2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試初三數(shù)學(xué)一、選擇題（1-6題每題3分，7-16題每題2分，共38分）1.從早上太陽(yáng)升起的某一時(shí)刻開(kāi)始到傍晚，廣場(chǎng)上旗桿在地面上形成的影子的變化規(guī)律是（）A.先變短再變長(zhǎng) B.先變長(zhǎng)再變短 C.方向改變，長(zhǎng)短不變 D.以上都不正確【答案】A【解析】【分析】根據(jù)太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和平行投影的特點(diǎn)和規(guī)律可知．【詳解】廣場(chǎng)的旗桿在地面上的影子的變化規(guī)律是先變短，后變長(zhǎng)．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的特點(diǎn)和規(guī)律．在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時(shí)刻物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長(zhǎng)由長(zhǎng)變短，再變長(zhǎng)．2.若是銳角，，則的值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)是銳角，，得到，即可求的值．【詳解】解：是銳角，，，，故選：B．3.如圖，一個(gè)圓柱體在正方體上沿虛線從左向右平移，平移過(guò)程中不變的是（）A.主視圖 B.俯視圖C.左視圖 D.主視圖和左視圖【答案】C【解析】【分析】主視圖是從正面觀察得到的圖形，左視圖是從左側(cè)面觀察得到的圖形，俯視圖是從上面觀察得到的圖形，結(jié)合圖形即可作出判斷．【詳解】解：根據(jù)圖形，可得：平移過(guò)程中不變的是的左視圖，變化的是主視圖和俯視圖．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)和應(yīng)用，以及簡(jiǎn)單組合體的三視圖，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是掌握主視圖、俯視圖以及左視圖的觀察方法．4.4月23日是世界讀書日，學(xué)校舉行“快樂(lè)閱讀，健康成長(zhǎng)”讀書活動(dòng)．小明隨機(jī)調(diào)查了本校七年級(jí)30名同學(xué)近4個(gè)月內(nèi)每人閱讀課外書的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下表所示：人數(shù)67107課外書數(shù)量（本）67912則閱讀課外書數(shù)量的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.8，9 B.10，9 C.7，12 D.9，9【答案】D【解析】【分析】利用中位數(shù)，眾數(shù)的定義即可解決問(wèn)題．中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，在中間的一個(gè)數(shù)字（或者兩個(gè)數(shù)字的平均值）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．【詳解】解：中位數(shù)為第15個(gè)和第16個(gè)的平均數(shù)為：，眾數(shù)為9．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念．5.半徑為5的四個(gè)圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個(gè)圓的圓心到直線的距離為4，則這個(gè)圓可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出這個(gè)圓．根據(jù)圓與直線相交，圓心的到直線的距離小于半徑求解即可．【詳解】解：、、、是四個(gè)半徑為5的等圓，有一個(gè)圓的圓心到直線的距離為4，∴直線與這個(gè)圓相交且不經(jīng)過(guò)圓心，圓心到直線的距離為4是，故選：C．6.如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，位似圖形與相似圖形的關(guān)系．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，即可求解．【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∴，∴，∴，∵，，∴．故選：B7.將二次函數(shù)化成的形式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查將一般式化成頂點(diǎn)式，利用配方法，將其配成完全平方式，即可解題．【詳解】解：，，，故選：B．8.如圖，正八邊形內(nèi)接于，為弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接、、，根據(jù)正多邊形和圓的知識(shí)求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：連接、、，如圖，∵八邊形是正八邊形，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、圓周角定理的應(yīng)用；熟練掌握中心角公式，由圓周角定理求出結(jié)果是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9.一個(gè)密閉容器中分別裝有甲、乙、丙、丁四種氣體，如圖，用四個(gè)點(diǎn)分別描述四種氣體的密度（kg/m3）與體積V（m3）的情況，其中描述乙、丁兩種氣體情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這四種氣體的質(zhì)量最小的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】本題考查了實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)的值即為該氣體的質(zhì)量即可求解．【詳解】解：由題意得：的值即為該氣體的質(zhì)量，由圖可知：描述乙、丁兩種氣體情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，∴乙、丁兩種氣體的質(zhì)量相同，∵描述甲氣體情況的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象下方，描述丙氣體情況的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上方，∴甲氣體的質(zhì)量最小，丙氣體的質(zhì)量最大，故選：A10.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)E，連接，則與的周長(zhǎng)比為（）A.1：4 B.4：1 C.1：2 D.2：1【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，，，∴，而，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．11.如圖，等腰直角中，，，以點(diǎn)為圓心畫弧與斜邊相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)勾股定理算出的長(zhǎng)，根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得到的長(zhǎng)，再利用陰影部分的面積等于等腰直角的面積減去圓的面積．