高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市金山區2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、填空題.1.已知集合，，則.【答案】【解析】由題意可得.2.函數的定義域為．【答案】【解析】由有意義，則，即，故定義域為.3.函數的嚴格增區間為，則實數.【答案】2【解析】函數的嚴格增區間為，對稱軸.4.用反證法證明命題“設，已知是偶數，則n是偶數”時，應假設.【答案】已知是偶數，則n是奇數【解析】命題“設，已知是偶數，則n是偶數”，可得題設為，“（a，）為偶數，反設的內容是：假設已知是偶數，則n是奇數.5.將化為有理數指數冪的形式為.【答案】【解析】由題意.6.已知點在某一個冪函數的圖像上.求冪函數的表達式為.【答案】【解析】點在冪函數的圖像上，，解得，的表達式為.7.若一元二次方程兩實數根為，則.【答案】【解析】因為一元二次方程兩實數根為，所以，，所以.8.設，，用a，b表示的結果為.【答案】【解析】.9.若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，則函數在上的最大值為.【答案】【解析】由題意知，當時，當時取到最小值，則由奇偶性可知函數在上的最大值為.10.已知等式恒成立，則.【答案】1【解析】因為恒成立，所以恒成立，所以，解得，，，所以.11.甲、乙兩人同時解關于的方程：.甲寫錯了常數，得兩根為及；乙寫錯了常數，得兩根及，則這個方程的真正的根為.【答案】或【解析】原方程可變形為：甲寫錯了，得到根為及，；又乙寫錯了常數，得到根為及，；原方程為，即，或，或.12.集合A中的元素都是正整數，元素最小值為1，最大值為100，除1之外每個元素都等于A中的兩個數（可以相同）的和.求集合A中元素至少有個元素.【答案】9【解析】設A中的數從小到大排列為，則；；；；，于是A至少有8個數；假設A恰好有8個元素，由于；故必須有，，又，同理，但此時，，矛盾，故A不可能恰好有8個元素，因此A至少有9個元素.其9個數可以為：1，2，3，6，12，13，25，50，100.二、單選題.13.下列四組函數中，同組的兩個函數是相同函數的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】A.的定義域為，的定義域為，定義域不同，所以不是同一函數，故A錯誤；B.的定義域為，的定義域為，所以不是同一函數，故B錯誤；C.的定義域為，的定義域為，故C錯誤；D.兩個函數的定義域都是，，函數的解析式也相同，所以是同一函數，故D正確.故選：D.14.已知、都是自然數，則“是偶數”是“、都是偶數”的（

）條件.A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因為、都是自然數，若是偶數，則、都是偶數或、都是奇數，所以，“是偶數”“、都是偶數”，“是偶數”“、都是偶數”，故“是偶數”是“、都是偶數”的必要而不充分條件.故選：B.15.當時，關于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】時，，不等式可化為，因為，且，所以，，解原不等式，得，所以原不等式的解集為.故選：C.16.對于函數，若存在，使，則稱點與點是函數的一對“隱對稱點”.若函數的圖象存在“隱對稱點”，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由隱對稱點的定義可知函數的圖象上存在關于原點對稱的點，設的圖象與函數的圖象關于原點對稱，令，則，所以，所以，因為，又，所以函數的圖象存在“隱對稱點”等價于與在上有交點，即方程有零點，則，又，當且僅當，即等號成立，所以.故選：.三、解答題.17.設全集為，集合，.（1）求集合、；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由得，解得，則，由可得，等價于，解得，則.（2）因為，則，解得，因此，實數的取值范圍是.18.（1）已知a，b是實數.求證：，并指出等號成立的條件；（2）已知a，b是實數，若，求ab的最大值，并指出此時a，b的值.解：（1）因為，所以，當且僅當，時，不等式中等號成立.（2），所以的最大值為.當且僅當，即時，不等式中等號成立.19.甲同學認為：一艘船在靜水中和有流速的河中往返航行同樣的距離，平均速度是一樣的.他的理由是：當河水有流速時，船逆流上行雖然速度要減慢，但回來時順流而下的速度要加快，二者相互補償，航行速度就應和靜水中往返一次所需的時間一樣，所以兩者平均速度一樣.