9.2.4總體離散程度的估計第九章統計一二三學習目標知道極差

方差

標準差可以刻畫數據的離散程度，反應數據的穩定性會算方差和標準差能用平均值

中位數

眾數和極差、方差、標準差對數據進行比較和評價學習目標復習回顧

總體集中趨勢的估計

眾數：最高矩形的中點中位數：中位數左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等

平均數：每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和

平均數、中位數和眾數為我們提供了一組數據的集中趨勢的信息，這是概括一組數據的特征的有效方法，但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策，下面的問題就是一個例子.這節課學習數據的另一大重要特征:離散程度新課導入

平均數、中位數和眾數為我們提供了一組數據的集中趨勢的信息，這是概括一組數據的特征的有效方法，但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策.?離散程度簡單理解就是數據聚在一塊還是分散開!聚在一塊分散開新知探究問題1有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙：9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練，你應當如何對這次射擊作出評價？追問1

甲、乙兩人本次射擊成績的平均數、中位數、眾數分別為多少環？追問2觀察下圖中兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在哪里嗎？甲成績比較分散乙成績相對集中都是7環數頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環數頻率0.40.30.20.145678910O（乙）新知探究問題2

上述問題中，甲、乙的平均數、中位數、眾數相同，但二者的射擊成績存在差異，那么，如何度量這種差異呢？我們可以利用極差進行度量。根據上述數據計算得：甲的極差=10-4=6乙的極差=9-5=4極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度。由極差發現甲的成績波動范圍比乙的大。但由于極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少。也就是說，極差度量出的差異誤差較大。追問：你還能想出其他刻畫數據離散程度的辦法嗎?

我們知道，如果射擊的成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；

相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠.

因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.新知探究新知探究問題3如何定義“平均距離”？概念生成我們稱(1)式為這組數據的方差

.有時為了計算方便，我們還把方差寫成以下形式由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開方，取它的算數平方根，即我們稱(2)式為這組數據的標準差.思考

標準差的取值范圍是什么？標準差為0的一組數據有什么特點？標準差的取值范圍是[0,+∞)，標準差為0的樣本所有數據都相等.總體方差、總體標準差

如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標準差

．

如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為樣本方差、樣本標準差的定義

如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標準差

．概念生成特征：標準差和方差刻畫了數據的____

__程度或波動幅度．標準差（或方差）越大，數據的離散程度越____，越不穩定；

標準差（或方差）越小，數據的離散程度越____，越穩定．在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用

.離散大小標準差問題4

標準差和方差是怎樣刻畫數據的離散程度的？新知探究新知探究問題1有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙：9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練，你應當如何對這次射擊作出評價？追問

甲、乙兩人射擊誰比較穩定？

甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小.

由此可以估計，乙比甲的射擊成績穩定.

如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置.如果兩人都排在前面，就選成績穩定的乙選手，否則可以選甲.典例解析例1.不經過計算，你能給下列各組數的方差排序嗎?(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；

(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；

(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；

(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.解：例2

已知一組數據為:x1，x2，…，xn，平均數記為x，方差記為sx2,計算下列各組數據的平均數，方差。典例解析例2

已知一組數據為:x1，x2，…，xn，平均數記為x，方差記為sx2,標準差為s，計算下列各組數據的平均數，方差。典例解析例2

已知一組數據為:x1，x2，…，xn，平均數記為x，方差記為sx2,標準差為s，計算下列各組數據的平均數，方差。典例解析鞏固練習(1)若x1,x2,…,xn,的方差為4,那么x1+3,x2+3,…,xn+3,的方差為_____(2)若x1,x2,…,xn,的方差為2,那么這組數據均乘以4后的方差為____(3)若k1,k2,…,k8的方差為3，則2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的方差為________課堂小結本節課你學會了哪些主要內容？1.用定義計算樣本方差和樣本標準差2.平均數、方差的性質(1)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小.標準差、方差越大，數據的離散程度越大;標準差、方差越小,數據的離散程度越小;(2)標準差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標準差、方差為0時，樣本各數據全相等，表明