第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第4課時(shí)函數(shù)的對稱性[考試要求]

1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題．鏈接教材·夯基固本1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱．(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線______對稱；若函數(shù)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱中心為點(diǎn)_______.原點(diǎn)y軸x＝a(a,0)2．函數(shù)的軸對稱和中心對稱(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)?f(2a－x)＝f(x)．(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)______對稱．(a,0)3．兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于______對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于______對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于______對稱．y軸x軸原點(diǎn)一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若函數(shù)y＝f(x－1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(

)(2)若函數(shù)y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱．(

)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．(

)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝－f(1－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(

)×√××二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P85思考改編)函數(shù)f(x)＝x3＋x的圖象關(guān)于(

)A．x軸對稱 B．y軸對稱C．原點(diǎn)對稱 D．直線y＝x對稱C

[因?yàn)閒(x)＝x3＋x為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．故選C．]√A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱√3．(多選)(人教A版必修第一冊P84例6改編)下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于y軸對稱的是(

)√√4．(人教A版必修第一冊P87T13(1)改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．已知f(x)＝mx3＋nx＋1.(1)若f(x)在[－6,6]上的最大值為M，最小值為N，則M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，則函數(shù)f(x)的對稱中心為點(diǎn)_______.(1)2

(2)(0,1)

[(1)因?yàn)閥＝mx3＋nx在R上為奇函數(shù)，所以在[－6,6]上，ymax＝－ymin，所以M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2.(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx為奇函數(shù)，所以對稱中心為點(diǎn)(0,0)，所以函數(shù)f(x)的對稱中心為點(diǎn)(0,1)．法二：因?yàn)間(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上為奇函數(shù)，典例精研·核心考點(diǎn)考點(diǎn)一軸對稱問題[典例1]

(1)(2025·泰安模擬)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范圍為(

)A．(2，＋∞)

B．(－∞，0)∪(2，＋∞)√(2)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱C．f(x)的周期為4D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)√√√(1)B

(2)ACD

[(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)y＝f(x＋1)的對稱軸為y軸，又函數(shù)y＝f(x＋1)向右平移1個(gè)單位長度可得y＝f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)的對稱軸為直線x＝1，且在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，解得x＜0或x＞2.故選B.(2)因?yàn)閒(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，故C正確；因?yàn)閒(x)的周期為4且為偶函數(shù)，所以y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．]

軸對稱的幾種表述形式(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知函數(shù)f(x)＝3|x－a|＋2，且滿足f(5＋x)＝f(3－x)，則f(6)＝(

)A．29

B．11

C．3

D．5(2)已知函數(shù)g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，則該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝________.(1)B

(2)1

[(1)因?yàn)閒(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，而f(x)＝3|x－a|＋2的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，所以a＝4，f(6)＝3|6－4|＋2＝11.故選B.√(2)已知函數(shù)g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，因?yàn)間(1＋x)－g(1－x)＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1＋x－1＋e－1－x＋1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1－x－1＋e－1＋x＋1)＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0，所以y＝g(x＋1)是一個(gè)偶函數(shù)．所以g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱.]考點(diǎn)二中心對稱問題[典例2]

(1)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x＋2)為偶函數(shù)，f(－3x＋1)為奇函數(shù)，則下列式子一定成立的是(

)A．f(2)＝0 B．f(1)＝0C．f(0)＝0 D．f(－1)＝0√√A．0 B．n

C．2n D．3n√(1)BD

(2)C

[(1)因?yàn)閒(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝2對稱，因?yàn)閒(－3x＋1)為奇函數(shù)，所以f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(1)＝0，B正確；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(3)＝0，(2)由對任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1，

中心對稱的幾種表述形式[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1(2)(多選)以下函數(shù)的圖象是中心對稱圖形的是(

)A．f(x)＝2x2＋1 B．f(x)＝x3√√√√(1)D

(2)BCD

[(1)因?yàn)閒(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱，所以將f(x)向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋1)＋1，該函數(shù)的對稱中心為點(diǎn)(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1為奇函數(shù)．(2)對于A，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)＝2x2＋1無對稱中心，故A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)f(x)＝x3是奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B正確；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f(0)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)，當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D正確．故選BCD.]考點(diǎn)三兩函數(shù)圖象間的對稱問題[典例3]

(1)已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象(

)A．關(guān)于直線x＝1對稱

B．關(guān)于直線x＝3對稱C．關(guān)于直線y＝3對稱

D．關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱√(2)(多選)函數(shù)f(x)＝sinx與g(x)＝cosx的圖象關(guān)于某條直線對稱，這條直線的方程可以是(

)√√(1)A

(2)AD

[(1)設(shè)P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點(diǎn)，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點(diǎn)Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