實際問題的結合．10．數列的求和【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數列前n項和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數列前n項和公式：③幾個常用數列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數列和等比數列．（3）裂項相消法：適用于求數列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0（4）倒序相加法：推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來