【詳解】解：在等腰直角中，，，，，以點(diǎn)為圓心畫弧與斜邊相切于點(diǎn)，，，，陰影部分的面積，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活運(yùn)用即可解題．12.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)定理，根據(jù)內(nèi)心得到．13.若二次函數(shù)的最大值為8，則關(guān)于x方程的實(shí)數(shù)根的情況是（）A.有兩個(gè)相等實(shí)根 B.沒(méi)有實(shí)根 C.有兩個(gè)不等實(shí)根 D.有兩個(gè)實(shí)根【答案】C【解析】【分析】先判斷拋物線開(kāi)口向下，從而得出二次函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得出關(guān)于x方程有兩個(gè)不等實(shí)根．【詳解】解：∵二次函數(shù)的最大值為8，∴拋物線開(kāi)口向下，∴二次函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x方程有兩個(gè)不等實(shí)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14.我們知道，五邊形具有不穩(wěn)定性，正五邊形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，，固定邊，將正五邊形向右推，使點(diǎn)A，B，C共線，且點(diǎn)C落在y軸上，如圖2所示，此時(shí)邊旋轉(zhuǎn)度，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.30°【答案】A【解析】【分析】先利用正方形多邊形的性質(zhì)求出正五邊形變形前度數(shù)，再在變形后的圖形中，連接．證明是等邊三角形，四邊形是菱形，利用等邊三角形和菱形的性質(zhì)求出變形后的度數(shù)，然后用變形后度數(shù)變形前的度數(shù)求解．【詳解】解：在圖1中，∵正五邊形∴在圖2中，連接．∵正五邊形，，∵，∴，，∴是等邊三角形，四邊形是菱形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，菱的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15.如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（）米．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可將教室的墻面與地面展開(kāi)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)P作于G，連接，（米），（米），（米），（米），（米）這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若拋物線與線段有交點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，則下列四種說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有唯一公共點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；③點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為2；④拋物線與軸的兩交點(diǎn)的距離的最大值為．其中正確的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】①把代入，由于方程根的判別式，所以拋物線與x軸有唯一公共點(diǎn)，即可判斷①正確；②根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷②正確；③拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)最大，求出此時(shí)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，即可判斷③錯(cuò)誤；④拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，與x軸的兩交點(diǎn)間的距離最大，求出此時(shí)的值，即可判斷④正確．【詳解】解：①把代入，得，方程即為，∵，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴拋物線與x軸有唯一公共點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有唯一公共點(diǎn)，故①正確；②∵中，，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故②正確；③∵拋物線與線段有交點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)C，∴拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)最大，把代入，得，解得，此時(shí)拋物線是，即，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的最大值為20，故③錯(cuò)誤；④∵拋物線與線段AB有交點(diǎn)，∴拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，與x軸的兩交點(diǎn)間的距離最大，把代入，得，解得，此時(shí)拋物線是，解方程，得，，所以拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離的最大值為，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（17、18題每題3分，19愿每空3分，共12分）17.若關(guān)于的方程的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)，列式即可解題．【詳解】解：設(shè)它的另一個(gè)根為，關(guān)于的方程的一個(gè)根是1，，解得，它的另一個(gè)根是．故答案為：．18.如圖，將刻度尺、含角的直角三角板和量角器如圖擺放（無(wú)重疊部分），若三角板角的頂點(diǎn)在刻度尺上的讀數(shù)是，量角器與刻度尺接觸點(diǎn)在刻度尺上的讀數(shù)是，則該量角器的直徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的判定，解直角三角形；連接、、，求出，證明平分，從而可求，然后解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖，連接、、，由題意得：點(diǎn)B、C分別為切點(diǎn)，，，，，，平分，，，∴該量角器的直徑長(zhǎng)為，故答案為：．19.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，與直線相交所得的銳角為60°．點(diǎn)在直線上，，直線，垂足為點(diǎn)且，以為直徑，在的左側(cè)作半圓，點(diǎn)是半圓上任一點(diǎn)．則：①的最小值為_(kāi)_______；②若矩形保持不動(dòng)，半圓沿直線向左平移，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，則半圓與矩形重合部分的周長(zhǎng)是________．