概率練習題知識點、一要點一、古典概型滿足下列兩個特點的概率問題稱為古典概型.一次試驗中，可能出現的結果是有限的；一次試驗中，各種結果發生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結果在全部可能的試驗結果中所占的比例分析事件的概率.要點詮釋：如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為P（A）=.要點二、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：（1）列表法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率.樹形圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；（2）在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同.要點三、利用頻率估計概率當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，一般用統計頻率的方法來估計概率.要點詮釋：用試驗去估計隨機事件發生的概率應盡可能多地增加試驗次數，當試驗次數很大時，結果將較為精確.練習題、二（1）選擇題1．經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，如果這三種可能性大小相同，則兩輛汽車經過這個十字路口時，一輛向右轉，一輛向左轉的概率是（）A． B． C． D．2．從馬鳴、楊豪、陸暢、江寬四人中抽調兩人參加“寸草心”志愿服務隊，恰好抽到馬鳴和楊豪的概率是（）A． B． C． D．3．為了慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識競賽活動，在獲得一等獎的學生中，有3名女學生，1名男學生，則從這4名學生中隨機抽取2名學生，恰好抽到2名女學生的概率為（）A． B． C． D．4.如圖，小明從A入口進入博物館參觀，參觀后可從B，C，D三個出口走出，他恰好從C出口走出的概率是(????)A.14

