第1頁/共1頁2025年山東省威海市中考數學真題試卷及答案解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1.如表記錄了某日我國四個城市平均氣溫：城市北京哈爾濱威海香港氣溫（℃）其中，平均氣溫最低的城市是（）A.北京 B.哈爾濱 C.威海 D.香港2.如圖是用5個大小相同的小立方塊搭成的幾何體．其左視圖是（）A. B. C. D.3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.4.據央視網2025年4月19日消息，復旦大學集成芯片與系統全國重點實驗室、片與系統前沿技術研究院科研團隊成功研制出半導體電荷存儲器“破嘵”．“破曉”存儲器擦寫速度提升至400皮秒實現一次擦或者寫．一皮秒僅相當于一萬億分之一秒．400皮秒用科學記數法表示為（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒5.如圖，直線，，．若．則等于（）A. B. C. D.6.如圖，的中線交于點F，連接．下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.7.已知點都在二次函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.8.我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形中，對角線交于點O．下列條件中，不能判斷四邊形是箏形的是（）A.， B.，C.， D.，9.某廣場計劃用如圖①所示A，B兩種瓷磚鋪成如圖②所示的圖案．第一行第一列瓷磚的位置記為，其右邊瓷磚的位置記為，其上面瓷磚的位置記為，按照這樣的規律，下列說法正確的是（）A.位置是B種瓷磚 B.位置是B種瓷磚C.位置是A種瓷磚 D.位置是B種瓷磚10.2025年5月，基于“三進制”邏輯芯片研制成功．與傳統的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．二進制數的組成數字為0，1．十進制數22化為二進制數：．傳統三進制數的組成數字為0，1，2．十進制數22化為三進制數：．將二進制數化為三進制數為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結果）11.計算：___________．12.若，則___________．13.一個不透明的袋子中裝有2個綠球、1個白球，每個球除顏色外都相同．小明同學從袋中隨機摸出1個球（不放回）后，小華同學再從袋中隨機摸出1個球．兩人摸到不同顏色球的概率是___________．14.如圖，小明同學將正方形硬紙板沿實線剪開，得到一個立方體的表面展開圖．若正方形硬紙板的邊長為，則折成立方體的棱長為___________．15.如圖，點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，連接．若，則___________．16.把一張矩形紙片按照如圖①所示的方式剪成四個全等的直角三角形，四個直角三角形可拼成如圖②或圖③所示的正方形．若矩形紙片的長為m，寬為n，四邊形的面積等于四邊形面積的2倍，則___________．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.（1）解不等式組，并把它的解集表示在數軸上；（2）解分式方程．18.為深入實施科教興國戰略，加快提升廣大青少年科技素養，某區市開展了科技素養測評活動，內容包括知識測試和實踐創新兩部分．所有參賽學生的總成績均不低于70分；總成績x（單位：分）分為三個等級：優秀，良好，一般；總成績80分及以上人數占總人數的百分比是優良率．陽光中學為了解本校參賽學生科技素養測評情況，整理了這次活動本校及所在區市參賽學生測評總成績的相關數據，部分信息如下：測評總成績統計表

平均數中位數優秀率優良率陽光中學84.688a區市85.387請根據所給信息，解答下列問題：（1）求陽光中學參賽人數及a的值，并補全統計圖；（2）請你對比區市測評總成績，選擇兩個角度，對陽光中學參賽學生科技素養測評情況做出評價：（3）每位參賽學生的總成績是由知識測試和實踐創新成績按一定的百分比折合而成．小紅同學知識測試成績為80分，實踐創新成績為90分，她的總成績為87分，求知識測試成績和實踐創新成績各占自百分比．19.如圖，某校有一塊長、寬的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內部修建安度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．20.小明同學計劃測量小河對面一幢大樓的高度．測量方案如圖所示：先從自家的陽臺點C處測得大樓頂部點B的仰角的度數，大樓底部點A的俯角的度數．然后在點C正下方點D處，測得大樓頂部點B的仰角的度數．若，，，，求大樓的高度．（精確到）．參考數據：，，；，，）21.如圖，是的切線，點A為切點．點B為上一點，射線交于點C，連接，點D在上，過點D作，，交于點F，作，垂足為點E．．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．22.問題提出已知，都是銳角，，，求的度數．問題解決（1）如圖，小亮同學在邊長為1的正方形網格中畫出和，請你按照這個思路求的度數．（點A，B，C，D都在格點上）策略遷移（2）已知，都是銳角，，，則___________；（3）已知，，都是銳角，，，，求值．（提示：在正方形網格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案）23.（1）如圖①，將平行四邊形紙片四個角向內折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形．判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，已知能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形，其中，點M在上，點N在上，點P在上，點Q在上．請用直尺和圓規確定點M的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）24.已知拋物線交x軸于點，點B，交y軸于點C．點C向右平移2個單位長度，得到點D，點D在拋物線上．點E為拋物線的頂點．（1）求拋物線的表達式及頂點E的坐標；（2）連接，點M是線段上一動點，連接，作射線．①在射線上取一點F，使，連接．當的值最小時，求點M的坐標；②點N是射線上一動點，且滿足．作射線，在射線上取一點G，使．連接，．求的最小值；（3）點P在拋物線的對稱軸上，若，則點P的坐標為___________．

