相似三角形折疊問題（分層練習）（培優練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點B的坐標為，D為的中點，E是上一動點，將四邊形沿折疊，使點A落在F處，點O落在G處，當線段的延長線恰好經過的中點H時，點F的坐標為（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安慶·九年級校聯考階段練習）如圖，矩形中，，把它折疊起來，使頂點A與C重合，則折痕的長度為（

）A．B． C． D．3．（2021·廣西來賓·統考中考真題）如圖，矩形紙片，，點，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點，的對應點分別為，，連接并延長交線段于點，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在正方形中，，E是的中點，F是延長線上的點，將沿折疊得到．連接并延長分別交、于O、H兩點，若，則的長度為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇徐州·九年級統考期末）如圖是一張矩形紙片，點是中點，點在上，把該紙片沿折疊，點、的對應點分別為、，與相交于點，的延長線經過點．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽·模擬預測）如圖，將矩形ABCD折疊，使點D落在AB上點D′處，折痕為AE；再次折疊，使點C落在ED′上點C′處，連接FC′并延長交AE于點G．若AB=8，AD=5，則FG長為（

）A． B． C． D．47．（2022·海南·九年級專題練習）如圖，矩形紙片ABCD，點E在邊AD上，連接BE，點F在線段BE上，且，折疊矩形紙片使點C恰好落在點F處，折痕為DG，若，則折痕DG的長為（

）A． B． C． D．8．（2021·內蒙古通遼·統考中考真題）如圖，已知，，，點E為射線上一個動點，連接，將沿折疊，點B落在點處，過點作的垂線，分別交，于M，N兩點，當為線段的三等分點時，的長為（

）A． B． C．或 D．或9．（2021春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學校考開學考試）如圖，在等腰中，，．點和點分別是邊和邊上兩點，連接．將沿折疊，得到，點恰好落在的中點處設與交于點，則（

）A． B． C． D．10．（2023·黑龍江牡丹江·統考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕，如圖②．根據以上的操作，若，，則線段的長是（

）

A．3 B． C．2 D．1填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·湖北武漢·統考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是．

12．（2023春·安徽滁州·九年級校考階段練習）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點D，點M是AC一動點（AM＜AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點A的對應點為點E，ED與AC交于點F，則CD的長度是；若ME//CD，則AM的長度是；13．（2023春·湖北隨州·九年級統考階段練習）如圖，點是矩形邊上一點，沿折疊，點恰好落在邊上的點處，設，（1）若點恰為邊的中點，則．（2）設，則關于的函數表達式是．14．（2021春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考期中）如圖，矩形中，，點、分別是和上的點，，，將矩形沿折疊，使得點恰好落在的延長線上的點處，點的對應點為，連接，則點到的距離為．15．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，在矩形中，將矩形沿著折痕折疊，點落在上，與邊交于點G．若點C恰好與的中點重合，且，則的值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）16．（8分）（2023·山西運城·統考二模）問題情境：在數學活動課上，老師出了這樣一道題：在矩形中，，，將矩形繞著點順時針旋轉到矩形的位置，點D恰好在邊CG上．問題解決：（1）如圖1，連接AC，CF，AF，AF與CG交于點H．①的值為______，______．②求GH的長．如圖2，若將四邊形沿渞直線CP折疊，得到四邊形，使得點B的對應點恰好在EF上，點A的對應點為，點G在上，求AP的長．17．（8分）（2023春·山西晉城·九年級校聯考階段練習）綜合與實踐問題情境：綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點A的直線折疊，使點D的對應點落在邊上，展開后折痕交于點E．（1）的度數為______．（2）求線段的長度．拓展延伸：如圖2，在圖1的基礎上，繼續沿過點A的直線折疊，使點B的對應點落在上，展開后折痕交于點F，連接．請判斷的形狀并說明理由．18．（10分）（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，矩形中，P為上一點，且，連接，把矩形沿著折疊，點B落到，延長交延長線于Q，已知．（1）若，求．（2）若，求．19．（10分）（2022秋·海南海口·九年級海南華僑中學校考期中）如圖1將矩形分別沿過點的直線折疊，使點分別落在上的點E處和上的點H處，折痕為；（1）求證：；（2）若，，①求；②如圖2，延長交于M點，求的長．參考答案1．A【分析】連接，根據勾股定理得到，延長交的延長線于，根據三角形中位線定理得到，，根據平行四邊形的性質得到，，根據折疊的性質得到，，求得，過作于，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．解：連接，矩形的頂點的坐標為，，，，延長交的延長線于，為的中點，為的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，將四邊形沿折疊，使點落在處，點落在處，，，，，，，，，，過作于，，，，，，，，．故選：A．【點撥】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．2．A【分析】由折疊的性質可知，，，再由矩形的性質得到，，證明得到，利用勾股定理求出，則，證明，得到，由此代入對應的值求解即可．解：由折疊的性質可知，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選A．【點撥】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．3．A【分析】根據折疊性質則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質及矩形性質可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根據相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性質證得FH＝AB，即可求得結果．解：如圖，過點F作FH⊥AD于點H，∵點，的對應點分別為，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分線．∴∠AOE=90°．∵四邊形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四邊形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故選：A．【點撥】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質、矩形及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．4．A【分析】解：設，則，由翻折可知，，易證根據相似的性質得解得及，勾股定理求出，再證得即可求解．解：設，則，由翻折可知，，，E是的中點，，由題意可知：，，，即，解得，，，又，，，，，即：，解得：，故選：A．【點撥】本題考查了矩形和翻折的性質，相似三角形的證明和性質的應用；解題的關鍵是巧設未知數，利用勾股定理和相似構造等量關系求解．5．C【分析】過點E作于點H，令，，，則，，易證，得出，進而得出，則，根據勾股定理得出，最后求出的值．解：過點E作于點H，∵四邊形為矩形，∴，，∴四邊形和四邊形為矩形，∴，，∵，∴令，，，則，，∵為的中點，∴，由對折可得：，而，∴，∴，