B.13

C.125．一個不透明的盒子中裝有2個黑球和4個白球，這些球除顏色外其他均相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是（）A．至少有1個白球 B．至少有2個白球 C．至少有1個黑球 D．至少有2個黑球6．“一個不透明的袋中裝有三個球，分別標有1，2，x這三個號碼，這些球除號碼外都相同，攪勻后任意摸出一個球，摸出球上的號碼小于5”是必然事件，則x的值可能是（）A．4 B．5 C．6 D．77．某軌道列車共有3節車廂，設乘客從任意一節車廂上車的機會均等，某天甲、乙兩位乘客同時乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節車廂上車的概率是（）A． B． C． D．8.現有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率是(????)A.16 B.18 C.110 9．工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）A． B． C． D．10．在六張卡片上分別寫有6，﹣，3.1415，π，0，六個數，從中隨機抽取一張，卡片上的數為無理數的概率是（）A． B． C． D．11．“成語”是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀．下列成語：①“水中撈月”，②“守株待兔”，③“百步穿楊”，④“甕中捉鱉”描述的事件是不可能事件的是（）A．① B．② C．③ D．④12．小明計劃到永州市體驗民俗文化，想從“零陵漁鼓、瑤族長鼓舞、東安武術、舜帝祭典”四種民俗文化中任意選擇兩項，則小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的概率為（）A． B． C． D．13.“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發生的概率為P，則（）A.P＝0 B.0＜P＜1 C.P＝1 D.P＞114．甲、乙兩個不透明的袋子中各有三種顏色的糖果若干，這些糖果除顏色外無其他差別．具體情況如下表所示．袋子糖果紅色黃色綠色總計甲袋2顆2顆1顆5顆乙袋4顆2顆4顆10顆若小明從甲、乙兩個袋子中各隨機摸出一顆糖果，則他從甲袋比從乙袋（）A．摸出紅色糖果的概率大 B．摸出紅色糖果的概率小C．摸出黃色糖果的概率大 D．摸出黃色糖果的概率小15．一個不透明的口袋中有4個紅球，6個綠球，這些球除顏色外無其他差別，從口袋中隨機摸出1個球，則摸到綠球的概率是A． B． C． D．16．小穎有兩頂帽子，分別為紅色和黑色，有三條圍巾，分別為紅色、黑色和白色，她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是A． B． C． D．（2）填空題1.在一個不透明的袋中裝有大小和質地都相同的5個球：2個白球和3個紅球．從中任意取出1個球，取出的球是紅球的概率是___．2．有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是．3．一個不透明的袋子中裝有5個小球，其中3個白球，2個黑球，這些小球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是白球的概率為．4．拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，則兩次都是“正面朝上”的概率是．5．一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區域的概率是______．6．一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機地停留在某塊方磚上，則小球停留在黑色區域的概率是．7．一個不透明的口袋中有兩個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2．隨機摸取一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸取一個小球，兩次取出的小球標號的和等于4的概率為．8．在一個不透明袋子中，裝有3個紅球，5個白球和一些黃球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機摸出一個球是白球的概率為，則袋中黃球的個數為．（3）簡答題1．某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示．嘉淇進入展廳后開始自由參觀，每走到一個十字道口，她自己可能直行，也可能向左轉或向右轉，且這三種可能性均相同．（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）補全圖2的樹狀圖，并分析嘉淇經過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大．2.為了引導青少年學黨史、頌黨恩、跟黨走，某中學舉行了“南獻禮建黨百年”黨史知識競賽活動．胡老師從全校學生的答卷中隨機地抽取了部分學生的答卷進行了統計分析（卷面滿分100分，且得分均為不小于60的整數）﹐并將競賽成績劃分為四個等級：基本合格（）．合格（）、良好（）、優秀（），制作了如下統計圖（部分信息未給出）：所抽取成績的條形統計圖所抽取成績的扇形統計圖根據圖中提供的信息解決下列問題：（1）胡老師共抽取了____________名學生的成績進行統計分析，扇形統計圖中“基本合格”等級對應的扇形圓心角度數為____________﹐請補全條形統計圖．（2）現從“優秀”等級的甲、乙、丙、丁四名學生中任選兩人參加全市黨史知識競賽活動，請用畫樹形圖的方法求甲學生被選到的概率．3．2023年，黃岡、咸寧、孝感三市實行中考聯合命題，為確保聯合命題的公平性，各市從語文、數學、英語三個學科中隨機抽取一科；第二輪；第三輪，各市從道德與法治、地理、生物三個學科中隨機抽取一科．（1）黃岡在第一輪抽到語文學科的概率是；（2）用畫樹狀圖或列表法求黃岡在第二輪和第三輪抽簽中，抽到的學科恰好是歷史和地理的概率．4．為慶祝中國共產黨建黨100周年，某校擬舉辦主題為“學黨史跟黨走”的知識競賽活動．某年級在一班和二班進行了預賽，兩個班參加比賽的人數相同，成績分為A、B、C、D四個等級，其等級對應的分值分別為100分、90分、80分、70分，將這兩個班學生的最后等級成績分析整理繪制成了如圖的統計圖．（1）這次預賽中，二班成績在B等及以上的人數是多少？（2）分別計算這次預賽中一班成績的平均數和二班成績的中位數；（3）已知一班成績A等的4人中有兩個男生和2個女生，二班成績A等的都是女生，年級要求從這兩個班A等的學生中隨機選2人參加學校比賽，若每個學生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1個男生的概率．5．疫苗接種初期，為更好地響應國家對符合條件的人群接種新冠疫苗的號召，某市教育部門隨機抽取了該市部分七、八、九年級教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統計表：已接種未接種合計七年級301040八年級3515a九年級40b60合計105c150（1）表中，a＝，b＝，c＝；（2）由表中數據可知，統計的教師中接種率最高的是年級教師；（填“七”或“八”或“九”）（3）若該市初中七、八、九年級一共約有8000名教師，根據抽樣結果估計未接種的教師約有人；（4）為更好地響應號召，立德中學從最初接種的4名教師（其中七年級1名，八年級1名，九年級2名）中隨機選取2名教師談談接種的感受，請用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級的概率．6．在一個不透明的口袋中裝有三個小球，分別標記數字1、2、3，每個小球除數字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戲，兩人各摸一個球，誰摸到的數字大誰獲勝，摸到相同數字記為平局．小明從口袋中摸出一個小球記下數字后放回并攪勻，小亮再從口袋中摸出一個小球．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明獲勝的概率．7．將4張分別寫有數字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．求下列事件發生的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）（1）取出的2張卡片數字相同；（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數字為“3”．8．為慶祝建黨100周年，某大學組織志愿者周末到社區進行黨史學習宣講，決定從A，B，C，D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩名志愿者參加．抽簽規則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字．（1）“A志愿者被選中”是事件（填“隨機”或“不可能”或“必然”）；（2）請你用列表法或畫樹狀圖法表示出這次抽簽所有可能的結果，并求出A，B兩名志愿者被選中的概率．答案、（1）選擇題1.【分析】可以采用列表法或樹狀圖求解．可以得到一共有9種情況，一輛向右轉，一輛向左轉有2種結果數，根據概率公式計算可得．【解答】解：畫“樹形圖”如圖所示：∵這兩輛汽車行駛方向共有9種可能的結果，其中一輛向右轉，一輛向左轉的情況有2種，∴一輛向右轉，一輛向左轉的概率為；故選：B．2．C【解析】根據題意畫圖如下：共有12種等可能情況數，其中恰好抽到馬鳴和楊豪的有2種，則恰好抽到馬鳴和楊豪的概率是；故選：C．3.【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，恰好抽到2名女學生的結果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結果，恰好抽到2名女學生的結果有6種，∴恰好抽到2名女學生的概率為＝，故選：B．4.【答案】B