2025年山東省威海市中考數學真題試卷及答案解析1.如表記錄了某日我國四個城市的平均氣溫：城市北京哈爾濱威海香港氣溫（℃）其中，平均氣溫最低的城市是（）A.北京 B.哈爾濱 C.威海 D.香港【答案】B【解析】【分析】本題考查了有理數的大小比較，比較四個城市的平均氣溫，找出最小的數值即可，掌握有理數的大小比較方法是解題的關鍵．【詳解】解：根據表格數據可知，，∴平均氣溫最低的城市是哈爾濱，故選：B．2.如圖是用5個大小相同的小立方塊搭成的幾何體．其左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，明確左視圖是從物體的左面看到的圖形是解題的關鍵；根據左視圖是從物體的左面看到的圖形判斷即可.【詳解】解：幾何體的左視圖是：故選：C3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了積的乘方計算，冪的乘方計算，同底數冪除法計算，分式的乘除法計算，根據相關計算法則求出對應選項中式子的結果即可得到答案．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算錯誤，不符合題意；D、，原式計算正確，符合題意；故選：D．4.據央視網2025年4月19日消息，復旦大學集成芯片與系統全國重點實驗室、片與系統前沿技術研究院科研團隊成功研制出半導體電荷存儲器“破嘵”．“破曉”存儲器擦寫速度提升至400皮秒實現一次擦或者寫．一皮秒僅相當于一萬億分之一秒．400皮秒用科學記數法表示為（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒【答案】A【解析】【分析】此題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，首先得到400皮秒秒，然后根據科學記數法的表示方法求解即可．【詳解】∵1皮秒秒，∴400皮秒秒．∴秒．故選：A．5.如圖，直線，，．若．則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先求出，然后由平行線的性質得到，然后利用三角形外角的性質求解即可．【詳解】如圖所示，∵，∴∵∴∵∴．故選：A．6.如圖，的中線交于點F，連接．下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理、三角形中線的性質以及相似三角形的判定和性質等知識；根據三角形的中位線定理結合三角形中線的性質可得，可得，再根據相似三角形的性質進一步判斷即可.【詳解】解：∵的中線交于點F，∴，∴，，故D選項結論正確；∴，，∴，，，故A、C選項結論正確，B選項結論錯誤；故選：B.7.已知點都在二次函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了比較二次函數值的大小，根據解析式可得開口向下，對稱軸為直線，則離對稱軸越近，函數值越大，據此求出三個點到對稱軸的距離即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數解析式為，∴二次函數的圖象開口向下，對稱軸為，∴離對稱軸越近，函數值越大，點的橫坐標與的距離為；點的橫坐標與的距離為；點的橫坐標與的距離為．∵，∴，故選C．8.我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形中，對角線交于點O．下列條件中，不能判斷四邊形是箏形的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定和性質以及全等三角形的判定與性質等知識；根據線段垂直平分線的判定和性質可判斷A選項，證明可判斷B、C選項，由，不能判斷，即可判斷D選項，進而可得答案.【詳解】解：A、∵，，∴垂直平分，∴，∴四邊形是箏形；B、∵，，，∴，∴，∴四邊形是箏形；C、∵，，，∴，∴，，∴四邊形是箏形；D、由，不能判斷，，故不能判斷四邊形是箏形；故選：D.9.某廣場計劃用如圖①所示的A，B兩種瓷磚鋪成如圖②所示的圖案．第一行第一列瓷磚的位置記為，其右邊瓷磚的位置記為，其上面瓷磚的位置記為，按照這樣的規律，下列說法正確的是（）A.位置是B種瓷磚 B.位置是B種瓷磚C.位置是A種瓷磚 D.位置是B種瓷磚【答案】B【解析】【分析】本題考查了點的坐標規律探索，找到規律是關鍵；根據題意可得：A種瓷磚的坐標規律為（單數，雙數)，(雙數，單數)；B種瓷磚的坐標規律為（單數，單數)，(雙數，雙數），再逐項判斷即可.【詳解】解：A種瓷磚的位置：，，B種瓷磚的位置：，，由此可得：A種瓷磚坐標規律為（單數，雙數)，(雙數，單數)；B種瓷磚的坐標規律為（單數，單數)，(雙數，雙數）；∴位置是A種瓷磚，故A選項不符合題意；位置是B種瓷磚，故B選項符合題意；位置是B種瓷磚，故C選項不符合題意；位置是A種瓷磚，故D選項不符合題意；故選：B.10.2025年5月，基于“三進制”邏輯的芯片研制成功．與傳統的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．二進制數的組成數字為0，1．十進制數22化為二進制數：．傳統三進制數的組成數字為0，1，2．十進制數22化為三進制數：．