湖南省衡陽市祁東縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷1．已知復(fù)數(shù)z滿足zi=1?2i，則z=A．2+i B．?2+i C．?2?i D．2?i2．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=2,c=1,B=60°，則A．π6 B．π4 C．π33．給出下列四個結(jié)論：①經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；②經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；③經(jīng)過三點(diǎn)，有且只有一個平面；④經(jīng)過一條直線和一個點(diǎn)，有且只有一個平面.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知小王4次月考的數(shù)學(xué)成績分別為125，116，120，131，則這些成績的第75百分位數(shù)是（）A．122.5 B．125 C．128 D．1315．從標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片中任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字相鄰的概率是（）A．13 B．12 C．236．某商品3?5月份在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的銷量如下圖所示，則在這四個地區(qū)中該商品3?5月份銷量方差最小的為（）A．甲地區(qū) B．乙地區(qū) C．丙地區(qū) D．丁地區(qū)7．已知方程x3?1=0的根分別為x1A．0 B．2 C．2101 D．8．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為線段A1A．66 B．55 C．339．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，下列結(jié)論正確的是（）A．若A>B>C，則0<tanC<B．若A>B，則sinA>sinBC．若A=150°,a=2D．若A=C=30°10．在拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“出現(xiàn)小于5的奇數(shù)點(diǎn)數(shù)”，事件B表示“出現(xiàn)不小于5的點(diǎn)數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A．PB．PC．PD．事件A或B至少有一個發(fā)生的概率為211．如圖1，一圓形紙片的圓心為O，半徑為83，以O(shè)為中心作正六邊形ABCDEF，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓O上.現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺.若該正六棱臺的高為2A．正六邊形ABCDEF的邊長為4 B．該正六棱臺的側(cè)面積為54C．該正六棱臺的外接球半徑為704 D．該正六棱臺的體積為12．某中學(xué)高一年級有男生640人，女生480人.為了解該年級男?女學(xué)生的身高差異，應(yīng)采用（從“簡單隨機(jī)”和“分層隨機(jī)”中選一個最合適的填入）抽樣.若樣本容量為112，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為.13．現(xiàn)用一枚甲型導(dǎo)彈和一枚乙型導(dǎo)彈各射擊目標(biāo)一次，則目標(biāo)被擊中的概率為1415.已知一枚甲型導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的概率是23，且甲?乙兩種導(dǎo)彈是否擊中目標(biāo)互不影響，則一枚乙型導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的概率是14．已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠ABC=120°,AC=2，則△AOC15．已知平面向量a,b,（1）若a//b，求（2）若2a+c⊥a16．為了了解一片林木的生長情況，某科研機(jī)構(gòu)成員隨機(jī)檢測了其中100棵樹木的底部周長（單位：cm)，所得數(shù)據(jù)都在[80,130]內(nèi)，按[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計這片林木中樹木底部周長的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）若這片林木有10000棵樹木，估計這片林木中底部周長在[90,110)內(nèi)的樹木的數(shù)量.17．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知C=2A,c=4（1）求cosA；（2）若a=3，求△ABC的周長．18．為普及防火救災(zāi)知識，某學(xué)校組織防火救災(zāi)知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手在第一輪比賽勝出后才能進(jìn)入第二輪比賽.若其在兩輪比賽中均勝出，則贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為23,3（1）比較甲?乙兩人誰贏得比賽的概率大；（2）求甲贏得比賽且乙沒贏得比賽的概率.19．在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB=AD=8,PA=6，平面PBC⊥平面PAC,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn)．（1）證明：MN//平面ABCD．（2）證明：BC⊥AC．（3）若二面角C?PB?A的正切值為533，求三棱錐

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由zi=1?2i，可得z=1?2ii=故答案為：B.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)z，再求z即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：a=2,c=1,B=60°，

由余弦定理可得：b2由正弦定理2sinA=3sin60故答案為：D.【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：①、根據(jù)基本事實(shí)以及推論可知：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面，故①正確；

