高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市長寧區2024-2025學年高一上學期期末考試數學試題一、填空題.1.用或填空：0______.【答案】【解析】由于空集不含任何元素，∴．2.指數冪值為________．【答案】【解析】由.3.已知全集，集合，集合，則________．【答案】【解析】由題設.4.設是實數，若是的一個充分條件，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為是的一個充分條件，則，所以，則的取值范圍是.5.關于與的二元一次方程組的解集為________．【答案】【解析】由消去可得：，可得：，，所以解集為.6.已知，，則________.【答案】【解析】由題設，，根據換底公式，則.7.函數的圖象不經過第一象限，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】畫出的圖像（紅線），同時向下平移一個單位得到（黑線），結合圖象可知：.8.偶函數在區間上的最大值為，則實數________．【答案】【解析】因為是偶函數，則，則，又在區間上的最大值為，且當時，，所以，解得.9.若對任意，都有，則實數的最大值為________.【答案】【解析】根據絕對值不等式.對于，這里，，則.當且僅當時等號成立，所以的最小值是.因為對任意，都有恒成立.這就意味著要不大于的最小值.而最小值是，所以，那么實數的最大值就是.10.設，若關于的方程在區間上有兩個不同的解，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】先分析函數在區間上的圖象，已知，方程在區間上有兩個不同的解，意味著直線與函數在區間上的圖象有兩個不同的交點.由上述分析可知，當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個不同的交點.實數的取值范圍為.11.已知函數是上的嚴格減函數，且在上的函數值不恒為負，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】，所以的圖象可由向左平移個單位，再向上或向下平移個單位得到，又是上的嚴格減函數，且在上的函數值不恒為負，所以，解得.12.已知函數在上是增函數，，，且對任意，均有，則________．【答案】【解析】因為，那么.已知函數是上的增函數，且，.因為，令，可得.令，則，所以.由于函數在上單調遞增，且，所以當時，.又因為，所以.將代入，可得.二、單選題.13.下列函數中與是同一個函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域為，對于A：易知，定義域為，錯；對于B:，定義域為，對；對于C：，定義域為，錯；對于D：，錯.故選：B.14.如圖是4個冪函數在第一象限內的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知圖象可知當時，，當時，，而函數在底數時為的單調增函數，在底數滿足時為的單調減函數，.故選：A15.大氣壓強（單位：）與海拔（單位：）之間關系可以由近似描述，其中為標準大氣壓強，為常數．已知海拔為、兩地的大氣壓強分別為、，若測得某地的大氣壓強為，則該地海拔為（）．A.2415 B.2053 C.2871 D.3025【答案】C【解析】由題意可得，兩式相除得，兩邊取對得，所以，則，可得，由，則，可得，兩邊取對得，則m.故選：C.16.定義在上的單調函數滿足：，則方程的解所在區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設定值，且，所以，則，易知，故，由，則，顯然在第一象限有一個交點，又在上分別單調遞增，單調遞減，由，，，故方程解在上.故選：C.三、解答題.17.設集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．解：（1）已知集合，當時，，即.等價于，所以集合.對于集合，這是一個分式不等式.分式不等式等價于.解不等式，可得，所以集合.由前面求出的，，所以.（2）由集合，解不等式可得，即，所以集合.因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集.則有（等號不同時成立）.解第一個不等式，得；解第二個不等式，得.綜上，實數的取值范圍是.18.已知．（1）若不等式的解集為，求實數的取值范圍．（2）設、是方程的兩個根，若，求實數的值.解：（1）由題意，在R上恒成立，則，所以，可得，所以實數的取值范圍為.（2）由題設，、是方程的兩個根，則，，，由，即，所以，可得或.經驗證，或均滿足，所以或.19.已知是定義域為的奇函數，且在上是嚴格增函數．（1）求的值，并證明：是上的嚴格增函數；（2）判斷函數是否一定是上的嚴格增函數．如果是，給與證明：如果不是，舉出反例，并說明理由．解：（1）由是定義域為的奇函數，則，任取，則，又在上是嚴格增函數，由，即，所以是上的嚴格增函數，得證.（2）函數不一定是上的嚴格增函數，理由如下：對于，由在、上都單調遞增，且，函數滿足題設，但在上，在上，顯然不滿足是上的嚴格增函數，所以函數不一定是上的嚴格增函數.20.已知某線路運行的地鐵發車時間間隔（單位：分鐘）滿足：．經測算，該地鐵每班平均載客人次（單位：人次）與發車時間間隔滿足：．（1）計算的值，并說明其的實際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（單位：元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求最大凈收益．解：（1）由函數的解析式可得：，其實際意義是：當地鐵的發車時間隔為10分鐘時，地鐵載客量為1200，這也是地鐵的最大載客量.（2）①當時，，當且僅當，即時，等號成立，②當時，.當且僅當時等號成立，故當發車時間間隔為6分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的凈收益最大為120元．21.已知．（1）當時，求函數的定義域；（2）若，且關于的方程有唯一解，求實數的值；（3）設，若當時，函數在區間上的最大值與最小值的差均不超過，求實數的取值范圍．解：（1）由題設，則且，即，所以函數的定義域為.