將二進制數化為三進制數為（）2025年山東省威海市中考數學真題試卷及答案解析A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，理解例題的計算方法，按照例題代入計算即可．將二進制數轉換為三進制數，需先將二進制數轉換為十進制數，再將十進制數轉換為三進制數．【詳解】∵二進制數的各位權值從右到左依次為，對應數值為：∴二進制數對應的十進制數為11．將十進制數11轉換為三進制數，采用“除3取余法”：，余數為2；，余數為0；，余數為1．將余數倒序排列，得到三進制數為．故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結果）11.計算：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數的運算，根據負整數指數冪，零指數冪，二次根式的化簡求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：．12.若，則___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了代數式求值，掌握整體的思想是解題的關鍵．先將變形為，然后將變形為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．13.一個不透明袋子中裝有2個綠球、1個白球，每個球除顏色外都相同．小明同學從袋中隨機摸出1個球（不放回）后，小華同學再從袋中隨機摸出1個球．兩人摸到不同顏色球的概率是___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結果數，其中兩人摸到不同顏色球的結果數有4種，∴兩人摸到不同顏色球的概率是．故答案為：．14.如圖，小明同學將正方形硬紙板沿實線剪開，得到一個立方體的表面展開圖．若正方形硬紙板的邊長為，則折成立方體的棱長為___________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了正方體的展開圖、正方形的性質、勾股定理以及一元二次方程的求解等知識；如圖，設，則，根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，設，則，則在直角三角形中，由勾股定理可得：，即，解得：或（舍去），∴正方體的棱長為cm，故答案為：．15.如圖，點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，連接．若，則___________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了求角的正切值，相似三角形的性質與判定，反比例函數比例系數的幾何意義，過點A作軸于C，過點B作軸，可證明，得到，再根據反比例函數比例系數的幾何意義得到，則，據此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過點A作軸于C，過點B作軸，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，∴，∴，∴，∴，故答案為：．16.把一張矩形紙片按照如圖①所示的方式剪成四個全等的直角三角形，四個直角三角形可拼成如圖②或圖③所示的正方形．若矩形紙片的長為m，寬為n，四邊形的面積等于四邊形面積的2倍，則___________．【答案】【解析】【分析】首先表示出四邊形的面積和四邊形面積，然后根據題意得到，整理得到，，設，得到，然后解方程求解即可．【詳解】解：根據題意得，四邊形的面積四邊形面積∵四邊形的面積等于四邊形面積的2倍∴整理得，∴設，∴解得或（舍去）∴故答案為：．【點睛】此題考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.（1）解不等式組，并把它的解集表示在數軸上；（2）解分式方程．【答案】（1），數軸表示見解析；（2）【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式組和分式方程的解法，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的方法是解題的關鍵；（1）先求得不等式組中每個不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式組的解集，進而在數軸上表示解集即可；（2）分式方程去分母化為整式方程，求得整式方程的解后再檢驗即得答案【詳解】解：（1），解不等式①，得。解不等式②，得，所以不等式組的解集是，不等式組的解集在數軸上表示為：（2）去分母，得，解得：，經檢驗：是原方程的解，所以原方程的解是18.為深入實施科教興國戰略，加快提升廣大青少年科技素養，某區市開展了科技素養測評活動，內容包括知識測試和實踐創新兩部分．所有參賽學生的總成績均不低于70分；總成績x（單位：分）分為三個等級：優秀，良好，一般；總成績80分及以上人數占總人數的百分比是優良率．陽光中學為了解本校參賽學生科技素養測評情況，整理了這次活動本校及所在區市參賽學生測評總成績的相關數據，部分信息如下：測評總成績統計表