【答案】①.②.【解析】【分析】連接交半圓于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，最短；由勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求得的長(zhǎng)；設(shè)平移后的半圓交于點(diǎn)N，連接，過(guò)點(diǎn)O作于H點(diǎn)，易得，則可分別求得的長(zhǎng)及扇形的弧長(zhǎng)，從而求得半圓與矩形重合部分的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接交半圓于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，最短；∵，∴,由勾股定理得，∴；設(shè)平移后的半圓交于點(diǎn)N，連接，過(guò)點(diǎn)O作于H點(diǎn)，如圖，∵，，∴，∵，∴，，∴，在中，，由勾股定理得：，∴；∵，∴半圓與矩形重合部分的周長(zhǎng)為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最小值，勾股定理，含角直角三角形的性質(zhì)，求扇形弧長(zhǎng)，平移的性質(zhì)等知識(shí)．三、解答題（共7道大題，共70分）20.一個(gè)水平放置的圓錐的主視圖為底邊長(zhǎng)、腰長(zhǎng)的等腰三角形，試求：（1）該圓錐的側(cè)面積．（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角度數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的主視圖為底邊長(zhǎng)、腰長(zhǎng)的等腰三角形，可以得出圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，再用圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出圓錐底面周長(zhǎng)，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，再用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角度數(shù)．【小問(wèn)1詳解】解：∵圓錐的主視圖為底邊長(zhǎng)、腰長(zhǎng)的等腰三角形，∴圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，∴，【小問(wèn)2詳解】圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)=圓錐底面周長(zhǎng)=，∴，解得：，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是要掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．21.2022年12月4日20時(shí)09分，神舟十四號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲身體狀態(tài)良好，神舟十四號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功．中國(guó)航天人在奔赴星辰大海的漫漫征途上，刷新了歷史新高度．學(xué)校為了解學(xué)生的航天知識(shí)水平，從九年級(jí)全體450名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分．競(jìng)賽結(jié)束后將成績(jī)整理分成6個(gè)小組，制成如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（成績(jī)得分均為整數(shù)）：組別成績(jī)分組頻數(shù)百分比139.5~49.524%249.5~59.524%359.5~69.58a%469.5~79.5bc%579.5~89.51836%689.5~99.58a%合計(jì)m100%結(jié)合圖表提供的信息，回答下列問(wèn)題：（1）頻數(shù)分布表中，，，本次抽樣調(diào)查的樣本容量是；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）若成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）為優(yōu)秀，估計(jì)該校本次九年級(jí)航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．（4）在學(xué)校組織的航天知識(shí)競(jìng)賽后，最終推出甲、乙兩個(gè)優(yōu)勝小組為全校同學(xué)展示航天知識(shí)．組委會(huì)將題目分別寫在A，B，C，D四張卡片上，將卡片放在一個(gè)不透明的盒子中（卡片手感完全相同），要求甲組先從中抽取一張，放回?fù)u勻，乙組再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，求兩個(gè)小組抽到的題目不相同的概率．【答案】（1）16，12，50（2）見(jiàn)解析（3）72人（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)第一組的頻數(shù)和所占的百分比，可以求得本次抽樣調(diào)查的樣本容量，然后即可計(jì)算出a和b的值；

（2）根據(jù)（1）中b的值，即可將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；

（3）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出該校本次數(shù)學(xué)摸底測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；

（4）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】本次抽樣調(diào)查的樣本容量，，，即，，故答案為：16，12；50；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示：【小問(wèn)3詳解】（人），答：估計(jì)該校本次航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有72人．【小問(wèn)4詳解】?jī)蓚€(gè)小組抽課題所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：（樹狀圖同樣得分）乙組甲組ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．兩個(gè)小組抽到的課題不相同的結(jié)果有12種，所以兩個(gè)小組抽到的課題不相同的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．同時(shí)還考查了運(yùn)用列表法求概率．22.如圖，為直徑，弦于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）的長(zhǎng)是【解析】【分析】（1）先證明平分，得出，證明，說(shuō)明，得出，從而得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)為的直徑，弦于點(diǎn)E，得出，，，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，則，∴，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且，∴點(diǎn)C在的平分線上，∴平分，∴，∴，∴，∴，∵經(jīng)過(guò)的半徑的外端，且，∴是的切線．