（2）由，則有唯一解，所以，而在定義域上單調遞增，則有唯一解，而，所以，即，此時，又且，則，顯然、時滿足，所以.（3）當，，在上的最大值與最小值的差都不超過，由在上單調遞減，在定義域上單調遞增，所以在上單調遞減，則，所以，則在上恒成立，由，顯然時，，若，，則，而在上單調遞減，故在上單調遞增，所以，故參數范圍為.上海市長寧區2024-2025學年高一上學期期末考試數學試題一、填空題.1.用或填空：0______.【答案】【解析】由于空集不含任何元素，∴．2.指數冪值為________．【答案】【解析】由.3.已知全集，集合，集合，則________．【答案】【解析】由題設.4.設是實數，若是的一個充分條件，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為是的一個充分條件，則，所以，則的取值范圍是.5.關于與的二元一次方程組的解集為________．【答案】【解析】由消去可得：，可得：，，所以解集為.6.已知，，則________.【答案】【解析】由題設，，根據換底公式，則.7.函數的圖象不經過第一象限，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】畫出的圖像（紅線），同時向下平移一個單位得到（黑線），結合圖象可知：.8.偶函數在區間上的最大值為，則實數________．【答案】【解析】因為是偶函數，則，則，又在區間上的最大值為，且當時，，所以，解得.9.若對任意，都有，則實數的最大值為________.【答案】【解析】根據絕對值不等式.對于，這里，，則.當且僅當時等號成立，所以的最小值是.因為對任意，都有恒成立.這就意味著要不大于的最小值.而最小值是，所以，那么實數的最大值就是.10.設，若關于的方程在區間上有兩個不同的解，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】先分析函數在區間上的圖象，已知，方程在區間上有兩個不同的解，意味著直線與函數在區間上的圖象有兩個不同的交點.由上述分析可知，當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個不同的交點.實數的取值范圍為.11.已知函數是上的嚴格減函數，且在上的函數值不恒為負，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】，所以的圖象可由向左平移個單位，再向上或向下平移個單位得到，又是上的嚴格減函數，且在上的函數值不恒為負，所以，解得.12.已知函數在上是增函數，，，且對任意，均有，則________．【答案】【解析】因為，那么.已知函數是上的增函數，且，.因為，令，可得.令，則，所以.由于函數在上單調遞增，且，所以當時，.又因為，所以.將代入，可得.二、單選題.13.下列函數中與是同一個函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域為，對于A：易知，定義域為，錯；對于B:，定義域為，對；對于C：，定義域為，錯；對于D：，錯.故選：B.14.如圖是4個冪函數在第一象限內的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知圖象可知當時，，當時，，而函數在底數時為的單調增函數，在底數滿足時為的單調減函數，.故選：A15.大氣壓強（單位：）與海拔（單位：）之間關系可以由近似描述，其中為標準大氣壓強，為常數．已知海拔為、兩地的大氣壓強分別為、，若測得某地的大氣壓強為，則該地海拔為（）．A.2415 B.2053 C.2871 D.3025【答案】C【解析】由題意可得，兩式相除得，兩邊取對得，所以，則，可得，由，則，可得，兩邊取對得，則m.故選：C.16.定義在上的單調函數滿足：，則方程的解所在區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設定值，且，所以，則，易知，故，由，則，顯然在第一象限有一個交點，又在上分別單調遞增，單調遞減，由，，，故方程解在上.故選：C.三、解答題.17.設集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．解：（1）已知集合，當時，，即.等價于，所以集合.對于集合，這是一個分式不等式.分式不等式等價于.解不等式，可得，所以集合.由前面求出的，，所以.（2）由集合，解不等式可得，即，所以集合.因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集.則有（等號不同時成立）.解第一個不等式，得；解第二個不等式，得.綜上，實數的取值范圍是.18.已知．（1）若不等式的解集為，求實數的取值范圍．（2）設、是方程的兩個根，若，求實數的值.解：（1）由題意，在R上恒成立，則，所以，可得，所以實數的取值范圍為.（2）由題設，、是方程的兩個根，則，，，由，即，所以，可得或.經驗證，或均滿足，所以或.19.已知是定義域為的奇函數，且在上是嚴格增函數．（1）求的值，并證明：是上的嚴格增函數；（2）判斷函數是否一定是上的嚴格增函數．如果是，給與證明：如果不是，舉出反例，并說明理由．解：（1）由是定義域為的奇函數，則，任取，則，又在上是嚴格增函數，由，即，所以是上的嚴格增函數，得證.（2）函數不一定是上的嚴格增函數，理由如下：對于，由在、上都單調遞增，且，函數滿足題設，但在上，在上，顯然不滿足是上的嚴格增函數，所以函數不一定是上的嚴格增函數.20.已知某線路運行的地鐵發車時間間隔（單位：分鐘）滿足：．經測算，該地鐵每班平均載客人次（單位：人次）與發車時間間隔滿足：．（1）計算的值，并說明其的實際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（單位：元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求最大凈收益．解：（1）由函數的解析式可得：，其實際意義是：當地鐵的發車時間隔為10分鐘時，地鐵載客量為1200，這也是地鐵的最大載客量.（2）①當時，，當且僅當，即時，等號成立，②當時，.當且僅當時等號成立，故當發車時間間隔為6分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的凈收益最大為120元．21.已知．