平均數中位數優秀率優良率陽光中學84.688a區市85.387請根據所給信息，解答下列問題：（1）求陽光中學參賽人數及a的值，并補全統計圖；（2）請你對比區市測評總成績，選擇兩個角度，對陽光中學參賽學生科技素養測評情況做出評價：（3）每位參賽學生的總成績是由知識測試和實踐創新成績按一定的百分比折合而成．小紅同學知識測試成績為80分，實踐創新成績為90分，她的總成績為87分，求知識測試成績和實踐創新成績各占自百分比．【答案】（1）100，，見解析（2）見解析（3）知識測試成績占的百分比為，實踐創新成績占的百分比為．【解析】【分析】此題考查了條形統計圖，中位數和加權平均數等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．（1）首先根據陽光中學的優秀率求出參賽人數，然后求出良好的人數，然后除以總人數即可求出優良率a的值，然后補全統計圖即可；（2）從中位數和優良率分析判斷即可；（3）設知識測試成績占的百分比為，則實踐創新成績占的百分比為，根據加權平均數列方程求解即可．【小問1詳解】∵陽光中學的優秀率∴陽光中學參賽人數為（人）∴∴陽光中學良好的人數為∴陽光中學的優良率；補全統計圖如下：【小問2詳解】從中位數看，陽光中學的中位數大于區市的中位數∴陽光中學參賽學生科技素養測評情況更好；從優良率看，陽光中學的優良率大于區市的優良∴陽光中學參賽學生科技素養測評情況更好；【小問3詳解】設知識測試成績占百分比為，則實踐創新成績占的百分比為根據題意得，解得，∴知識測試成績占百分比為，實踐創新成績占的百分比為．19.如圖，某校有一塊長、寬的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內部修建安度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設小路的寬度為，根據題意可知種植園的面積等于一個長為，寬為的矩形面積，據此建立方程求解即可．【詳解】解：設小路的寬度為，由題意得，，整理得，解得或（舍去），答：小路的寬度為．20.小明同學計劃測量小河對面一幢大樓的高度．測量方案如圖所示：先從自家的陽臺點C處測得大樓頂部點B的仰角的度數，大樓底部點A的俯角的度數．然后在點C正下方點D處，測得大樓頂部點B的仰角的度數．若，，，，求大樓的高度．（精確到）．參考數據：，，；，，）【答案】大樓的高度約為．【解析】2025年山東省威海市中考數學真題試卷及答案解析【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，等腰直角三角形的性質，矩形的性質等知識，過作于，過作于，則四邊形是矩形，根據矩形的性質得到，根據等腰直角三角形的性質得到，設，解直角三角形即可得到結論，正確地添加輔助線是解題的關鍵．2025年山東省威海市中考數學真題試卷及答案解析【詳解】解：如圖，過作于，過作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，設，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，答：大樓的高度約為．21.如圖，是的切線，點A為切點．點B為上一點，射線交于點C，連接，點D在上，過點D作，，交于點F，作，垂足為點E．．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓的綜合題，涉及圓的切線的性質與判定，切線長定理，解直角三角形，勾股定理等知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．（1）連接，證明，則，而，則，由于是的切線，則，再由等式的性質即可證明；（2）可得，設，則，，由切線長定理得到，則，求出，即可求解半徑．【小問1詳解】證明：連接，∵是的切線，∴∵，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，即，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵，，∴，設，∴，，∵是的切線，是的切線，∴，∵∴，解得：，∴半徑為．22.問題提出已知，都是銳角，，，求的度數．問題解決（1）如圖，小亮同學在邊長為1的正方形網格中畫出和，請你按照這個思路求的度數．（點A，B，C，D都在格點上）策略遷移（2）已知，都是銳角，，，則___________；（3）已知，，都是銳角，，，，求的值．（提示：在正方形網格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案）【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】本題考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知識，解題的關鍵是學會路數形結合的思想解決問題．（1）連接，利用等腰直角三角形的性質求解；（2）構造等腰直角三角形可得結論；（3）構造直角三角形可得結論．