/第05講線段、角的軸對稱性理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質。2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質與判定方法。1．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．一．角平分線的性質（共15小題）1．（2022秋?邗江區期中）△ABC是一個任意三角形，用直尺和圓規作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點O，那么下列選項中不正確的是（）A．點O一定在△ABC的內部 B．∠C的平分線一定經過點O C．點O到△ABC的三邊距離一定相等 D．點O到△ABC三頂點的距離一定相等2．（2022秋?邗江區校級期末）∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5，Q是OB上任一點，則（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤53．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，點E為射線BA上一動點，若OD＝5，則OE的最小值為．4．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點D到AC的距離是．5．（2022秋?通州區校級月考）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點E，DF⊥AC，交AC于點F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022秋?東臺市期中）如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，DE＝5，則DF的長度是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2022秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面積為．8．（2022秋?啟東市期末）如圖，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一個人從B處出發沿著BC行走了800m，到達D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時這個人到AB的最短距離為m．9．（2022秋?句容市期末）如圖，射線OQ平分∠MON，點P是射線OQ上一點，且PA⊥ON于點A，若PA＝3，則點P到射線OM的距離等于．10．（2022秋?秦淮區期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O．（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；（2）連接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，則點O到三角形三條邊的距離是．11．（2022秋?鎮江期末）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，已知，BC＝8，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．4 B．6 C．8 D．1012．（2022秋?海安市期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．513．（2022秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，則△AOB的面積為．14．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，則四邊形ABCD的面積是．15．（2022秋?江都區期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結論．二．線段垂直平分線的性質（共12小題）16．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，連接AE，則∠EAG＝．17．（2022秋?句容市期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長．18．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點O，若∠BOC＝80°，則∠A＝．19．（2022秋?啟東市校級期末）如圖，△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是cm．20．（2022秋?大豐區期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度數．21．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線相交于點O，分別交BC邊于點M、N，連接AM，AN．（1）若△AMN的周長為6，求BC的長；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度數；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的長度．22．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F，連接AE，BE，作直線EF交AB于點M，連接CM，則下列判斷不正確的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM23．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，AC＝AD，BC＝BD，則下列判斷正確的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB24．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，點D為邊AC的垂直平分線與邊BC的交點，且BD＝AB﹣2．（1）求證AB＝AD；（2）求CD長．25．（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，E是BC上一點，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點D，△ABC的周長為18cm，AC＝7cm，則DC的長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．626．（2022秋?南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠EAG＝20°，則∠BAC＝°．27．（2022秋?邗江區校級期末）如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為cm．一、單選題1．（2022秋·江蘇南京·八年級統考期末）如圖，用直尺和圓規作，這兩個三角形全等的依據是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇泰州·八年級統考期末）已知，如圖，中，，，點、分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，若，，則的面積等于（）A．30 B．60 C．24 D．484．（2022秋·江蘇徐州·八年級統考期中）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，若的周長是，則的周長是（

）A．22 B．15 C．17 D．185．（2023秋·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點、．作直線，交于點，交于點，連接．若，則的周長為（

）

A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．37．（2023秋·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，則的長為（

）．