∴，∴，由題意，得，又為公共角，∴，∴，則，整理，得，解得（舍去），，∴，，，在中，則，解得，（負根舍去），

∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查了矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理求邊長等知識，借助于相似三角形找到的關系式是解決問題的關鍵．6．C【分析】過點G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分別為I、H，由折疊的性質可得C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，設FC′=x，則EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，再證明△BC′D'∽△C′GH，設C′H=3m，則GH=4m，C′G=5m，則HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，從而解決問題．解：由折疊的性質得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∵∠DAB=90°，∴四邊形ADED'是矩形，∵AD=AD'，∴四邊形ADED'是正方形，過點G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分別為I、H，∵AD'ED是正方形，∴AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∴D'B=EC=8-5=3，在Rt△C′BD'中，C′D'=4，∴C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，設FC′=x，則EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，∵∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∴∠BC′D'=∠C′GH，又∵∠GHC′=∠BD'C′=90°，∴△BC′D'∽△C′GH，∴C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，設C′H=3m，則GH=4m，C′G=5m，∴HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∴C′G=5m=5，∴FG=；故選：C．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，正方形的判定與性質，翻折的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，作輔助線構造三角形相似是解題的關鍵．7．C【分析】過點作，垂足為點延長線交于點，由矩形的性質得，由平行線分線段成比例定理可得，得出的值，折疊的性質得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性質得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值．解：如解圖，過點作，垂足為點延長線交于點，∵四邊形是矩形，，∴四邊形AMNB為矩形，∴．由折疊性質可得，．，，，即．故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，相似三角形的性質和判定定理，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．8．D【分析】因為點為線段的三等分點，沒有指明線段的占比情況，所以需要分兩種情況討論：①；②．然后由一線三垂直模型可證∽，再根據相似三角形的性質求得的值，最后由即可求得的長．解：當點為線段的三等分點時，需要分兩種情況討論：①如圖1，當時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．②如圖2，當時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．綜上所述，的長為或．故選：．【點撥】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，由為線段的三等分點，分兩種情況討論線段的占比情況，以及利用型相似進行相關計算是解決此題的關鍵．9．C【解析】根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC=4，∠A=∠B=45°，過B′作B′H⊥AB與H，得到AH=B′H=AB′，求得AH=B′H=1，由勾股定理得到BB′=，由折疊的性質得到BF=，DE⊥BB′，根據相似三角形即可得到結論．解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°，如圖，過B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH=B′H=AB′，∵AB′=，∴AH=B′H=1，∴BH=3，∴BB′=，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BF=，DE⊥BB′，∴∠BHB′=∠BFE=90°，∵∠EBF=∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF=，故答案為：故選：C．【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．10．C【分析】根據折疊的性質得：，，，設，則，利用勾股定理求出，再證明，得，求解即可．解：如圖，過點作，交于點，

