高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市新城區2024-2025學年高一上學期1月期末質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵集合，，∴.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結論而不是否定條件，所以命題“”的否定是：.故選：B.3.我國著名數學家華羅庚先生曾說，數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，經常用函數的圖象研究函數的性質，也常利用函數的解析式來琢磨函數圖象的特征．函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以BD選項錯誤.，所以C選項錯誤.故選：A.4.將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得函數圖象的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，得到函數圖象解析式：，再向下平移1個單位長度后，得到函數圖象解析式：.故選：D.5.已知，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由不等式的性質可知由，由.故選：A.6.某工廠產生的廢氣經過循環過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關系為（是自然對數的底數，，為正的常數）．若前12消除了的污染物，則24后的污染物含量約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知過濾過程中廢氣的污染物含量與時間之間的關系為，當時，因為前消除了的污染物，所以此時剩余的污染物含量為，即，所以有，兩邊同時除以（），得到.對等式兩邊取自然對數可得：，解出，將，代入可得：，所以后的污染物含量約為.故選：C.7.若函數在區間上不具有單調性，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】時，在上遞減，不合題意；時，函數圖象的對稱軸為直線，因為函數在區間上不具有單調性，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A.8.設，用表示不超過的最大整數，例如，，．我們把稱為取整函數，在現實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數”進行計費．下列說法正確的是（）A. B.函數是偶函數C.函數的最小值為0 D.，若，則【答案】C【解析】選項A：因為，根據取整函數表示不超過的最大整數，所以，而不是，A選項錯誤.選項B：函數的定義域為，關于原點對稱，，例如時，，；，所以不是偶函數，B選項錯誤.選項C：設，當時，，則，此時，所以的值域是，其最小值為，C選項正確.選項D：若，設，，，，那么，所以，所以不存在，使得當時，，D選項錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確.故選：BD.10.已知函數是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，則下列說法正確的有（）A.是奇函數B.是偶函數C.若在上單調遞增，則當時，D.若在上單調遞減，則當時，【答案】ACD【解析】因為函數是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，所以，.A.設，則，所以是奇函數，故正確；B.設，則，所以不是偶函數，故錯誤；C.因為函數是定義在上的奇函數，所以其圖象關于原點對稱，若在上單調遞增，則在上單調遞增，當時，，正確；D.因為是定義在上的偶函數，所以其圖象關于軸對稱，若在上單調遞減，則在上單調遞增，當時，，正確.故選：ACD.11.已知函數，則（）A.存在點，使得的圖象關于點中心對稱B.的一個周期為C.的值域為D.在內有且僅有2零點【答案】BD【解析】選項A：若函數的圖象關于點中心對稱，則有恒成立.對于，，所以函數是偶函數，其圖象關于軸對稱.假設存在點使得的圖象關于點中心對稱，，若，的值不恒為常數，所以不存在點，使得的圖象關于點中心對稱，A選項錯誤.選項B：若是函數的周期，則恒成立.，所以是的一個周期，B選項正確.選項C：因為，那么.令，函數在上的值域是，因為，所以值域是，不是，C選項錯誤.選項D：令，則，即.當時，.對于，當時，，在單調遞增，在單調遞減，所以在內有個解.當取其他整數時，.所以在內有且僅有個零點，D選項正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的定義域為__________．【答案】【解析】由題意得.解得.13.已知正數，滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為1.14.若函數在定義域內存在單調區間，且其圖象的兩條對稱軸分別為直線和，則的一個解析式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，函數是周期函數，它的一個周期是，又函數在定義域內存在單調區間，可選該函數為余弦型函數，令，顯然，直線和是圖象的對稱軸，符合題意.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，且是第二象限角．（1）求和的值；（2）求的值．解：（1），且是第二象限角，，．（2）．16.已知冪函數在區間上單調遞增．（1）求的解析式；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）是冪函數，，解得或，又冪函數在區間上單調遞增，，即．（2）易知在上單調遞增，又，，即，解得，實數的取值范圍為．17.已知函數.（，且）（1）求函數的定義域；（2）若函數在區間上的最大值為2，求實數的值．解：（1）要使函數的解析式有意義，則解得，函數定義域為．（2），當時，，當時，函數在上單調遞減，此時，，即，解得（舍）．當時，函數在上單調遞增，此時，，即，解得或（舍）．綜上，實數的值為．18.已知函數．（1）求函數的最小正周期；（2）討論函數在區間上的單調性；（3）當時，求不等式的解集．解：（1）由題意，函數的最小正周期為．