A． B． C． D．二、填空題8．（2023秋·江蘇揚州·八年級統考期末）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數分別是2、5，則的長度是____．9．（2023秋·江蘇鹽城·八年級校考期末）如圖，P是的平分線上一點，，，垂足分別為D，E，若，則PE的長是______．10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，中，是的垂直平分線，，的周長為13，則的周長為_____．11．（2022秋·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則：：___________12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，的面積為24，的長為8，平分，E、F分別是和上的動點，則的最小值為____________．三、解答題13．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯考階段練習）如圖，于點E，于點F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數量關系，并給予證明．14．們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個箏形，其中，，對角線，相交于點，，，垂足分別是，，求證；15．（2023秋·江蘇南京·八年級統考期末）已知，求作點P，使得點P與三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．16．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你用尺規作出燈柱的位置點．（請保留作圖痕跡）17．（2022秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學校考期中）工人師傅經常利用角尺平分一個任意角．如圖所示，是一個任意角，在邊、上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合．(1)求證：是的平分線；(2)連接，判斷與的位置關系，并說明理由．一、單選題1．三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當的位置在三角形的（）A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點2．如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點B，點E是BD的中點，連接AE，CE，則AE與CE的大小關系是（）A． B． C． D．3．到三角形三個頂點距離相等的點是（）的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點4．如圖，在中，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E．過點C作，垂足為點D，與相交于點F．若，則的度數為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點，連接，則下列結論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④二、填空題6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．7．如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，AC＝5，△AEC的周長為12，則AB＝___．8．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．9．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=6，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為__________．10．如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點，且，，，則點O到邊AB的距離為__________．三、解答題11．作圖題：（1）在圖1中，畫出關于直線的對稱圖形．（2）在圖2中，已知和、兩點，在內部找一點，使，且到的兩邊、的距離相等．12．作圖題：（1）近年來，國家實施農村醫療衛生改革，某縣計劃在甲村、乙村之間設立一座定點醫療站點，甲、乙兩村坐落在兩相交公路內（如圖所示）．醫療站必須符合下列條件：①到兩公路、的距離相等；②到甲、乙兩村的距離也相等．請確定點的位置．（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）（2）如圖，先將向下平移3個單位得到，再以直線為對稱軸將翻折得到，請在所給的方格紙中依次作出和．13．已知，如圖，在△ACB中，∠C=90°．（1）作∠B的平分線BD交AC于點D．（要求尺規作圖，保留痕跡）（2）過點D作斜邊AB的垂線段，垂足為點E．（要求尺規作圖，保留痕跡）（3）求證：CD=ED．

第05講線段、角的軸對稱性理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質。2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質與判定方法。1．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．一．角平分線的性質（共15小題）1．（2022秋?邗江區期中）△ABC是一個任意三角形，用直尺和圓規作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點O，那么下列選項中不正確的是（）A．點O一定在△ABC的內部 B．∠C的平分線一定經過點O C．點O到△ABC的三邊距離一定相等 D．點O到△ABC三頂點的距離一定相等【分析】根據角平分線的定義與性質即可判斷．【解答】解：∵三角形角平分線的性質為：三角形的三條角平分線在三角形內部且相交于一點，到三角形三條邊的距離相等，∴A、B、C三個選項均正確，D選項錯誤．故選：D．【點評】此題考查了角平分線的性質，熟記性質是解題的關鍵．2．（2022秋?邗江區校級期末）∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5，Q是OB上任一點，則（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5【分析】直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，和角平分線的性質計算．【解答】解：∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5則P到OB的距離為5因為Q是OB上任一點，則PQ≥5故選：B．【點評】本題主要考查平分線的性質，還利用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”．3．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，點E為射線BA上一動點，若OD＝5，則OE的最小值為5．【分析】利用角平分線的性質即可，【解答】解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，OD＝5，∴O到AB的距離等于OD的長，根據垂線段最短，可知OE最小值為5．故答案為：5．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，利用垂線段最短是關鍵．4．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點D到AC的距離是．【分析】由角平分線的性質可求DE＝BD＝，即可求解．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AC于E，∵AD是△ABC的角平分線．∠B＝90°，DE⊥AC，∴DE＝BD＝，∴點D到AC的距離為，故答案為．【點評】本題考查了角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關鍵．5．（2022秋?通州區校級月考）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點E，DF⊥AC，交AC于點F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先根據角平分線的性質得到DF＝DE＝2，再利用三角形面積公式即可求解．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵DE＝2，∴DF＝2，∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，故選：A．【點評】本題考查了角平分線的性質，熟記角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．6．（2022秋?東臺市期中）如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，DE＝5，則DF的長度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據角平分線的性質定理解答即可．