在和中，設，則，，即：，解得：，，，，，，，故選：C．【點撥】本題考查折疊問題及矩形的性質、正方形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握折疊的性質并能熟練運用勾股定理方程思想是解題的關鍵．11．【分析】先根據折疊的性質可得，，從而可得，再根據相似三角形的判定可證，根據相似三角形的性質可得，，然后將兩個等式相加即可得．解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．12．52.5【分析】（1）根據已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進而可以解決問題；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長，再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長．解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵ME//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=，∴CF=；∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：=5：4，解得：AF=，設AM=ME=x，則MF=-x；∵ME//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（-x）：，解得x=2.5；故答案：5；2.5；【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，翻折變換，解決本題的關鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問題．13．2【分析】（1）根據折疊和矩形的性質，證出AF=AB=CD，由點B恰好落在CD邊上的中點F處，得出DF=AF，得∠DAF=30°，再求出∠CFE=∠DAF=30°，即可得答案；（2）先證△AFD∽△FEC，得，由AB=AF=CD，BE=EF，得，，由，，得=x-1，可得答案．解：（1）由折疊，得AF=AB，BE=EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°，∠C=90°，∵點B恰好落在CD邊上的中點F處，∴DF=CD=AB=AF，在Rt△ADF中，由DF=AF，得∠DAF=30°，∵∠DAF+∠AFD=90°，∠AFD+∠CFE=90°，∴∠CFE=∠DAF=30°，所以在Rt△ECF中，，∴，∴x=2；（2）∵△AFE是由△ABE折疊而來的，∴△AFE≌△ABE，∴BE=EF，AB=AF=CD，∵∠EFC+∠AFD=90°，∠EFC+∠FEC=90°，∴∠AFD=∠FEC，∵∠ADC=∠BCD，∴△AFD∽△FEC，∴，∴，∵AB=AF=CD，BE=EF，∴，∴，∵，，∴1+=x，∴=x-1，∴y=（x＞1）．【點撥】本題考查了折疊和矩形的性質，在直角三角形中，30°的角對的邊是斜邊的一半，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是證三角形相似．14．【分析】作EG⊥BC于G點，作CH⊥交延長線于H點，設，則，綜合折疊與矩形的基本性質，在中運用勾股定理求解出的值，從而得到，，然后判斷出，利用相似三角形的性質求出CH的長度即可．解：如圖所示，作EG⊥BC于G點，作CH⊥交延長線于H點，則點到的距離即為CH的長度，∵，∴設，則，∴，，由折疊的性質可知，，，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，又∵EG=AB=CD=，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍去），∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，解得：，經檢驗，是上述方程的解，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的折疊問題，理解矩形與翻折變化的基本性質，靈活利用全等三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質是解題關鍵．15．【分析】首先得出，再根據翻折的性質得出，得出，最后利用勾股定理得出結果．解：∵點C恰好與的中點重合，∴，由翻折的性質得，∵，∴，∴，又∵，∴設，∴，在Rt?中，CF=，∴AD=BC=BF+FC=，AB==2a，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，折疊的性質及勾股定理，解題的關鍵是靈活運用這些性質．16．（1）①；；②；（2）7【分析】（1）①由和是旋轉的對應線段可得旋轉角為，即。在中，利用勾股定理求出的長，又與是對應線段，故，，進而用勾股定理可求出的長；②由可得，從而得到邊之間的比例關系，求解即可；（2）由題意可得，，利用勾股定理直接求得，從而得到的長，連接，利用勾股定理求出和的長，設所求，則用含x的式子表示，的長，又，在中，利用勾股定理構造方程，即可求出x的值，即的長．解：（1）①由題意可得旋轉后得到，是旋轉角，故∵在矩形中，，，∴在中，是由旋轉得到，故答案為：；②∵∴，∴，即，解得.（2）如圖，連接∵，∴∵∴.在中，在中，設，則∴，，在中，∴解得∴【點撥】本題主要考查旋轉的性質，勾股定理解決折疊問題，熟練運用勾股定理是解題的關鍵．17．（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，證明見分析【分析】（1）首先根據折疊的性質得的，然后利用勾股定理求出，得到，然后求解即可；（2）首先根據線段的和差