【小問(wèn)2詳解】解：∵為的直徑，弦于點(diǎn)E，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，角平分線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和定理，數(shù)形結(jié)合．23.圭表（如圖是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”，當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即為，夏至正午太陽(yáng)高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長(zhǎng)）為4米．（1）求∠BAD的度數(shù)．（2）求表AC的長(zhǎng)（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）【答案】（1）47°（2）3.3米【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可；（2）分別求出和的正切值，用表示出和，得到一個(gè)只含有的關(guān)系式，再解答即可．小問(wèn)1詳解】解：，，，答：的度數(shù)是．【小問(wèn)2詳解】解：在Rt△ABC中，，∴．同理，在Rt△ADC中，有．∵，∴．∴，∴（米）．答：表AC的長(zhǎng)是3.3米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握建模思想來(lái)解決．24.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中___________，____________．……-5-4-3-2-112345…………-3.8-2.5-1155-1-3.8……②描點(diǎn)：請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)值在圖中描點(diǎn)；③連線：請(qǐng)結(jié)合反比例函數(shù)圖象的特征，畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)①當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而______________；（填“減小”或“增大”）②函數(shù)的圖象關(guān)于___________對(duì)稱；（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①點(diǎn)，，在函數(shù)圖象上，請(qǐng)比較，，的大小（）A．B．C．D．②點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，請(qǐng)比較，的大小（）A．B．C．D．不確定③寫出方程的解_____________；④寫出不等式的解集___________．【答案】（1），，描點(diǎn)、連線見(jiàn)解析；（2）減小，y軸；（3）①B，②D，③或，④或．【解析】【分析】（1）代入計(jì)算即可求出，的值，在表格中描點(diǎn)、連線即可；（2）①由（1）所作圖象可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小；②函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）①由圖象可知，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，對(duì)稱軸y軸，依據(jù)即可比較；②同①可知，由于可知；③由（1）列表可知，方程的解；④由（1）列表可知方程的解為或，結(jié)合圖像可知解集．【小問(wèn)1詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：，，描點(diǎn)、連線如下：【小問(wèn)2詳解】①由（1）所作圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小，②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故答案為：減小，y軸；【小問(wèn)3詳解】①由圖象可知，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，對(duì)稱軸為y軸，，，故選：B；②同①可知，，，無(wú)法確，故選D；③由（1）列表可知，方程的解為：或，故答案為：或；④由（1）列表可知是方程的解，由對(duì)稱性可知方程的解為或，結(jié)合圖像可知解集為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了作函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象的對(duì)稱性和增減性進(jìn)行分析．25.在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng)，黑球在A處開(kāi)始減速，此時(shí)白球在黑球前面處．小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度（單位：）、運(yùn)動(dòng)距離（單位：）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．運(yùn)動(dòng)時(shí)間01234運(yùn)動(dòng)速度109.598.58運(yùn)動(dòng)距離09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間成一次函數(shù)關(guān)系，運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間成二次函數(shù)關(guān)系．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若白球一直以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，求兩球之間距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系式，判斷并說(shuō)明黑球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)不會(huì)碰到白球．【答案】（1），（2），黑球不會(huì)碰到白球，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)黑球的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)表達(dá)式為，代入兩組數(shù)值求解即可；根據(jù)運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間成二次函數(shù)關(guān)系，設(shè)表達(dá)式為，代入三組數(shù)值求解即可；（2）設(shè)黑白兩球的距離為，得到，當(dāng)時(shí)，，由得到方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，于是得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，將，代入，得，解得，，∴，設(shè)，將，，代入，得，解