XII信號處理領域的小波變換分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u11549信號處理領域的小波變換分析綜述 -1-260761.1分辨率問題 -1-260291.2小波母函數 -4-48631.3連續小波變換 -5-173841.4離散小波變換 -6-1.1分辨率問題關于分辨率可分為時域分辨率和頻域分辨率，這兩個分辨率關系到一個定理，名為海森堡測不準原理，不確定性原理由海森堡在1927年的論文中首次提出。首先海森堡測不準定理是指：（3-9）為信號的時間不確定度，為信號的頻率不確定度，總的來說就是我們無法同時確定一個信號的確切時間和確切頻率。頻率其實就是時域周期性。如果我只給你一個數據點，問你這個數據點的頻率是多少，這肯定是做不到的。要確定頻率，就需要一個時域區間（包含幾個時域周期）的信號。時域區間越寬，信號的時間定位越不準，時間不確定度越大，得到的頻率越準，頻率不確定度越小，稱這種情況為：低的時域分辨率，高的頻域分辨率；時域區間越窄，信號的時間定位越準，時間不確定度越小，但是得到的頻率越不準，頻率不確定度越大，就稱為高的時域分辨率，低的頻域分辨率。對于低頻信號，為了更好地確定頻率，我們希望，時域區間寬一些，即時間不確定度

大一些，根據海森堡測不準原理，頻率不確定度自然小一些；即低頻信號，我們希望寬窗子，低的時域分辨率，高的頻域分辨率；對于高頻信號，為了更好地在時域定位，我們希望，時域區間窄一些，即時間不確定度

小一些，根據海森堡測不準原理，頻率不確定度自然大一些；即高頻信號，我們希望窄窗子，高的時域分辨率，低的頻域分辨率。 圖3-16這是一張采集信號的分辨率圖，每個小矩形在時間軸的寬度很小，說明時間分辨率很好，可以確定每個采樣點的時間，再看每個小矩形在頻率軸的寬度非常大，說明頻率分辨率很差。 圖3-17這是一張傅里葉變換的分辨率圖，可以看到頻率軸方向的寬度很短，在時間軸方向的寬度很大，說明有良好的頻域分辨率，很差的時域分辨率，所以就正如之前在傅里葉變換時提到的缺點，傅里葉變換會導致信號在時域的信息完全丟失。圖3-18上圖是我們所想要的動態分辨率，每個小矩形的面積是相等的，這樣保證了時域分辨率乘頻域分辨率是定值，可以最大程度地滿足海森堡測不準原理。通過這個圖可以看出來，我們希望對于低頻信號有低的時域分辨率，高的頻率分辨率，對于高頻信號則需要高的時域分辨率，低的頻域分辨率。對于整體低頻，局部高頻的信號來說，這種動態調整分辨率規則很有用，在實際信號中，頻率非常高的高頻信號往往是一種噪聲。圖3-19上圖為短時傅里葉變換的分辨率圖，可以從圖中看出所有的矩形都是一樣的大小，也就是說無論高頻低頻，分辨率都是不可調的，這與之前所期望的動態分辨率不符，所以對于短時傅里葉變換來說，當對一個信號展開時頻分析時，當窗子的寬度選擇合適時，是可以得到時域分辨率和頻域分辨率都還不錯的情況的，但是在作分析之前我們無法知道窗子是否合適。短時傅里葉的缺點就就是無法隨著動態調整。1.2小波母函數為了解決動態分辨率的問題，引入了小波母函數，小波母函數不是一個特定的函數，是一種函數的集合，滿足了一定條件的函數均可以作為小波母函數。小波母函數需要滿足的有幾個條件：條件一，緊支撐性：，即僅在一小部分定義域里不為0，剩下部分均為0。條件二，波動性：即在定義域內積分為0，可以證明母函數是一個波。條件三，容許條件：，這個條件便使變換可逆。條件四，正交性：這也是為了使變換可逆。圖3-20上圖是一個小波母函數的例圖，可以從圖中直觀地看到小波母函數是滿足前兩個條件的。小波母函數既然是一個波，說明也是具有頻率的，將小波母函數與采集到的信號相乘并且積分可以篩選出信號在小波母函數在非0部分相近的頻率成分。不同于傅里葉變換的是，小波變換的基函數并不是具有一個特定的頻率，而是有一個頻率范圍，去篩選一個范圍內的頻率成分，類似于一個帶通濾波器。小波變換的公式：（3-10）從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率，小波變換有兩個變量：尺度和平移量。尺度控制小波函數的伸縮，平移量控制小波函數的平移。尺度就對應于頻率（反比），平移量