【解答】解：∵BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5，故選：C．【點評】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．7．（2022秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面積為5．【分析】過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F，先利用角平分線的性質可得DE＝DF＝2，然后利用三角形的面積公式，進行計算即可解答．【解答】解：過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵AC＝5，∴△ACD面積＝AC?DF＝×5×2＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了角平分線的性質，三角形的面積，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．8．（2022秋?啟東市期末）如圖，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一個人從B處出發沿著BC行走了800m，到達D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時這個人到AB的最短距離為200m．【分析】過D作DE⊥AB于點E，根據角平分線的性質得出DE＝DC，再求出DC的長即可．【解答】解：如圖，過D作DE⊥AB于點E，∵∠ACB＝90°，∴DC⊥AC，∵AD為∠CAB的平分線，∴DE＝DC，∵BC＝1000m，BD＝800m，∴DC＝BC﹣BD＝200m，∴DE＝DC＝200m，即此時這個人到AB的最短距離為200m，故答案為：200．【點評】本題考查的是角平分線的性質，熟記角平分線的性質是解題的關鍵．9．（2022秋?句容市期末）如圖，射線OQ平分∠MON，點P是射線OQ上一點，且PA⊥ON于點A，若PA＝3，則點P到射線OM的距離等于3．【分析】過點P作PB⊥OM，垂足為B，然后利用角平分線的性質，即可解答．【解答】解：過點P作PB⊥OM，垂足為B，∵射線OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，∴PA＝PB＝3，∴點P到射線OM的距離等于3，故答案為：3．【點評】本題考查了角平分線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．10．（2022秋?秦淮區期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O．（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；（2）連接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，則點O到三角形三條邊的距離是．【分析】（1）連接OA，根據線段垂直平分線的性質得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根據線段垂直平分線的判定定理證明結論；（2）延長AO交BC于D，先證明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性質可求BD＝6，再兩次利用勾股定理可求解OA的長．【解答】（1）證明：過點O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O，∴OD＝OF，OE＝OF．∴OD＝OE．∴點O在∠BAC的平分線上；（2）解：延長AO交BC于D，∵AB＝AC＝5，點O在∠BAC的平分線上，∴AO⊥BC，∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+OD，∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，∴OD＝，∴點O到三角形三條邊的距離是．故答案為：．【點評】本題考查了角平分線的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，能熟記等腰三角形的性質以及角平分線的性質是解此題的關鍵．11．（2022秋?鎮江期末）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，已知，BC＝8，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先作輔助線EF⊥BC交BC于點F，然后根據角平分線的性質，可以得到DE＝EF，再根據三角形的面積公式，即可求得△BCE的面積．【解答】解：作EF⊥BC交BC于點F，∵CD是AB邊上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，∴S△BCE＝，故選：C．【點評】本題考查角平分線的性質，解答本題的關鍵是作輔助線EF⊥BC，求出EF的長．12．（2022秋?海安市期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據角平分線性質求出DF，根據三角形面積公式求出△ABD的面積，求出△ADC面積，即可求出答案．【解答】解：過D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，∵△ABC的面積為9，∴△ADC的面積為9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4，故選：C．【點評】本題考查的是角平分線的性質，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．13．（2022秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，則△AOB的面積為4．【分析】根據角平分線的性質得到OD＝OM＝1，再利用三角形面積公式即可求解．【解答】解：如圖，作OM⊥AB于M，∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，OM⊥AB，∴OD＝OM＝1，∴△AOB的面積為．故答案為：4．【點評】本題考查了角平分線的性質，結合圖形利用角平分線的性質是解題的關鍵．14．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，則四邊形ABCD的面積是120．【分析】過點D作DE⊥BA的延長線于點E，利用角平分線的性質可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面積公式結合S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：過點D作DE⊥BA的延長線于點E，如圖所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB?DE+BC?CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案為：120．【點評】本題考查了角平分線的性質以及三角形的面積，利用角平分線的性質，找出DE＝8是解題的關鍵．15．（2022秋?江都區期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結論．【分析】連EB、EC，根據角平分線性質得EF＝EG；根據垂直平分線的性質得EB＝EC；再根據“HL”定理證明Rt△EFB≌Rt△EGC，從而得BF＝CG．【解答】解：相等．證明如下：連EB、EC，∵AE是∠BAC的平分線，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴EF＝EG．∵ED⊥BC于D，D是BC的中點，∴EB＝EC．∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF＝CG．【點評】本題考查了角平分線性質和垂直平分線的性質，利用了三角形全等的判定和性質解題．正確作出輔助線是解答本題的關鍵．二．線段垂直平分線的性質（共12小題）16．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點F，G，連接AE，則∠EAG＝40°．【分析】由條件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，則可求得∠EAB+∠GAC＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA＝50°，同理∠GAC＝∠GCA＝20°，∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，∵∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°故答案為：40°．