【解析】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有6種等可能結果，其中從C出口出來的有2種結果，

所以恰好在C出口出來的概率為26=13，

故選：B．

畫樹狀圖，共有6種等可能結果，其中從C出口出來的有25.【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念分別進解答即可得出答案．【解答】解：至少有1個球是白球是必然事件，故本選項符合題意；至少有2個球是白球是隨機事件，故本選項不符合題意；至少有1個球是黑球是隨機事件，故本選項不符合題意；至少有2個球是黑球是隨機事件，故本選項不符合題意；故選：A．6.【分析】根據必然事件的意義，進行解答即可．【解答】解：根據題意可得，x的值可能為4．如果是5、7、6，那么與摸出球上的號碼小于5”是必然事件相違背．故選：A．7.【分析】用樹狀圖表示所有等可能的結果，再求得甲和乙從同一節車廂上車的概率．【詳解】解：將3節車廂分別記為1號車廂，2號車廂，3號車廂，用樹狀圖表示所有等可能的結果，共有9種等可能的結果，其中，甲和乙從同一節車廂上車的有3可能，即甲和乙從同一節車廂上車的概率是，故選：C．【點睛】本題考查概率，涉及畫樹狀圖求概率，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．8.【答案】A

【解析】解：把4張卡片分別記為：A、B、C、D，

畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結果，兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的結果有2種，

∴兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率為212=16，

故選：A．

畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的結果有2種，再由概率公式求解即可．

此題考查的是列表法或樹狀圖法求概率以及概率公式．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．

9.【分析】畫樹狀圖，共有20【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為＝，故選：C．10.【分析】先找出無理數，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵六張卡片上分別寫有6，﹣，3.1415，π，0，六個數，無理數的是π，，∴從中任意抽取一張卡片上的數為無理數的概率是：＝．故選：C．11.【解答】解：①“水中撈月”是不可能事件，符合題意；②“守株待兔”是隨機事件，不合題意；③“百步穿楊”，是隨機事件，不合題意；④“甕中捉鱉”是必然事件，不合題意；故選：A．12.【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“零陵漁鼓、瑤族長鼓舞、東安武術、舜帝祭典”四種民俗文化分別記為：A、B、C、D，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結果，小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的結果有2種，∴小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的概率為＝，故選：D．13.【答案】C【解析】【分析】根據不可能事件的概率為，隨機事件的概率大于而小于，必然事件的概率為1，即可判斷．【詳解】解：∵一年有12個月，14個人中有12個人在不同的月份過生日，剩下的兩人不論哪個月生日，都和前12人中的一個人同一個月過生日∴“14人中至少有2人在同一個月過生日”是必然事件，即這一事件發生的概率為．故選：．【點睛】本題考查了概率的初步認識，確定此事件為必然事件是解題的關鍵．14．C【分析】分別對甲乙兩個袋子的紅色及黃色的糖果的概率進行計算，再去比較即可．【詳解】解：P（甲袋摸出紅色糖果），P（甲袋摸出黃色糖果），P（乙袋摸出紅色糖果），P（乙袋摸出黃色糖果），∴P（甲袋摸出紅色糖果）=P（乙袋摸出紅色糖果），故A，B錯誤；P（甲袋摸出黃色糖果）>P（乙袋摸出黃色糖果），故D錯誤，C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了簡單概率的計算，掌握概率公式并能靈活掌握是解題關鍵．15.【解答】解：袋中裝有4個紅球，6個綠球，共有10個球，摸到綠球的概率為：；故選：．16.【解答】解：畫樹狀圖如圖：，共有6個等可能的結果，恰好取到紅色帽子和紅色圍巾的結果有1個，恰好取到紅色帽子和紅色圍巾的概率為，故選：．（2）填空題