τ就對應于時間。下圖是我們對圖3-20進行一個放縮。圖3-21可以通過對小波函數進行放縮來解釋它為什么擁有動態分辨率，如上圖，中間的圖，受到了擠壓，尺度較小，頻率就相應提高，右側的圖被拉伸，尺度較大，頻率相應減小，這不正是所需要的“低頻，寬窗，差的時間分辨率，好的頻域分辨率；高頻，窄窗，好的時間分辨率，差的頻域分辨率”。有很多種類小波母函數，比如Haar小波，db系列小波，sym系列小波，coif系列小波等等，如何使用這些小波要看具體情況，各有不同。1.3連續小波變換連續小波變換公式為：（3-11）接下來我們對一個信號進行連續小波變換來解釋這個公式，下圖藍色部分為小波函數，黃色部分為信號。

圖3-22如上圖，選擇較小的對小波母函數進行縮放，此時小波函數頻率較高，窗子較窄，用來篩選高頻部分，小波函數在時間軸上平移，每一次平移就相乘再積分，在該母函數下，時間分辨率較好，頻率分辨率較差。圖3-23如上圖，將增大，此時小波函數頻率降低，窗子變寬，用來篩選中頻部分。小波函數在時間軸上平移，每一次平移就相乘再積分，時間分辨率變差，頻率分辨率變好。圖3-24如上圖，將進一步增大，此時小波函數頻率進一步降低，窗子更寬，用來篩選低頻部分，此時窗子很寬，時間分辨率很差，頻率分辨率很好。這樣就可以很好的解釋連續小波變換是如何完成我們所需要的動態分辨率，通過改變小波母函數的尺度來改變窗子大小。1.4離散小波變換盡管已經能夠在電腦上計算離散形式的連續小波變換，但它還不是真正意義上的離散變換。因為小波級數只是連續小波變換的采樣版，就信號重構而言，由它提供的信息是高度冗余的，而這種冗余性又需要大量的計算資源。離散小波變換對于信號的分析和重構來說可以提供充足的信息，并且計算時間極大地減少了。與連續小波變換相比，離散小波變換要更容易實現。離散小波變換稱為DWT，DWT有很多種實現方式，這里講的主要是Mallat算法來實現對小波的離散變換，之前在連續小波變換時我們是通過控制窗長，也就是控制時間分辨率來達到動態分辨率。小波母函數本質上是一個帶通濾波器，可以通過小波母函數構造一個高通濾波器和一個低通濾波器。比如一個信號中最高頻率為，高通濾波器就是篩選出（）的部分，低通濾波器就是篩選出（）的部分，如下圖：圖3-25這個過程可以稱為一次半子帶濾波。這里還要提出一個下采樣的概念，N倍下采樣的過程就是將采樣點進行N倍稀釋，下圖是一個2倍下采樣的例子：圖3-26離散小波分解的過程可以簡單描述為一層一層地進行小波分解，一層小波分解就是進行一次半子帶濾波和一次2倍下采樣。假設有原采樣信號N個點，信號最高頻率為，經過一次高通濾波后，得到了的部分，再經過一次2倍下采樣就變成了個點，我們將這個點稱為小波分解的高頻系數。經過一次低通濾波后，我們得到的是部分，同樣經過一次下采樣會得到小波分解的低頻系數，也就是說經過一次小波分解后，總長度還是N。當經過第一次小波分解后，我們可以得到的第一層小波分解的高頻系數和的第一層小波分解的低頻系數。第二層小波分解就是保持第一層小波分解高頻系數不變，把，個點的低頻系數當做信號，再進行一次小波分解，就可以得到個點的第二層高頻系數和個點的第二層低頻小波分解系數。當經過第二層小波分解，所有的加起來還是N個點，長度還是不變的。依次類推，當在不斷地小波分解下，直到層小波分解時，低頻系數和高頻系數都只剩下一個點了，下圖可以很清楚地演示出小波分解的過程。圖3-27是指采樣信號的