【點評】本題主要考查線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．17．（2022秋?句容市期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長6．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到EB＝AE＝4，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EB＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．18．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點O，若∠BOC＝80°，則∠A＝40°．【分析】連接OA，根據三角形內角和定理得到∠OBC+∠OCB＝100°，根據線段垂直平分線的性質得到AO＝BO，AO＝CO，根據等腰三角形的性質計算即可．【解答】解：連接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分線交于點O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案為：40°．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．19．（2022秋?啟東市校級期末）如圖，△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是15cm．【分析】由△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，根據線段垂直平分線的性質，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周長為9cm，即可求得AC+BC的值，繼而求得△ABC的周長．【解答】解：∵△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，∵△ADC的周長為9cm，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，∴△ABC的周長為：AB+AC+BC＝15cm．故答案為：15．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意等量代換思想的應用．20．（2022秋?大豐區期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度數．【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，根據線段垂直平分線的性質可得AD＝BD，AE＝CE，繼而可得△ADE的周長＝BC；（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，繼而求得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，又∵BC＝10，∴△ADE周長為：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；（2）∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又∵∠BAC＝128°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．21．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線相交于點O，分別交BC邊于點M、N，連接AM，AN．（1）若△AMN的周長為6，求BC的長；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度數；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的長度．【分析】（1）根據線段的垂直平分線的性質得到MA＝MB，NA＝NC，根據三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算；（3）根據（2）的解法得到∠MAN＝90°，根據勾股定理列式計算即可．【解答】解：（1）∵直線OM是AB的垂直平分線，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周長為6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC設MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．22．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F，連接AE，BE，作直線EF交AB于點M，連接CM，則下列判斷不正確的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM【分析】根據基本作圖得到EF是線段AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線的概念和性質判斷即可．【解答】解：由作圖可知，EF是線段AB的垂直平分線，∴EF⊥AB，AE＝BE，AM＝BM，則B、C、D說法正確，不符合題意，AB與2CM的故選不確定，A錯誤，符合題意，故選：A．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．23．（2022秋?廣陵區校級期末）如圖，AC＝AD，BC＝BD，則下列判斷正確的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【分析】根據垂直平分線的判定判斷即可．【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故選：A．【點評】本題考查了線段垂直平分線的判定，熟練掌握線段垂直平分線的判斷是解題的關鍵．24．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，點D為邊AC的垂直平分線與邊BC的交點，且BD＝AB﹣2．（1）求證AB＝AD；（2）求CD長．【分析】（1）根據線段垂直平分線得出DC＝AD，進而利用等腰三角形的性質解答即可；（2）根據邊長得出方程解答即可．【解答】（1）證明：∵點D為邊AC的垂直平分線與邊BC的交點，∴DC＝AD，∴∠C＝∠CAD，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C＝∠B，∴AB＝AD；（2）解：∵AB＝AD，CD＝AD，BD＝AB﹣2，BC＝8，∴CD+CD﹣2＝8，∴CD＝5．【點評】此題考查線段垂直平分線的性質，關鍵是根據線段垂直平分線得出DC＝AD解答．25．（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，E是BC上一點，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點D，△ABC的周長為18cm，AC＝7cm，則DC的長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根據已知能推出2DE+2EC＝11cm，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC周長18cm，AC＝7cm，∴AB+BC＝11cm，∴AB+BE+EC＝11cm，即2DE+2EC＝11cm，∴DE+EC＝5.5cm，∴DC＝DE+EC＝5.5cm．故選：C．【點評】本題主要考查線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．26．（2022秋?南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠EAG＝20°，則∠BAC＝80°或100°．【分析】當∠BAC為銳角時，如圖1，設∠BAG＝α，∠CAE＝β，根據線段垂直平分線性質可得：∠ABC＝∠EAB＝20°+α，∠C＝∠CAG＝β+20°，再運用三角形內角和定理即可求得答案．當∠BAC為鈍角時，如圖2，根據線段垂直平分線性質可得：∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∠BAC＝∠B+20°+∠C，再結合三角形內角和定理即可求得答案．