（2）因為函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，由，解得，當時，，由，解得，當時，；當時，，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．（3）令，解得或，即或，當時，方程的解為或，結合（2）中單調性的結論知，當時，，所以當時，不等式的解集為．19.若在函數的定義域內存在，使得成立，則稱具有性質．（1）試判斷函數是否具有性質；（2）證明：函數具有性質；（3）若函數具有性質，求實數的取值范圍．解：（1）假設函數具有性質，則存在，使得，即，即，顯然不成立，假設不成立，即不具有性質．（2）證明：，，，，令，得，即，即，又函數的定義域為，，函數具有性質．（3）函數的定義域為，且具有性質，，即，令，則，，，解得或，當方程有一個正根時，即，即，此時．當方程有兩個正根時，當，即時，此時．實數的取值范圍為.陜西省西安市新城區2024-2025學年高一上學期1月期末質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵集合，，∴.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結論而不是否定條件，所以命題“”的否定是：.故選：B.3.我國著名數學家華羅庚先生曾說，數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，經常用函數的圖象研究函數的性質，也常利用函數的解析式來琢磨函數圖象的特征．函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以BD選項錯誤.，所以C選項錯誤.故選：A.4.將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得函數圖象的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，得到函數圖象解析式：，再向下平移1個單位長度后，得到函數圖象解析式：.故選：D.5.已知，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由不等式的性質可知由，由.故選：A.6.某工廠產生的廢氣經過循環過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關系為（是自然對數的底數，，為正的常數）．若前12消除了的污染物，則24后的污染物含量約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知過濾過程中廢氣的污染物含量與時間之間的關系為，當時，因為前消除了的污染物，所以此時剩余的污染物含量為，即，所以有，兩邊同時除以（），得到.對等式兩邊取自然對數可得：，解出，將，代入可得：，所以后的污染物含量約為.故選：C.7.若函數在區間上不具有單調性，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】時，在上遞減，不合題意；時，函數圖象的對稱軸為直線，因為函數在區間上不具有單調性，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A.8.設，用表示不超過的最大整數，例如，，．我們把稱為取整函數，在現實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數”進行計費．下列說法正確的是（）A. B.函數是偶函數C.函數的最小值為0 D.，若，則【答案】C【解析】選項A：因為，根據取整函數表示不超過的最大整數，所以，而不是，A選項錯誤.選項B：函數的定義域為，關于原點對稱，，例如時，，；，所以不是偶函數，B選項錯誤.選項C：設，當時，，則，此時，所以的值域是，其最小值為，C選項正確.選項D：若，設，，，，那么，所以，所以不存在，使得當時，，D選項錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確.故選：BD.10.已知函數是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，則下列說法正確的有（）A.是奇函數B.是偶函數C.若在上單調遞增，則當時，D.若在上單調遞減，則當時，【答案】ACD【解析】因為函數是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，所以，.A.設，則，所以是奇函數，故正確；B.設，則，所以不是偶函數，故錯誤；C.因為函數是定義在上的奇函數，所以其圖象關于原點對稱，若在上單調遞增，則在上單調遞增，當時，，正確；D.因為是定義在上的偶函數，所以其圖象關于軸對稱，若在上單調遞減，則在上單調遞增，當時，，正確.故選：ACD.11.已知函數，則（）A.存在點，使得的圖象關于點中心對稱B.的一個周期為C.的值域為D.在內有且僅有2零點【答案】BD【解析】選項A：若函數的圖象關于點中心對稱，則有恒成立.對于，，所以函數是偶函數，其圖象關于軸對稱.假設存在點使得的圖象關于點中心對稱，，若，的值不恒為常數，所以不存在點，使得的圖象關于點中心對稱，A選項錯誤.選項B：若是函數的周期，則恒成立.，所以是的一個周期，B選項正確.選項C：因為，那么.令，函數在上的值域是，因為，所以值域是，不是，C選項錯誤.選項D：令，則，即.當時，.對于，當時，，在單調遞增，在單調遞減，所以在內有個解.當取其他整數時，.所以在內有且僅有個零點，D選項正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的定義域為__________．【答案】【解析】由題意得.解得.13.已知正數，滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為1.14.若函數在定義域內存在單調區間，且其圖象的兩條對稱軸分別為直線和，則的一個解析式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，函數是周期函數，它的一個周期是，又函數在定義域內存在單調區間，可選該函數為余弦型函數，令，顯然，直線和是圖象的對稱軸，符合題意.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，且是第二象限角．（1）求和的值；（2）求的值．解：（1），且是第二象限角，，．（2）．16.已知冪函數在區間上單調遞增．（1）求的解析式；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）是冪函數，，解得或，又冪函數