【詳解】解：（1）如圖1中，連接，，，，∴是等腰直角三角形，，，；（2）如圖中，連接，由題意，，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，故答案為：；（3）如圖中，由題意知，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴是直角三角形，．23.（1）如圖①，將平行四邊形紙片的四個角向內折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形．判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，已知能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形，其中，點M在上，點N在上，點P在上，點Q在上．請用直尺和圓規確定點M的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】（1）四邊形是矩形，理由見解析；（2）見解析．【解析】【分析】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的性質，翻折變換，圓周角定理，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質．（1）四邊形是矩形，根據四個角是直角的四邊形是矩形證明即可；（2）分別作的中垂線，得到點，連接，作的中垂線，得到的中點，以為圓心，的長為半徑畫圓，與的交點即為點；【詳解】解：（1）四邊形是矩形，理由如下：由折疊的性質可知，，，，，，即，同理可得：，∴四邊形是矩形；（2）由（1）可知：，故分別為的中點，點在以為直徑的圓上，同理：點分別為的中點，點在以為直徑的圓上，如圖，即為所求．24.已知拋物線交x軸于點，點B，交y軸于點C．點C向右平移2個單位長度，得到點D，點D在拋物線上．點E為拋物線的頂點．（1）求拋物線的表達式及頂點E的坐標；（2）連接，點M是線段上一動點，連接，作射線．①在射線上取一點F，使，連接．當的值最小時，求點M的坐標；②點N是射線上一動點，且滿足．作射線，在射線上取一點G，使．連接，．求的最小值；（3）點P在拋物線的對稱軸上，若，則點P的坐標為___________．【答案】（1），（2）①；②（3）或【解析】【分析】（1）令，則，得到，根據平移得到，進而根據拋物線過點，，運用待定系數法即可求出拋物線解析式為．將解析式化為頂點式，即可得到頂點E的坐標；（2）①當點O，M，F三點共線時，為最小值．對于拋物線，令，求出，進而可得直線的解析式為．由點F在射線CD上，，得到，從而可得直線的解析式為．解方程組即可解答；②由，，得到是等腰直角三角形，從而．連接，，由兩點間距離公式可得，，從而，即可得到是等腰直角三角形，因此，從而證得，得到，進而有．證明，根據勾股定理求出，即可解答．2025年山東省威海市中考數學真題試卷及答案解析（3）分兩種情況：①當點P在x軸上方時，取點，連接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．過點A作于點K，設對稱軸與x軸的交點為Q，則，從而，得到．根據的面積求得，進而在中，，把相關數據代入，即可求得，從而．②當點P在x軸下方時，由對稱性可得．即可解答．【小問1詳解】解：對于拋物線，令，則，∴，∵點C向右平移2個單位長度，得到點D，∴，∵拋物線過點，，∴，解得，∴拋物線的解析式為．∵，∴拋物線的頂點E的坐標為．【小問2詳解】解：①如圖，當點O，M，F三點共線時，為最小值．對于拋物線，令，則，解得，，∴，設過點，的直線解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，∵，∴，∵點F在射線上，，，∴，∴由點，可得直線的解析式為，解方程組得，∴當的值最小時，點M的坐標為；②∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴．連接，，∵，，，∴，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∵，，∴軸，即，∴，∴．∵，，∴在中，，∴，即的最小值為．【小問3詳解】解：①當點P在x軸上方時，取點，連接，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，∵，∴．過點A作于點K，設對稱軸與x軸的交點為Q，∴，∴，∴．∵，，，∴，，∵，即，∴，∴在中，，∵對稱軸為直線，∴，∵，∴，∴，∴．②當點P在x軸下方時，由對稱性可得．綜上所述，點P的坐標為或．故答案為：或．【點睛】本題考查待定系數法求解析式，二次函數的圖象及性質，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，兩點間的距離公式，兩點之間線段最短等，綜合運用相關知識是解題的關鍵．表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