【解答】解：當∠BAC為銳角時，如圖1，設∠BAG＝α，∠CAE＝β，∵∠EAG＝20°，∴∠EAB＝∠EAG+∠BAG＝20°+α，∠CAG＝∠CAE+∠EAG＝β+20°，∠BAC＝α+β+20°，∵DE、FG分別垂直平分AB、AC，∴∠ABC＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴α+β+20°+20°+α+β+20°＝180°，∴α+β＝60°，∴∠BAC＝α+β+20°＝60°+20°＝80°；當∠BAC為鈍角時，如圖2，∵DE、FG分別垂直平分AB、AC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∴∠BAC＝∠EAB+∠EAG+∠CAG＝∠B+20°+∠C，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°；綜上所述，∠BAC＝80°或100°．故答案為：80°或100°．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質和等腰三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．27．（2022秋?邗江區校級期末）如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為3cm．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到NB＝NA，根據三角形的周長公式計算即可．【解答】解：∵線段AB的垂直平分線交AC于點N，∴NB＝NA，△BCN的周長＝BC+CN+BN＝7cm，∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，∴BC＝3cm，故答案為：3．【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．一、單選題1．（2022秋·江蘇南京·八年級統考期末）如圖，用直尺和圓規作，這兩個三角形全等的依據是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用作圖痕跡可判斷，平分，加上為公共邊，然后利用全等三角形的判定方法求解．【詳解】解：由作圖痕跡得，平分，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．2．（2023秋·江蘇泰州·八年級統考期末）已知，如圖，中，，，點、分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作于點，于點，于點，利用角平分線的性質得到，進而證明平分，利用三角形外角的性質求出的度數即可得到答案．【詳解】解：作于點，于點，于點，平分，平分，，，，，，平分，，，，．故選：．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質與判定，三角形外角的性質，證明平分是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，若，，則的面積等于（）A．30 B．60 C．24 D．48【答案】A【分析】如圖，過點E作于點F，由角平分線的性質可得，根據，計算求解即可．【詳解】解：如圖，過點E作于點F，∵是邊上的高，∴，又∵平分，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質．熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇徐州·八年級統考期中）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，若的周長是，則的周長是（

）A．22 B．15 C．17 D．18【答案】C【分析】由的垂直平分線交于點D，交于點E，易得，又由的周長是，可求得，繼而求得答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∵的周長是，∴，∵，∴的周長是：．故選：C．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意轉化思想與數形結合思想的應用．5．（2023秋·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點、．作直線，交于點，交于點，連接．若，則的周長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由垂直平分線的性質可得，由的周長得到答案．【詳解】解：由作圖的過程可知，是的垂直平分線，∴，∵∴的周長．故選：A．【點睛】此題考查了尺規作圖－線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．6．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝AB?cos60°＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關鍵是作輔助線把PQ轉化到BD的另一側．7．（2023秋·江蘇淮安·八年級統考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，則的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據角平分線性質求出，根據三角形面積公式求出，即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點作于點，

∵是的角平分線，，，∴，∴，∴，即有：，∴，故選：．【點睛】本題考查了角平分線性質，三角形面積的應用，解此題的關鍵是求出長和面積．二、填空題8．（2023秋·江蘇揚州·八年級統考期末）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數分別是2、5，則的長度是____．【答案】3【分析】根據圖形可得是的角平分線，再根據平行線性質及等角對等邊即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，如圖所示，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵點C、P在這把直尺上的刻度讀數分別是2、5，∴，故答案為3．【點睛】本題考查角平分線的判定，平行線性質及等角對等邊，解題的關鍵是根據圖形判斷出角平分線．9．（2023秋·江蘇鹽城·八年級校考期末）如圖，P是的平分線上一點，，，垂足分別為D，E，若，則PE的長是______．【答案】2【分析】根據角平分線的性質解答即可．【詳解】解：∵點是的平分線上一點，，，，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，角平分線的性質主要有角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，中，是的垂直平分線，，的周長為13，則的周長為_____．【答案】23【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，，根據三角形的周長公式計算，即可得到答案．【詳解】解：是的垂直平分線，，，的周長為13，，的周長為：，故答案為：23．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．11．（2022秋·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則：：___________【答案】4：6：5【分析】過點作三邊的高，根據角平分線性質得到，根據三角形面積公式得到面積之比等于三邊之比即可得到答案．【詳解】解：過點作于點，于點，于點，、、是的三條角平分線，，，，的長分別為40，50，60，：：：：：：4：6：5故答案為：4：6：5．【點睛】本題考查了角平分線的性質，掌握輔助線的做法，注意數形結合思想的運用是解題關鍵．12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，的面積為24，的長為8，平分，E、F分別是和上的動點，則的最小值為____________．【答案】6【分析】在上取點，使，過點C作，垂足為H，連接、，交于，得出．根據E、F分別是和上的動點，三角形三邊的關系和垂線段最短得出，求出的長即可得出的最小值．【詳解】解：如圖所示，在上取點，使，過點C作，垂足為H，連接、，交于，．∵的面積為24，的長為8，∴，∴，∵平分，∴又∵，，∴≌（SAS），∴，∴，∵E、F分別是和上的動點，∴，∴∴當C、E、共線且點與點H重合時，即，這時的值最小，∴最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題考查軸對稱—最短路線問題．靈活應用角平分線性質、三角形三邊的關系、垂線段最短，將所求最小值轉化為求的長是解題的關鍵．三、解答題13．