6/63.5三元一次方程組及其解法教學(xué)目標(biāo)1．會(huì)解簡單的三元一次方程組．2．進(jìn)一步熟悉解方程組時(shí)“消元”的基本思想和靈活運(yùn)用代入法、加減法等重要方法．教學(xué)重難點(diǎn)1．掌握三元一次方程組的解法．2．針對(duì)方程組的特點(diǎn)，選擇最好的解法．教學(xué)過程導(dǎo)入新課(1)解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？(2)解二元一次方程組的基本思想是什么？(3)甲、乙、丙三數(shù)的和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個(gè)數(shù)．教師：題目中有幾個(gè)未知數(shù)？含有幾個(gè)相等關(guān)系？你能根據(jù)題意列出幾個(gè)方程？學(xué)生活動(dòng)：回答問題、設(shè)未知數(shù)、列方程．這個(gè)問題必須三個(gè)條件都滿足，因此，我們把三個(gè)方程合在一起，寫成下面的形式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝26，①,x－y＝1，②,2x＋z－y＝18.③))這個(gè)方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組，就是我們要學(xué)習(xí)的三元一次方程組(板書課題)．推進(jìn)新課問題1：教師：怎樣解這個(gè)三元一次方程組呢？你能不能設(shè)法消去一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程？學(xué)生活動(dòng)：思考、討論后說出消元方案．教師對(duì)學(xué)生的回答給予肯定或否定，糾正后說出消元方案：依照代入法，由較簡單的方程②，可得x＝y(tǒng)＋1④，進(jìn)一步將④分別代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程組．解：由②，得x＝y(tǒng)＋1.④把④代入①，得2y＋z＝25.⑤把④代入③，得y＋z＝16.⑥⑤與⑥組成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＋z＝25，,y＋z＝16.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝9，,z＝7.))把y＝9代入④，得x＝9＋1，x＝10.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝9，,z＝7.))注意：a.得二元一次方程組后，解二元一次方程組的過程在練習(xí)本上完成．b．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最簡單的方程④.c．檢驗(yàn)．這道題也可以用加減法解，②中不含z，那么可以考慮將①與③結(jié)合消去z，與②組成二元一次方程組．學(xué)生活動(dòng)：在練習(xí)本上用加減法解方程組．問題2：例題分析【例題】解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，①,2x＋3y＋z＝9，②,5x－9y＋7z＝8.③))學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立分析、思考，嘗試解題，有的學(xué)生可能用代入法解，有的學(xué)生可能用加減法解，選一個(gè)用加減法解的學(xué)生板演，然后，讓用代入法的學(xué)生比較哪種方法簡單．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④①與④組成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，,11x＋10z＝35.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,z＝－2.))把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝eq\f(1,3).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝\f(1,3)，,z＝－2.))即時(shí)歸納：這個(gè)方程組的特點(diǎn)是方程①不含y，而②，③中y的系數(shù)的絕對(duì)值成整數(shù)倍關(guān)系，顯然用加減法從②，③中消去y后，再與①組成只含x，z的二元一次方程組的解法最為合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③較繁瑣．問題3：鞏固訓(xùn)練1．解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－z＝4，①,z－2y＝－1，②,x＋y－z＝－1.③))2．課本練習(xí)．本課小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們學(xué)會(huì)了什么？還有什么困惑？1．解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？2．解題前要認(rèn)真觀察各方程的系數(shù)特點(diǎn)，選擇最好的解法，當(dāng)方程組中某個(gè)方程只含二元時(shí)，一般地，這個(gè)方程中缺哪個(gè)元，就利用另兩個(gè)方程用加減法消哪個(gè)元；如果這個(gè)二元方程系數(shù)較簡單，也可以用代入法求解．3．注意檢驗(yàn)．一次方程組的古今表示及解法我國古代很早就開始對(duì)一次方程組進(jìn)行研究，其中不少成果被收入古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中．《九章算術(shù)》的“方程”章，有許多關(guān)于一次方程組的內(nèi)容．這一章的第一個(gè)問題譯成現(xiàn)代漢語是這樣的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗；求上、中、下三等谷每束各是幾斗？注：斗是過去的容積計(jì)量單位．下面的算籌圖代表了古代解決這個(gè)問題的方法，它是什么意思呢？《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的．為看圖方便，上圖改為橫排，使三個(gè)橫行表示三句話的含義．不妨先用我們熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)來表述怎樣解這個(gè)有3個(gè)未知數(shù)的問題．設(shè)上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗．根據(jù)題意，得三元一次方程組通過消元，可以求出各未知數(shù)．上圖實(shí)際上就是用算籌列出的方程組(*)，它省略了各未知數(shù)，只用算籌表示出未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)．我國古代解方程組時(shí)，也用算籌做計(jì)算工具，具體解法是：從一個(gè)方程累減(或累加)另一個(gè)方程．例如，解方程組(*)，將①－②可以消去z，將③累減②三次也可以消去z，從而得到二元一次方程組這里將③連續(xù)三次減去②，與③－②×3的結(jié)果一樣．用現(xiàn)代高等代數(shù)的符號(hào)可以將方程組(*)的系數(shù)排成一個(gè)表這