考點(diǎn)規(guī)范練50二項(xiàng)式定理一、基礎(chǔ)鞏固1.(多選)下列關(guān)于(ab)10的展開式的說(shuō)法正確的是()A.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024B.展開式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.展開式的第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)最小答案:ABD解析:由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正確;依題意,展開式中有11項(xiàng),故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng),即為第6項(xiàng),故B正確,C錯(cuò)誤;由展開式的通項(xiàng)Tr+1=C10ra10r(b)r=(1)rC10ra102.(2024北京,4)(xx)4的二項(xiàng)展開式中x3的系數(shù)為()A.15 B.6 C.4 D.13答案:B解析:Tr+1=C4r·x4r·(x)r=(1)r·C4r得r=2.C42x2(x)2=6x故選B.3.若(1+3)4=a+b3(a,b為有理數(shù)),則a+b等于()A.36 B.46 C.34 D.44答案:D解析:(1+3)4=1+C41×3+C42×(3)2+C43×(3)3+(3)4=28+164.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若數(shù)列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列,則k的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.8答案:B解析:由題意知an=C10n-1(n=因?yàn)?1+x)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng),所以a6=C105最大,所以k的最大值為5.若(12x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=()A.1 B.32 C.81 D.243答案:D解析:令x=1,得a0a1+a2a3+a4a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243.6.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一,最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中出現(xiàn),歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,比楊輝要晚近四百年.如圖,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中,記第2行的第3個(gè)數(shù)字為a1,第3行的第3個(gè)數(shù)字為a2……第n(n≥2)行的第3個(gè)數(shù)字為an1,則a1+a2+a3+…+a10=()A.220 B.186 C.120 D.96答案:A解析:a1+a2+a3+…+a10=C22+C32+C42+…+C112=C33+C37.在2x-13x6的展開式中,有理項(xiàng)共有答案:464x解析:2x-13x6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(2x由6-3r2∈Z,得r=若項(xiàng)的系數(shù)最小,則r為奇數(shù),即r=1或3或5.當(dāng)r=1時(shí),系數(shù)為64;當(dāng)r=3時(shí),系數(shù)為16027當(dāng)r=5時(shí),系數(shù)為481.故系數(shù)最小的項(xiàng)為T2=8.已知Cn03n+Cn13n1+Cn23n2+…+Cnn-1答案:5解析:依題意,Cn03n+Cn13n1+Cn23n2+…+Cnn-13+Cnn=(3+1)9.(2021浙江,13)已知(x1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,則a1=,a2+a3+a4=.

答案:510解析:因?yàn)閍1為展開式中x3的系數(shù),所以a1=C30(1)0+C4令x=1,則有1+a1+a2+a3+a4=(11)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=1651=10.10.已知(x+1)6=a0+a1(x1)+a2(x1)2+…+a6(x1)6,則a4=.

答案:60解析:∵(x+1)6=[(x1)+2]6,∴Tr+1=C6r(x1)6r·2r,令6r=4,則∴T3=C62(x1)4·22=60(x1)4,即a4=二、綜合應(yīng)用11.已知1+ax2(1+x)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256,則該展開式中x3的系數(shù)為A.26 B.32 C.38 D.44答案:C解析:令x=1,可得1+ax2(1+x)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為(1+a)·26=256,解得故1+3x2(1+x)6的展開式中x3的系數(shù)為C63+12.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=()A.256 B.364 C.296 D.513答案:B解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=1,得a0a1+a2…+a12=1,②由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=3令x=0,得a0=1,故a2+a4+…+a12=36+12113.在x+1xn的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)的和為128,把展開式中各項(xiàng)重新排列,A.435 B.34答案:D解析:依題意,令x=1,可得各項(xiàng)系數(shù)的和為2n=128,解得n=7.故x+1x7的展開式的通項(xiàng)公式為T由73r2∈Z,得r=0,2,4,6,故展開式中有4項(xiàng)為有理項(xiàng),有把展開式中各項(xiàng)重新排列,則有理項(xiàng)都互不相鄰的排法有A44A54種故有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為A14.(多選)若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,x∈R,則()A.a0=1B.ar=C10r210r(1)r,r=0,1,2,C.a1+a2+…+a10=1D.(a0+a2+…+a10)2(a1+a3+…+a9)2=310答案:AD解析:令x=1,得a0=(2+1)10=1,故A正確.由已知得(2x+1)10=[1+2(x+1)]10,故ar=C10r(1)10r2r,r=0,1,2,…,10,故B錯(cuò)誤.令x=0,得a0+a1+a2+…+a10=1,又a0=1,則a1+a2+…+a10=0,故C錯(cuò)誤.令x=2,得a0a1+a2…+a10=310,則(a0+a2+…+a10)2(a1+a3+…+a9)2=(a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9)(a0+a2+…+a10a1a3…a9)=1×310=310,故D15.9192除以100的余數(shù)是.

答案:81解析:因?yàn)?192=(90+1)92=C9209092+C9219091+…+C9290902+C929190+C9292=C9209092+C所以9192除以100的余數(shù)是81.16.(2024上海,6)若二項(xiàng)式(x+1)n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和為32,則x2項(xiàng)的系數(shù)為.

答案:10解析:令x=1即可得各項(xiàng)系數(shù)之和是(1+1)n=2n=32,可知n=5,則該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式是Tr+1=C5rx5r·1r,令5r=2,可得r=∵C53=10,∴x2三、探究創(chuàng)新17.(多選)傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn),于是留下遺言:他死后,墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m,圓柱的表面積與球的表面積之比為n,若f(x)=(mnx31x)8,則(A.f(x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56B.f(x)的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0C.f(x)的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是70D.f(i)=16,其中i為虛數(shù)單位答案:BC解析:設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則圓柱的高為2r,所以m=πr2·2r43πr3=32,n=對(duì)于A,f(x)的展開式的通項(xiàng)公