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯考階段練習）如圖，于點E，于點F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數量關系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據證明，得到，再根據角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過證明，得到，利用線段之間的關系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，以及角平分線的判定定理，解題的關鍵是靈活利用相關性質進行求解．14．我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個箏形，其中，，對角線，相交于點，，，垂足分別是，，求證；【答案】見解析【分析】已知，，結合，可證，得到，即平分，結合，，即可得證．【詳解】在和中，∵，，，∴，∴，∴平分，又∵，，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．15．（2023秋·江蘇南京·八年級統考期末）已知，求作點P，使得點P與三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】分別作、邊上的垂直平分線的交點即為所求．【詳解】如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查了尺規作垂線，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．16．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你用尺規作出燈柱的位置點．（請保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】分別作線段的垂直平分線和的角平分線，它們的交點即為點．【詳解】解；如圖，點為所作．【點睛】本題考查了作圖——應用與設計作圖，熟知角平分線的性質與線段垂直平分線的性質是解答此題的關鍵．17．（2022秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學校考期中）工人師傅經常利用角尺平分一個任意角．如圖所示，是一個任意角，在邊、上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合．(1)求證：是的平分線；(2)連接，判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)垂直平分，理由見解析【分析】（1）根據題意，得出，再根據，得出，再根據全等三角形的性質，即可得出結論；（2）連接，交于點，首先根據，得出，再根據全等三角形的性質，得出，，進而即可得出結果．【詳解】（1）證明：∵移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合，∴，在和中，，∴，∴，∴是的平分線；（2）解：垂直平分，理由如下：如圖，連接，交于點，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴垂直平分．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、線段垂直平分線的判定，解本題的關鍵在理解題意，靈活運用全等三角形的判定方法證明三角形全等．一、單選題1．三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當的位置在三角形的（）A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據題意可知，凳子的位置應該到三個頂點的距離相等，從而可確定答案．【詳解】因為三邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學的距離相等，以保證游戲的公平，故選：D．【點睛】本題主要考查垂直平分線的應用，掌握垂直平分線的性質是關鍵．2．如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點B，點E是BD的中點，連接AE，CE，則AE與CE的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以得到，再根據垂線段最短即可得出結論．【詳解】解：∵，E是BD的中點，∴．又∵于點B，∴AE是斜線段，BE是垂線段．∴AE>BE．∴AE>CE．故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，和垂線段最短的定理，正確理解并應用這些知識點是解題關鍵．3．到三角形三個頂點距離相等的點是（）的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點【答案】A【分析】根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等即可判斷．【詳解】解：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，故選：Ａ．【點睛】本題考查了線段垂直平分線性質的應用，解題的關鍵是：掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．4．如圖，在中，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E．過點C作，垂足為點D，與相交于點F．若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接DE，如圖，利用基本作圖得到AE=CE，則DE為斜邊AC的中線，所以DE=AE=CE，則∠ADE=∠A=34°，接著證明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性質計算∠BFC的度數．【詳解】解：連接DE，如圖，由作法得MN垂直平分AC，∴AE=CE，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDE=90°，∵DE為斜邊AC的中線，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A=34°，∵BD=CE，∴BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．故選：B．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．5．如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點，連接，則下列結論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】證明△BDF≌△ADC，可判斷①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延長CF交AB于H，證明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判斷③；根據①可以得到E是AC的中點，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質可判斷④．【詳解】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正確，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②錯誤；延長CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正確；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周長=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周長等于AB，故④正確，綜上：①③④正確，故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質與判定，也利用了三角形的周長公式解題，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高．二、填空題6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．【答案】45【分析】根據三角形全等的判定和性質，先證△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【詳解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（對頂角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°．∴∠ABC=∠BAD=45°．故答案為：45．【點睛