PAGE全國（新教材）此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)第一次月考備考金卷數(shù)學(xué)（B）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量分別是平面和平面的法向量，若，則與所成的銳角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【解析】設(shè)與所成的角為θ，且0°<θ<90°，則，，故選B．2．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A?B?D B．A?B?C C．B?C?D D．A?C?D【答案】A【解析】因?yàn)椋裕钟泄颤c(diǎn)，所以A?B?D三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)A正確；顯然不共線，所以、、三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；顯然不共線，所以、、三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋圆还簿€，從而、、三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選A．3．已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（）A． B．97 C． D．61【答案】C【解析】∵，∴，故選C．4．已知直線l過點(diǎn)和l垂直的一個(gè)向量為，則P(3,5,0)到l的距離為（）A．5 B．14 C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴點(diǎn)P到直線l的距離為．5．已知，，，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】∵與不共線，則取，作為平面的一組基向量，又三向量共面，則存在實(shí)數(shù)使得，∴，解得，故選C．6．如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量表示向量為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，所以，故選A．7．長方體，，，點(diǎn)在長方體的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，，則二面角的平面角正切值的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，，，又，，即，所以，所以點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)的軌跡為由點(diǎn)C到BB1四等分點(diǎn)（靠近B點(diǎn)）的一條線段，且點(diǎn)P由C點(diǎn)向BB1四等分點(diǎn)移動(dòng)過程中，二面角逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P位于C點(diǎn)處時(shí)，二面角最小，最小值為0，當(dāng)點(diǎn)P位于BB1四等分點(diǎn)處時(shí)，二面角最大，此時(shí)，即為二面角的平面角，，所以二面角正切值的取值范圍為，選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，故選B．8．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)椋詾榈冗吶切危蕿榈闹悬c(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因?yàn)椋瑒t，所以，故當(dāng)時(shí)，有最大值，即，故，即有最大值，所以，，故選D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法不正確的是（）A．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線l與平面α所成的角等于30°B．兩條異面直線的夾角等于它們的方向向量的夾角C．二面角的大小范圍是D．二面角的大小等于其兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小【答案】ABD【解析】當(dāng)直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為150°時(shí)，直線l與平面α所成的角為60°，A不正確；向量夾角的范圍是，而異面直線夾角為，B不正確；二面角的范圍是，C正確；二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小相等或互補(bǔ)，D不正確，故選ABD．10．設(shè)是空間的一個(gè)基底，若，，．給出下列向量組可以作為空間的基底的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】如圖：在長方體中，設(shè)，，，則，，，，由圖可知：三個(gè)向量共面，所以不能作為基底；三個(gè)向量不共面，三個(gè)向量不共面，三個(gè)向量不共面，所以，，可以作為基底，故選BCD．11．在長方體中，??分別為棱??的中點(diǎn)，，，則正確的選項(xiàng)是（）A．異面直線與所成角的大小為60°B．異面直線與所成角的大小為90°C．點(diǎn)到平面的距離為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，連接，則，，，，，所以，，所以，所以，所以異面直線與所成角的大小為90°，故A錯(cuò)誤，B正確；又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故C正確，D錯(cuò)誤，故選BC．12．已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，則（）A．與是異面直線 B．與所成角的大小為C．與平面所成角的余弦值為 D．二面角的余弦值為【答案】AD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，由圖知：與是異面直線，故A正確；以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，對(duì)選項(xiàng)B，，，，，所以，，設(shè)與所成角為，則，又因?yàn)椋裕蔅錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，由題知：平面的法向量為，因?yàn)椋O(shè)與平面所成角為，則，，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得；設(shè)平面的法向量，，則，令，得，設(shè)二面角的平面角為，則，又因?yàn)闉殇J角，所以，故D正確，故選AD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知點(diǎn)，，，，則在上的投影向量的長度為________．【答案】【解析】由已知得，，∴，又，所以在上的投影向量的長度為，故答案為．14．已知，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）__________．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，所以，所以，即，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，故答案為．15．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)??分別是??的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段長度為__________．【答案】【解析】因?yàn)槿庵侵比庵遥砸詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋c(diǎn)??分別是??的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)辄c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，所以，，因?yàn)椋裕獾茫裕裕淳€段長度為，故答案為．16．在棱長為的正方體中，，點(diǎn)在正方體的表面上移動(dòng)，且滿足，當(dāng)在上時(shí)，______；滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形的周長為______．【答案】，【解析】如圖，取、上的點(diǎn)分別為、，連接、、、，使得，、、、四點(diǎn)共面，且四邊形為梯形．正方體的邊長為，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、．設(shè)點(diǎn)、，設(shè)，且，，，解得，，，，由，則平面．點(diǎn)在正方體表面上移動(dòng)，且，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為梯形，，，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，又，，，所以，梯形為等腰梯形，且梯形的周長，故答案為，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對(duì)角線，O為的重心．（1）求證：；（2）化簡：．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1），①，②，③，①+②+③得．（2）因?yàn)椋裕?8．（12分）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，是的中點(diǎn)．利用空間向量解決下列問題：（1）求與所成的角；（2）求與所成角的余弦值；（3）求兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，（1）因?yàn)椋裕裕剩磁c所成的角為．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋遥裕磁c所成角的余弦值為．（3）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕磧牲c(diǎn)之間的距離為．19．（12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面平面，是斜邊的長為的等腰直角三角形，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）依題意可得，．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，平面，∴．在中，，是棱的中點(diǎn)，所以，又，，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，由（1）知平面，∴平面，∴是直線與平面所成角，∴，∴，∴，∴是棱的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，則；有，令，則，∴，∴銳二面角的余弦值為．20．（12分）在長方體中，底面是邊長為1的正方形，為棱上的中點(diǎn)．（1）若，求的長度；（2）若二面角的余弦值為，求的長度．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）設(shè)，∵，∴，∴．（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，則，，，設(shè)面的法向量為，則，令，得；設(shè)面的法向量為，則，令，得，所以，，．21．（12分）已知為等腰直角三角形，，，分別為和上的點(diǎn)，且，，如圖1．沿EF將折起使平面平面，連接，，如圖2．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）已知為棱上一點(diǎn)，試確定的位置，使平面．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，平面．【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫裕郑越⑷鐖D1所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈妊苯侨切危謩e為和上的點(diǎn)，且，，則，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．（2）方法一：設(shè)，因?yàn)椋裕O(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，因此可取，所以．因?yàn)槠矫妫裕矗援?dāng)時(shí)，平面．方法二：當(dāng)時(shí)，平面．證明如下：如圖2，在平面內(nèi)過作交于，連接．因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕驗(yàn)椋裕郑裕驗(yàn)槠矫妫云矫妫忠驗(yàn)椋矫妫云矫妫驗(yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫妫?2．（12分）在①平面，②平面平面，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．問題：如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若__________，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在三棱錐中，連接，，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∴，，兩兩垂直．∴，