為了探究此問題，乙同學提出如下模型假設：①假設船在航行過程中，船在靜水中航行的速度和河水的速度不發生改變，且船在靜水中航行的速度大于河水的速度；②假設船在水中的航行速度只受船在靜水中航行的速度和河水的速度影響；③假設河是筆直的，且船往返航行的路徑相同.（1）乙同學提出的模型假設是否合理，請任選兩個模型假設說明理由；（2）請引入你認為所需要的適當變量，建立船在靜水中和有流速的河中往返航行同樣的距離的平均速度的數學模型，并說明甲同學的觀點是否正確.解：（1）乙同學提出的模型假設①，②，③是合理的.模型假設①符合實際情況，船在靜水中的速度和河水的速度通常相對穩定.模型假設②符合物理學原理，船在水中的航行速度受船在靜水中的速度和河水的速度影響.模型假設③符合實際情況.（2）設船在靜水中的速度為，河水的速度為，往返距離為s.在靜水中，平均速度為，在有流速的河中，逆流速度為，順流速度為，平均速度為.由于，因此，即船中有流速的河中往返航行的平均速度小于在靜水中往返航行的平均速度.所以甲同學的觀點是錯誤的.20.已知，函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，當時，，求函數的最小值；（3）當且時，關于x的方程的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍.解：（1）依題意，由，得，則，，解得，所以不等式的解集為.（2）由題意知，由，得，所以函數在區間上單調遞增，所以，則，所以函數的最小值為.（3）由，得①，化簡得②，當且時，方程②的解為，，若是方程①的解，則，解得；若是方程①的解，則，解得；由題意，方程①的解集中恰好有一個元素，所以.因此，a的取值范圍為.21.已知集合，，若存在：，使得成立，則稱函數在區間D上具有性質.（1）判斷函數在區間上是否具有性質，并說明理由；（2）若函數在區間上具有性質，求實數a的取值范圍；（3）若存在唯一的實數m，使得函數在上具有性質，求t的值.解：（1）因為函數是增函數，所以值域，當時，函數在區間上單調遞減，所以值域，因為不是的子集，所以函數在區間上不具有性質.（2）①當時，函數，此時函數在區間上單調遞減，所以值域為，又，函數在上單調遞減，所以值域為，此時，，，不符合，故舍去；②當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以值域為，又函數在上的值域為，此時，，，不符合，故舍去；③當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以值域為，又函數在上的值域為，此時，，，因為，所以，解得，因此，a的取值范圍為.（3）由題意得，的值域為，即，的對稱軸，且開口向下，①當時，在上單調遞減，又，，則值域為，由，得，解得，不滿足，故舍去；②當時，在上單調遞增，又，，則值域為，由，得，解得，不滿足，故舍去；③當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為，又，，（i）當，即時，的值域，由，得，解得，，符合題意；（ii）當，即時，的值域，由，得，解得，所以符合題意，綜上所述，t的取值為，.上海市金山區2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、填空題.1.已知集合，，則.【答案】【解析】由題意可得.2.函數的定義域為．【答案】【解析】由有意義，則，即，故定義域為.3.函數的嚴格增區間為，則實數.【答案】2【解析】函數的嚴格增區間為，對稱軸.4.用反證法證明命題“設，已知是偶數，則n是偶數”時，應假設.【答案】已知是偶數，則n是奇數【解析】命題“設，已知是偶數，則n是偶數”，可得題設為，“（a，）為偶數，反設的內容是：假設已知是偶數，則n是奇數.5.將化為有理數指數冪的形式為.【答案】【解析】由題意.6.已知點在某一個冪函數的圖像上.求冪函數的表達式為.【答案】【解析】點在冪函數的圖像上，，解得，的表達式為.7.若一元二次方程兩實數根為，則.【答案】【解析】因為一元二次方程兩實數根為，所以，，所以.8.設，，用a，b表示的結果為.【答案】【解析】.9.若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，則函數在上的最大值為.【答案】【解析】由題意知，當時，當時取到最小值，則由奇偶性可知函數在上的最大值為.10.已知等式恒成立，則.【答案】1【解析】因為恒成立，所以恒成立，所以，解得，，，所以.11.甲、乙兩人同時解關于的方程：.甲寫錯了常數，得兩根為及；乙寫錯了常數，得兩根及，則這個方程的真正的根為.