廣西壯族自治區桂林市2025屆高考第一次跨市聯合模擬考試數學試卷1．已知1+i2z=3+4i，則A．?32i B．?322．已知各項均為正數的等比數列an,aA．2 B．3 C．4 D．53．巴黎奧運會在2024年7月27日至8月12日舉行，在這期間，中國視聽大數據（CVB）顯示，直播總觀看戶次超46億，分天觀看戶次（億）分別為：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．則這組數據的第25百分位數為（）A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.554．已知直線l的一個方向向量為a=2,1，則過點A1,?1A．x?2y?3=0 B．x?2y+1=0 C．2x+y?3=0 D．2x+y?1=05．在平行六面體ABCD?A1B1CA．216 B．76 C．3146．“?x∈R，使axA．a≤0 B．a<?C．a≥1 D．a<?43或a≥07．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1,A．2 B．3 C．5 D．108．函數f(x)=ln|1?x|+ex2A．c>b>a B．b>c>a C．a>b>c D．b>a>c9．已知2x?1A．n=6 B．常數項是第3項C．二項式系數最大值為20 D．所有項系數之和等于110．已知數列an滿足aA．aB．若1a1C．aD．若數列bn滿足bn3n=ana11．已知拋物線E:x=14y2的焦點為F，準線為l,l與x軸的交點為M，過F的直線與A．F坐標為1,0B．當MA⊥MB時，ABC．若AF?BFD．過點F作與AB垂直的直線與E交于C,D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為3212．已知a=1,2,b=3,?2，則13．已知正四面體P?ABC中，AB=23，則該四面體內半徑最大的球的表面積為14．已知函數fnx=sinnx+cosnx，其中n=2k,k∈N?，記函數f15．記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2（1）求B；（2）若b=3，求△ABC的周長的最大值；（3）若△ABC的面積為3,D為AC的中點，且AC=2316．某所學校進行知識競賽，最終甲乙同學進入決賽，爭奪冠軍，決賽一共有文化?科技?體育三個項目，比賽采取每個項目中回答對問題多的那個同學在該項目獲勝并且獲得20分，沒獲勝的同學得0分，三個項目比賽結束，總得分高的同學獲得冠軍，已知甲同學每個項目獲勝的概率分別為45（1）求乙同學總得分為40分的概率；（2）用X表示甲同學的總得分，求X的分布列與期望；（3）判斷甲乙兩名同學誰獲得冠軍的概率大.17．如圖，梯形ABCD中，O為DC上一點，AB=2,AD=2,AO=23，且AO⊥AD,AO//BC，將△DAO沿著AO翻折至PAO所在位置，使得平面PAO⊥平面ABCO，連接PB,PC，得到四棱錐P?ABCO,E為PB（1）若F為AO的中點，證明：EF∥平面POC；（2）在線段PC上是否存在點M，使得OM⊥AB，若存在，求直線BM與平面PAO所成角的正弦值，若不存在，請說明理由.18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求C的方程；（2）已知點M3,1，點P為C外一點，直線PF交C于（i）O為原點，若OQ+OR=（ii）記直線MQ,MR,MP的斜率分別為k1,k2,19．對?x1,x2,?,xn∈a,b，若函數fx在a,b有不等式fx1+x2+?+xnn≤fx1+fx2+?+fxnn，則稱函數fx是在a,b上的“凹函數”，反之，若不等式fx1+（1）判斷函數fx（2）若xi>0(i=1,2,?,n),i=1nxi=1（3）an為（2）問所得結果，證明不等式：n?1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：|1+i|2=故答案為：D．【分析】先利用復數模的運算可得z=32．【答案】C【解析】【解答】解：∵a∴log故答案為：C.【分析】利用等比數列的性質可得a33．【答案】B【解析】【解答】解：將數據從小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，17×25%=4.25，取第五位數據2.21.故答案為：B．【分析】先把數據按從小到大進行排列，再利用百分位數的概念即可求解．4．【答案】D【解析】【解答】解：∵l的方向向量為a=2,1，則l斜率為k=12，

因為直線與l垂直，所以斜率為又∵過A點，所以直線方程為y+1=?2(x?1)，整理可得2x+y?1=0.故答案為：D.【分析】先利用直線方向向量求出斜率k=12，再利用兩直線垂直的關系可得5．【答案】A【解析】【解答】解：以AB,AD,AA1為基底，已知如圖所示：

則DCB1D=1×1×cos所以cosD則直線DC1,故答案為：A.【分析】利用空間向量的基本定理可得DC1=AB+6．【答案】C【解析】【解答】解：當a=0時，?4x?3>0有解；當a>0時，二次函數y=ax2?4x?3當a<0時，ax2?4x?3>0有解，則Δ=?42綜上可得a>?4因為1,+∞真包含于?所以“?x∈R，使ax2?4x?3>0故答案為：C.【分析】分a=0、a>0、a<0三種情況討論，即可求出參數的取值范圍a>?47．【答案】B【解析】【解答】解：已知如圖所示：由雙曲線E:x2a因為2F2A在Rt△OAF2中，OF2=c,∵2F2A則x又因為點B在漸近線y=?bax上，所以3abc=?故答案為：B.【分析】先利用雙曲線方程得到其漸近線方程y=±bax，再結合示意圖分析條件求出點A8．【答案】A【解析】【解答】解：已知fx=ln因為fx=f2?x，所以f當x>1時：ln1?x為增函數，ex2?2x也為增函數，所以因為fx關于x=1對稱，所以fx在∴f23=f∴f3故答案為：A.【分析】由題意可得函數fx的圖像關于對稱性x=1，利用指數型函數和對數型函數的性質可得fx在9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、已知二項式系數和為64，則2n=64，解得B、通項公式為Tk+1=C6kC、因為二項式系數最大項為中間項第四項，所以為C6D、令x=1則系數和為2?16故答案為：ACD.【分析】利用二項式系數的性質即可判斷A；利用二項式及展開式通項Tk+110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：已知an+1=an2an所以1a所以1an所以a3因為1an=3n?1，所以數列所以3n+1?32由bn3n所以Sn=1故答案為：ABD．【分析】先利用題意構造數列可得1an+1是等比數列，利用等比數列的通項公式可得an=13n?111．【答案】A,B,D【解析】【解答】已知如圖所示：