●角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

■平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

■垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

●垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據射線和直線可以無限延長有關，再看后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫垂直平分線的時候，確定了2點后（關于畫法，后面會講）一定要把線段穿出2點。

■垂直平分線定理：

●性質定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等；

●判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上

●角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

定義中有幾個要點要注意一下的，就是角的角平分線是一條射線，不是線段也不是直線，很多時，在題目中會出現直線，這是角平分線的對稱軸才會用直線的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點

●性質定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等●判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上

■正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形●性質：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質●判定：①對角線相等的菱形②鄰邊相等的矩形《初中數學思維方法策略的研究》摘要本研究探討了初中數學思維方法策略的重要性及其在教學實踐中的應用。通過分析數學思維的基本概念和特點，研究了初中生數學思維發展的規律，并提出了針對性的培養策略。研究發現，合理的思維方法策略能顯著提高學生的數學學習效果和問題解決能力。本研究為初中數學教學提供了理論支持和實踐指導，對促進學生數學思維發展具有重要意義。關鍵詞

初中數學；思維方法；策略研究；數學教學；問題解決引言數學思維是人類認識世界、改造世界的重要工具，在初中教育階段具有特殊地位。隨著新課程改革的深入，培養學生的數學思維能力已成為數學教育的核心目標之一。本研究旨在探討初中數學思維方法策略的理論基礎和實踐應用，為提升數學教學質量提供參考。初中階段是學生數學思維發展的關鍵時期，有效的思維方法策略不僅能幫助學生掌握數學知識，更能培養其邏輯推理、抽象概括和問題解決等核心能力。本研究將從數學思維的基本概念出發，分析初中生數學思維的特點，并提出相應的培養策略。一、數學思維的基本概念數學思維是指運用數學的觀點、方法和語言進行思考和解決問題的過程。它具有抽象性、邏輯性、精確性和創造性等特點。在初中階段，數學思維主要表現為邏輯推理、空間想象、數學建模和問題解決等能力。根據認知發展階段理論，初中生的思維正處于從具體運算向形式運算過渡的關鍵期。這一階段的學生開始能夠進行抽象思維，但仍需要具體經驗的支持。因此，在數學教學中，教師需要根據學生的認知特點，設計合適的思維訓練活動。數學思維在初中教育中的重要性不言而喻。它不僅關系到學生數學成績的提高，更是培養其科學素養和創新精神的基礎。良好的數學思維能幫助學生更好地理解數學概念，掌握解題方法，并在實際生活中應用數學知識解決問題。二、初中生數學思維發展的特點初中生的數學思維發展呈現出明顯的階段性特征。初一學生仍較多依賴具體形象思維，而初三學生則逐漸發展出較強的抽象思維能力。這種發展不是線性的，而是呈現出螺旋上升的特點，在不同數學內容領域表現出不同的發展速度。在數學學習過程中，初中生常見的思維障礙包括：概念理解不深刻、邏輯推理不嚴密、問題解決策略單一等。這些障礙往往導致學生在面對復雜問題時感到困難。研究表明，這些障礙的形成既與學生的認知發展水平有關，也與教學方法不當密切相關。影響初中生數學思維發展的因素是多方面的。內在因素包括學生的智力水平、學習動機和元認知能力；外在因素則涉及教師的教學方法、家庭環境和課程設置等。其中，教師的教學策略對學生數學思維的發展起著關鍵性的引導作用。三、初中數學思維方法策略研究針對概念理解，教師應采用"概念形成"策略，通過具體實例引導學生發現數學概念的本質屬性。例如，在教授函數概念時，可以從生活中的變化關系入手，幫助學生建立變量對應的思維模式。在問題解決方面，"啟發式教學"策略尤為有效。教師可通過示范解題思維過程，展示如何分析問題、制定計劃和驗證結果。同時，鼓勵學生采用多種解題方法，培養其思維靈活性。課堂實踐表明，"思維可視化"策略能顯著提升教學效果。通過思維導圖、流程圖等工具，將抽