第八章解析幾何第4課時(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[考試要求]

1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．鏈接教材·夯基固本1．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷<＝>>＝<2．圓與圓的位置關(guān)系若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＜|r1－r2|[常用結(jié)論]1．圓的切線方程的常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.(4)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，那么兩圓外切．(

)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交．(

)(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(

)(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)×××√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P93練習(xí)T1改編)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為(

)A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離√2．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P96例5改編)圓x2＋y2－2y＝0與圓x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．內(nèi)切C．外切 D．內(nèi)含B

[兩圓方程可化為x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.兩圓圓心分別為O1(0,1)，O2(0,0)，半徑分別為r1＝1，r2＝2.因?yàn)閨O1O2|＝1＝r2－r1，所以兩圓內(nèi)切．]√4．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P92例2改編)過點(diǎn)A(3,5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為______________.典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系[典例1]

(1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．相切C．相離 D．不確定(2)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2C．3 D．4√√法三(點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法)：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓C相交．

1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．2．圓上的點(diǎn)到直線的距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題該類問題常借助于圖形轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解．設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d.如圖1，若圓上恰有一點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足d＝r＋t.如圖2，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足d＝r－t.由圖1、圖2可知，若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足r－t＜d＜r＋t.若圓上恰有四點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足d＜r－t.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(多選)(2025·煙臺(tái)模擬)已知圓C：(x－5)2＋(y－5)2＝16與直線l：mx＋2y－4＝0，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A．直線l與圓C不一定相交C．當(dāng)m＝－2時(shí)，圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程是(x＋3)2＋(y＋3)2＝16√√(2)(2022·新高考Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________.

考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件√(2)(多選)已知圓C1：x2＋y2＝9與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列說法正確的是(

)A．C1與C2的公切線恰有4條B．C1與C2相交弦的方程為3x＋4y－9＝0D．若P，Q分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|max＝12(3)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.√√

1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)若圓x2＋(y－2)2＝4與圓x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三條公切線，則m的取值范圍是(

)(3)(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程______________.√

考點(diǎn)三圓的切線、弦長(zhǎng)問題

切線問題(1)過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．(2)因?yàn)?3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓C的切線．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為

y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，

弦長(zhǎng)問題A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)(2024·全國甲卷)已知直線ax＋y＋2－a＝0與圓C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為(

)A．2 B．3C．4 D．6√√

求圓的切線、弦長(zhǎng)時(shí)需注意的問題(1)過圓上一點(diǎn)有且只有一條切線，過圓外一點(diǎn)，一定有兩條切線，特別注意斜率不存在的情況．(2)對(duì)于已知弦長(zhǎng)求直線方程的問題，若弦是直徑，則有且只有一條，否則一定有兩條；兩種情況常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)由直線y＝x＋1上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C：(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為(

)√√

考點(diǎn)四與圓有關(guān)的綜合問題[典例5]已知圓O：x2＋y2＝2，直線l：y＝kx－2.(1)若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB為銳角時(shí)，求k的取值范圍；解：(1)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，當(dāng)∠AOB為銳角時(shí)，

立足直線與圓的位置關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化是求解本類題目的關(guān)鍵．同時(shí)，在坐標(biāo)運(yùn)算中，借助圓的幾何性質(zhì)，可以大大提高運(yùn)算速度．跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直