②、根據(jù)基本事實(shí)以及推論可知：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面，故②正確；③、若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過三點(diǎn)的平面有無數(shù)多個，故③錯誤；④、若點(diǎn)在直線外，則確定一個平面，若點(diǎn)在直線上，則可有無數(shù)個平面，故④錯誤.即正確的命題有2個，故答案為：B.【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的基本事實(shí)及推論進(jìn)行判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：數(shù)學(xué)成績從小到大排列為116,120,125,131，4×75%=3，則成績的第75百分位數(shù)是125+1312故答案為：C.【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再利用百分位數(shù)的概念計算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知：樣本空間Ω=1,2,1,3,1,4則這兩張卡片上的數(shù)字相鄰的概率是P=3故答案為：B.【分析】利用古典概型概率公式求解即可．6．【答案】D【解析】【解答】解：由銷兩圖可知：丁地區(qū)銷量最穩(wěn)定，則丁地區(qū)銷量的方差最小．故答案為：D.【分析】根據(jù)方差的意義判斷即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：(1?3i)=2100?1+故答案為：A.【分析】由復(fù)數(shù)根的性質(zhì)進(jìn)行配湊，結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：取B1C1的中點(diǎn)H，連接PH,HQ，如圖所示：

設(shè)正方體的棱長為2a，

在△A1B1C1中，因?yàn)樗訮H為△A1B又因?yàn)锳1B1⊥平面BCC則∠PQH為直線PQ與平面BCC1B由PH=12A要使PQ與平面BCC1B可知當(dāng)Q與點(diǎn)B重合時，QH最大，此時QH=5則sin∠PQH=PH故答案為：A.【分析】取B1C1的中點(diǎn)H，連接PH,HQ，設(shè)正方體的棱長為2a，推出∠PQH為直線PQ與平面BCC19．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若C≥60°，則A+B+C>180°，顯然不成立，B、若A>B，則a>b，由正弦定理asinA=C、若A=150°,a=2，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，由2sin150D、若A=C=30°，則B=120°，由故答案為：ABD．【分析】由正切函數(shù)性質(zhì)即可判斷A；利用正弦定理即可判斷BCD．10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：記事件A=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，3”，記事件B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5，6”，

A、易知事件A,B互斥，則PABB、事件AB表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，3”，PABC、由上知PAB=D、因?yàn)镻A∪B故答案為：BCD．【分析】根據(jù)各事件包含的點(diǎn)數(shù)，再由概率公式計算概率逐項(xiàng)判斷即可.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如圖1，設(shè)以AB為底邊的等腰三角形的中位線為A1連接OA'，分別交A1B1,AB于點(diǎn)設(shè)AB=2a，則由中位線和正六邊形性質(zhì)得A1所以O(shè)N=OAsin∠OAB=2a?sin60°=折疊后形成的正六棱臺如圖2所示，由正六邊形性質(zhì)O1A1設(shè)上底面A1B1C1D1E1連接O1O，則O1O是正六棱臺過點(diǎn)M作MG⊥ON交ON于點(diǎn)G，則由由正六棱臺結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知MG⊥平面ABCDEF，故MG=O在Rt△MNG中，MN=MG由①②得83?3所以正六棱臺ABCDEF?A1B1C該正六棱臺的側(cè)面高為MN=96+3所以正六棱臺側(cè)面積為12由O1O=26>OA=4以及正六棱臺和球的對稱性可知正六棱臺的外接球球心連接O2D,O2D由勾股定理得O所以O(shè)O又因?yàn)镺1所以O(shè)O22則r2=OO因?yàn)檎馀_上底面面積S1=3所以所求體積V=1故答案為：ABD.【分析】求出ON與AB的關(guān)系即可由MN=MG2+ON?O1M212．【答案】分層隨機(jī)；48【解析】【解答】解：男?女學(xué)生的身高存在明顯差異，采取分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本；

若樣本容量為112，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為480640+480故答案為：分層隨機(jī)，48.【分析】利用分層抽樣結(jié)合分層抽樣的樣本容量的計算公式求解即可.13．【答案】4【解析】【解答】解：設(shè)乙型導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的概率是p，

由題意可得：1?1?23故答案為：4【分析】利用獨(dú)立事件結(jié)合對立事件求解即可.14．【答案】2?【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠ABC=120°，

所以由余弦定理AC可得4=OA2+O故△AOC的面積S=1故答案為：2?3【分析】由題意，利用余弦定理求出OA?OC≤415．【答案】（1）解：a?=3,4,b?=（2）解：易知a=9+16=5，c?=4，