1.【答案】【解析】【分析】根據概率公式即可求解．【詳解】2個白球和3個紅球．從中任意取出1個球，取出的球是紅球的概率是故答案為：．2.【分析】隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．【解答】解：由題意得，共有2×4＝8種等可能情況，其中能打開鎖的情況有2種，故一次打開鎖的概率為＝，故答案為：．3.【分析】用白球的個數除以球的總個數即可．【解答】解：∵從袋子中隨機摸出一個小球共有5種等可能結果，摸出的小球是白球的結果數為3，∴摸出的小球是紅球的概率為，故答案為：．4.【分析】畫樹狀圖展示所有4種等可能的結果數，再找出兩次都是“正面朝上”的結果數，然后根據概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結果數，其中兩次都是“正面朝上”的結果有1種，∴兩次都是“正面朝上”的概率＝．故答案為：．5.【分析】先判斷黑色區域的面積，再利用概率公式計算即可【詳解】解：因為正方形的兩條對角線將正方形分成面積相等的四個三角形，即四個黑色三角形的面積等于一個小正方形的面積，所以黑色區域的面積為2個小正方形的面積，而共有9個小正方形則有小球停留在黑色區域的概率是故答案為：6.【解答】解：由圖可知：黑色區域在整個地面中所占的比值，小球最終停留在黑色區域的概率，故答案為：．7.【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有4種等可能的結果，兩次取出的小球標號的和等于4的結果有1種，兩次取出的小球標號的和等于4的概率為，故答案為：．8.【解答】解：設有黃球個，根據題意得：，解得：，經檢驗是原方程的解，故答案為：7．（3）簡答題1.【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）補全樹狀圖，共有9種等可能的結果，嘉淇經過兩個十字道口后向西參觀的結果有3種，向南參觀的結果有2種，向北參觀的結果有2種，向東參觀的結果有2種，由概率公式求解即可．【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率為；（2）補全樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，嘉淇經過兩個十字道口后向西參觀的結果有3種，向南參觀的結果有2種，向北參觀的結果有2種，向東參觀的結果有2種，∴向西參觀的概率為＝，向南參觀的概率＝向北參觀的概率＝向東參觀的概率＝，∴向西參觀的概率大．2.【答案】（1）40，；（2）3.【分析】（1）直接根據概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【解答】解：（1）黃岡在第一輪抽到語文學科的概率是，故答案為：；（2）列表如下：物理化學歷史道法（物理，道法）（化學，道法）（歷史，道法）地理（物理，地理）（化學，地理）（歷史，地理）生物（物理，生物）（化學，生物）（歷史，生物）由表可知共有9種等可能結果，其中抽到的學科恰好是歷史和地理的只有2種結果，所以抽到的學科恰好是歷史和地理的概率為．4.【分析】（1）由條形圖得出一班比賽的人數為20人，則二班參賽人數為20人，即可解決問題；（2）由加權平均數定義和中位數定義分別求解即可；（3）畫樹狀圖，共有30種等可能的結果，抽取的2人中至少有1個男生的結果有18種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由條形圖可知，一班比賽的人數為：4+9+5+2＝20（人），∵兩個班參加比賽的人數相同，∴二班參賽人數為20人，∴這次預賽中，二班成績在B等及以上的人數為：20×10%+20×35%＝9（人）；（2）一班成績的平均數為：（100×4+90×9+80×5+70×2）＝87.5（分），由題意得：二班成績的中位數為80分；（3）∵二班成績A等的都是女生，∴二班成績A等的人數為：20×10%＝2（人），把一班成績A等的2個男生分別記為A、B，其他成績A等的4個女生分別記為C、D、E、F，畫樹狀圖如圖：共有30種等可能的結果，抽取的2人中至少有1個男生的結果有18種，∴抽取的2人中至少有1個男生的概率為＝．5.【分析】（1）由統計表中的數據求解即可；（2）分別