【答案】或【解析】原方程可變形為：甲寫錯了，得到根為及，；又乙寫錯了常數，得到根為及，；原方程為，即，或，或.12.集合A中的元素都是正整數，元素最小值為1，最大值為100，除1之外每個元素都等于A中的兩個數（可以相同）的和.求集合A中元素至少有個元素.【答案】9【解析】設A中的數從小到大排列為，則；；；；，于是A至少有8個數；假設A恰好有8個元素，由于；故必須有，，又，同理，但此時，，矛盾，故A不可能恰好有8個元素，因此A至少有9個元素.其9個數可以為：1，2，3，6，12，13，25，50，100.二、單選題.13.下列四組函數中，同組的兩個函數是相同函數的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】A.的定義域為，的定義域為，定義域不同，所以不是同一函數，故A錯誤；B.的定義域為，的定義域為，所以不是同一函數，故B錯誤；C.的定義域為，的定義域為，故C錯誤；D.兩個函數的定義域都是，，函數的解析式也相同，所以是同一函數，故D正確.故選：D.14.已知、都是自然數，則“是偶數”是“、都是偶數”的（

）條件.A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因為、都是自然數，若是偶數，則、都是偶數或、都是奇數，所以，“是偶數”“、都是偶數”，“是偶數”“、都是偶數”，故“是偶數”是“、都是偶數”的必要而不充分條件.故選：B.15.當時，關于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】時，，不等式可化為，因為，且，所以，，解原不等式，得，所以原不等式的解集為.故選：C.16.對于函數，若存在，使，則稱點與點是函數的一對“隱對稱點”.若函數的圖象存在“隱對稱點”，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由隱對稱點的定義可知函數的圖象上存在關于原點對稱的點，設的圖象與函數的圖象關于原點對稱，令，則，所以，所以，因為，又，所以函數的圖象存在“隱對稱點”等價于與在上有交點，即方程有零點，則，又，當且僅當，即等號成立，所以.故選：.三、解答題.17.設全集為，集合，.（1）求集合、；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由得，解得，則，由可得，等價于，解得，則.（2）因為，則，解得，因此，實數的取值范圍是.18.（1）已知a，b是實數.求證：，并指出等號成立的條件；（2）已知a，b是實數，若，求ab的最大值，并指出此時a，b的值.解：（1）因為，所以，當且僅當，時，不等式中等號成立.（2），所以的最大值為.當且僅當，即時，不等式中等號成立.19.甲同學認為：一艘船在靜水中和有流速的河中往返航行同樣的距離，平均速度是一樣的.他的理由是：當河水有流速時，船逆流上行雖然速度要減慢，但回來時順流而下的速度要加快，二者相互補償，航行速度就應和靜水中往返一次所需的時間一樣，所以兩者平均速度一樣.為了探究此問題，乙同學提出如下模型假設：①假設船在航行過程中，船在靜水中航行的速度和河水的速度不發生改變，且船在靜水中航行的速度大于河水的速度；②假設船在水中的航行速度只受船在靜水中航行的速度和河水的速度影響；③假設河是筆直的，且船往返航行的路徑相同.（1）乙同學提出的模型假設是否合理，請任選兩個模型假設說明理由；（2）請引入你認為所需要的適當變量，建立船在靜水中和有流速的河中往返航行同樣的距離的平均速度的數學模型，并說明甲同學的觀點是否正確.解：（1）乙同學提出的模型假設①，②，③是合理的.模型假設①符合實際情況，船在靜水中的速度和河水的速度通常相對穩定.模型假設②符合物理學原理，船在水中的航行速度受船在靜水中的速度和河水的速度影響.模型假設③符合實際情況.（2）設船在靜水中的速度為，河水的速度為，往返距離為s.在靜水中，平均速度為，在有流速的河中，逆流速度為，順流速度為，平均速度為.由于，因此，即船中有流速的河中往返航行的平均速度小于在靜水中往返航行的平均速度.所以甲同學的觀點是錯誤的.20.已知，函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，當時，，求函數的最小值；（3）當且時，關于x的方程的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍.解：（1）依題意，由，得，則，，解得，所以不等式的解集為.（2）由題意知，由，得，所以函數在區間上單調遞增，所以，則，所以