14.2.2三角形全等的判定(二)——角邊角

所在的兩個三角形全等.內容

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等應用注意①

已知一角和這角的一夾邊，必須找這角

的另一夾邊.證明線段(或角相等)

轉化證明線段（或角）或“SAS”簡記為“邊角邊”②

已知兩邊，必須找“夾角”(邊角邊)

三角形全等的判定知識回顧在△ABC和△A′B′C′中

∴△ABC≌

△A′B′C′

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.判定兩個三角形全等的第1種方法是如下的基本事實.幾何語言：AB=A′B′

∠A=∠A′

AC=A′C

BCAB′C′

A′必須是兩邊“夾角”或“SAS”簡記為“邊角邊”(S表示邊，A表示角)∵(SAS)

在書寫兩個三角形全等的條件“邊角邊”時，要按邊、角、邊的順序來寫，即把夾角相等寫在中間，以突出兩邊及其夾角對應相等.知識回顧知識拓展：

如圖，小明不慎把一塊三角形的玻璃打碎成兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具？如果可以，帶哪塊去合適？ⅠⅡ探究新知ⅠⅡ解：帶第

Ⅱ塊去.活動：猜想、測量、驗證觀察圖中的三角形：1、先觀察，猜一猜哪兩個三角形是全等三角形?2、哪些條件決定了△ABC≌△FDE?3、△ABC與△PQR有哪些相等的條件？為什么它們不全等？AB360°40°C340°60°PRQ60°40°DFE3△ABC≌△FDE兩角及其夾邊分別相等都有

40°

角和

60°角，但是一條是夾邊，一條是

60°角的對邊.作圖探究已知：△ABC求作：△A′B′C′，使

∠B′=∠B，B′C′=BC，∠C′=∠CBACB′C’A′NM作法：(1)作線段B′C′=BC；(2)在B′C′的同旁，分別以B′，C′為頂點作∠NC′B′=∠C，B′M與C′N交于點A′.則△A′B′C′就是所求作三角形.∠MB′C′=∠B

將所作的△A′B′C′與△ABC疊一疊，看看它們能否完全重合？由此你能得到什么結論？分別相等的兩個三角形全等兩角及其夾邊兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.判定兩個三角形全等的第2種方法

是如下的基本事實.或“ASA”簡記為“角邊角”(S表示邊，A表示角).在

△ABC和△A′B′C′中

∴△ABC≌

△A′B′C′

幾何語言：∠A=∠A′

AB=A′B′

∠B=∠B′

必須是兩角的“夾邊”∵(ASA)ABCA′B′C′歸納總結4ABDC123例3

已知：∠1=∠2，∠3=∠4.求證：DB=CB.又∵∠3=∠4證明:∴△ADB

≌

△ACB∠1=∠2∴DB=CB

∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°(已知)(已證)(公共邊)(ASA)∵(全等三角形的對應邊相等)(鄰補角的定義)(已知)∴∠ABD=∠ABC(等角的補角相等)在△ADB和△ACB中

AB=AB∠ABD=∠ABC例4

已知：如圖，要測量河兩岸相對的兩點A，B之間的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C，D（BF在河岸上），使BC=CD，再過點D作BF的垂線DE，使點A，C，E在一條直線上，這時測得DE的長等于AB的長，請說明理由.證明:∵AB⊥CD，ED⊥BD

(已知)∴

∠ABC=∠EDC=90°

(垂直的定義)∴△ABC

≌

△EDC∠ABC=∠EDC∴AB=DE(已證)(對頂角相等)(已知)(ASA)∵(全等三角形的對應邊相等)在△ABC和△EDC

中

BC=CD∠ACB=∠ECD1、已知：∠1=∠2，∠ABC＝∠DCB.求證：△ABC≌△DCB.

證明：在△ABC和△DCB中∴△ABC≌

△DCBBCAD12∵(已知）(公共邊)(已知)

∠ABC＝∠DCBBC＝CB∠2＝∠1(ASA)鞏固練習2．如圖，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2.

求證：△ABC≌△ADE．證明：∵∠1=∠2

(已知)(等式的性質)∴

∠1+∠EAC=∠2+∠EAC在

△ABC

和

△ADE

中∴

△ABC≌△ADE∵(已知)(已知)(已證)∠C＝∠EAC＝AE∠BAC＝∠DAE(ASA)歸納總結∴∠BAC=∠DAE3、如圖，AB∥

CD，E

是

CD

上一點，BE

交

AD

于點

F，EF=BF．求證：AF=DF歸納總結證明：∵

AB∥CD∴

∠B=∠FED在

△ABF

和

△DEF

中∠B＝∠FEDBF＝EF∠AFB＝∠EFD∴△ABF≌△DEF∴AF=DF∵(ASA)(已知)(兩直線平行，內錯角相等)(對頂角相等)(已證)(已知)（全等三角形的對應邊相等）

4、如圖，在

△ABC

和

△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2.

求證：BC=DE．證明：∵

∠1=∠2∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC即

∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE∴BC=DE∵(ASA)(已知)(等式性質)(已證)(已知)(已知)（全等三角形的對應邊相等）

5、如圖，在△ADE中，∠CAE=∠BAD，AC=AE．(1)若添加條件：

，可用“SAS”推得△ABC≌△ADE；(2)若添加條件：

，可用“ASA”推得△ABC≌△ADE．AB=AD∠C=∠E歸納總結6、

如圖，點E，F在AC上，AB∥CD，DE∥BF，AE＝CF.

求證：△ABF≌△CDE.證明：∵AB∥CD，DE∥BF(已知)∴∠A＝∠C，∠AFB＝∠CED.(兩直線平行，內錯角相等)∵AE＝CF∴AE＋EF＝CF＋EF即

AF＝CE(已知)(等式的性質)在△ABF和△CDE中∴

△ABF≌△CDE∵(已證）(已證）(已證）∠AFB=∠CEDAF＝CE∠A＝∠C（ASA）

7、如圖，在△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，DF∥AC.若AE＝20cm，求DF的長．解：∵D是AB的中點∴AD＝BD∵

DE∥BC，∴

∠ADE＝∠B，

DF∥AC

∠A＝∠BDF在△ADE和△DBF中∵(已證)(已證)

(已證)