若2a+則cosa因?yàn)閍,c∈【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列式求解即可；（2）根據(jù)垂直結(jié)合向量的模長求出a?（1）根據(jù)題意可得3×?8解得λ=?6．（2）由2a+c因?yàn)閍=9+16=5所以a?所以cosa又a,c∈16．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖各矩形面積和為1可得0.015+a+0.035+0.020+0.005×10=1，解得a=（2）解；設(shè)這片林木中樹木底部周長的平均值為x，則x=85×0.15+95×0.25+105×0.35+115×0.2+125×0.05=102.5cm（3）解：由頻率分布直方圖可知這片林木中樹木的底部周長在[90,110)內(nèi)的頻率是(0.025+0.035)×10=0.6，則這片林木中底部周長在[90,110)內(nèi)的樹木的數(shù)量的估計值是10000×0.6=6000.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積之和為1列式求解a的值即可；（2）利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的平均值即可；（3）由范圍內(nèi)的頻率計算頻數(shù).（1）由頻率分布直方圖可得0.015+a+0.035+0.020+0.005×10=1，解得a=（2）設(shè)這片林木中樹木底部周長的平均值為x，則x（3）由頻率分布直方圖可知這片林木中樹木的底部周長在[90,110)內(nèi)的頻率是(0.025+0.035)×10=0.6，則這片林木中底部周長在[90,110)內(nèi)的樹木的數(shù)量的估計值是10000×0.6=6000.17．【答案】（1）解：由C=2A，可得sinC=2sinAcosA，c=43a，由正弦定理可得sinC=因?yàn)閟inA>0，所以cosA=2（2）解：若a=3，則c=4由余弦定理a2=b整理得3b2?16b+21=0，解得b=因?yàn)閏osA=23∈當(dāng)b=3時，cosC=當(dāng)b=73時，則b=73，△ABC的周長為【解析】【分析】（1）由題意，利用正弦定理化簡求值即可；（2）由（1）及余弦定理可得b=73或b=3，再由C為鈍角可排除（1）因?yàn)镃=2A，所以sinC=2sinAcosA.又c=43a，所以sinC=因?yàn)閟inA>0，所以cosA=2（2）因?yàn)閍=3，所以c=4由余弦定理a2=b整理得3b2?16b+21=0，解得b=因cosA=23∈當(dāng)b=3時，cosC=當(dāng)b=73時，則b=73，△ABC的周長為18．【答案】（1）解：設(shè)事件A1=“甲在第一輪比賽中勝出”，事件A2=“甲在第二輪比賽中勝出”，

事件B1=“乙在第一輪比賽中勝出”，事件B2="乙在第二輪比賽中勝出”，

則A1A2=（2）解：設(shè)C=“甲贏得比賽”，D=“乙贏得比賽”，由（1）知PC=13,PD【解析】【分析】（1）由題意，利用獨(dú)立事件的概率公式分別求出甲?乙兩人勝出的概率，再比較大小即可；（2）根據(jù)獨(dú)立事件和對立事件的概率公式求解即可.（1）設(shè)A1=“甲在第一輪比賽中勝出”，B1=“乙在第一輪比賽中勝出”，則A1A2B1B2因?yàn)?3（2）設(shè)C=“甲贏得比賽”，D=“乙贏得比賽”，由（1）知PC所以甲贏得比賽且乙沒贏得比賽的概率為P(CD19．【答案】（1）證明：連接BD，如圖所示：因?yàn)镸,N分別為PB,PD的中點(diǎn)，所以MN為△PBD的中位線，所以MN∥BD，又因?yàn)镸N?平面ABCD,BD?平面ABCD，所以MN//平面ABCD；（2）證明：過A作AH⊥PC交PC于H，如圖所示：因平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC=PC，AH?平面PAC，故AH⊥平面PBC，因?yàn)锽C?平面PBC，所以AH⊥BC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，因?yàn)镻A∩AH=A，所以BC⊥平面PAC，又因?yàn)锳C?平面PAC，所以BC⊥AC；（3）解：過C作CF⊥AB交AB于F，過F作FE⊥PB交PB于E，連接CE，如圖所示：因PA⊥平面ABCD，CF?平面ABCD，則CF⊥PA，因AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB，故得CF⊥平面PAB，因?yàn)镻B?平面PAB，所以CF⊥PB，因?yàn)镕E⊥PB,FE∩CF=F，F(xiàn)E,CF?平面CEF，所以PB⊥平面CEF，又CE?平面CEF，則PB⊥CE，則∠FEC即為二面角C?PB?A的平面角，依題意，tan∠FEC=FC設(shè)EF=3x，則FC=53x．因?yàn)锳B=8,PA=6，所以由△BEF∽△BAP，得BFPB=EFPA，即又由△BFC∽△CFA，得BFCF=FCFA，即AF=8?5×25=6，CF//AD，則△ACD故VC?PAD【解析】【分析】（1）連接BD，證明MN∥BD，由線線平行證線面平行即可；（2）過A作AH⊥PC交PC于H，證AH⊥平面PBC得AH⊥BC，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC，可證BC⊥平面PAC，即可證明BC⊥AC；（3