A、已知拋物線化成標準方程：y2=4x，焦點坐標FB、設Ax由題意知，直線AB斜率不為零，設直線AB:x=my+1，x=my+1y可推出：x1MA⊥MB?MA所以1+4m2+2+1?4=0所以AB=C、S△MAB因為AF?所以m2+1=4，D、設Cx3,y3SABCD當且僅當m2故答案為：ABD．【分析】先把拋物線方程化成標準式y2=4x即可判斷A；設Ax1,y1,Bx2,y2,M?1,0，設直線AB:x=my+1，與拋物線方程聯立得y1+y212．【答案】?【解析】【解答】解：因為a=所以a?b=1×3+2×則b在a上的投影向量為：a?故答案為：?1【分析】先利用平面向量的數量積可得a→?b13．【答案】2π【解析】【解答】解：過點P作平面ABC的垂線PD如圖所示：則點D是△ABC的中心，正四面體P?ABC內半徑最大的球為內切球，根據正四面體的性質，其內切球球心和外接球球心都在垂線PD上，設為點O，OA=OP為外接球半徑，OD為內切球半徑R.在Rt△AOD中，OA∵AB=23，∴AD=2,PD=22，則所以22?R2所以內切球表面積S=4πR故答案為：2π.【分析】由題意作出示意圖，利用正四面體的性質結合勾股定理求出內切球半徑為R=22，再利用球的表面積公式14．【答案】?【解析】【解答】解：已知f2k設sin2x=μ0≤μ≤1，則cosg'當0≤μ<12，則所以μk?1<(1?μ)k?1，得g'當12<μ≤1，則所以μk?1>(1?μ)k?1，得g'所以g(μ)min=g所以2λ只需2λ2?tλ+2令bk則bk+1可得bk+1<bk，則所以2λ因為λ>0，則2λ+1因為2λ+1λ≥22λ×1所以t<22故答案為：?∞【分析】設sin2x=μ0≤μ≤1，則cos2x=1?μ，令gμ=μk+(1?μ)k，求導得15．【答案】（1）解：∵b2=(a+c)2?ac,∴b2=a（2）解：由b=3及已知得9=(a+c)又∵ac≤a+c∴(a+c)∴a+c≤23，當且僅當a=c=故△ABC的周長最大值為3+23（3）解：S△ABC=12acsinB=34ac=3?ac=4，則c=4a，b2=a2+c2?2accosB?12=a2+c2+4?a2【解析】【分析】（1）由題意結合余弦定理可得cosB=?1（2）將b=3代入b2（3）先利用三角形面積公式得ac=4，再利用余弦定理及AC=23得出a2（1）∵b又據余弦定理b2=a2∵B∈0,π（2）由b=3及已知得9=(a+c)又∵ac≤a+c∴(a+c)∴a+c≤23，當且僅當a=c=故△ABC的周長最大值為3+23（3）S△ABC=1b2則a2+16∴a=c=2，又D為AC的中點，∴BD⊥AC，又AD∴由勾股定理得BD=16．【答案】（1）解：設三個項目乙獲勝的事件分別為A1,A則PA1∴PA（2）解：由題可知X=0,20,40,60PPPP甲總得分的分布列：X0204060P1774EX（3）解：甲獲勝的概率為PX=40乙獲勝的概率為1?11因為1115所以甲獲勝概率更大.【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式即可求解；（2）依題可知X=0,20,40,60，再利用相互獨立事件的乘法公式分別計算出對應的概率，列出分布列，利用期望的定義即可求解；（3）分別求出甲和乙獲勝概率進行比較即可求解.（1）設三個項目乙獲勝的事件分別為A1,A則PA1∴PA（2）由題可知X=0,20,40,60PPPP甲總得分的分布列：X0204060P1774EX（3）甲獲勝的概率為PX=40乙獲勝的概率為1?11因為1115所以甲獲勝概率更大.17．【答案】（1）證明：取PA的中點N，連接EF,FN,EN如圖所示：∵E,F,N三點分別為PB,AO,PA的中點∴在平面PAO中，NF∥PO，又∵NF?平面POC,PO?平面POC∴NF∥平面POC同理，EN//AB//OC，EN?平面POC,OC?平面POC，所以EN∥平面POC，又∵NF∩EN=N,NF?平面ENF,EN?平面ENF，∴平面ENF∥平面POC，∵EF?平面EFN,∴EF∥平面POC.（2）解：因為平面PAO⊥平面ABCO，平面PAO∩平面ABCO=AO，PA⊥AO,PA?平面PAO，所以，PA⊥平面ABCO.過B作PA的平行線BQ，過B作BG⊥BC交AO于G點.以點B為坐標原點，以BG,BC,BQ所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：

梯形ABCD中，AO⊥AD,AO//BC，AB=2,AD=2,AO=23所以∠BAO=∠AOD=π6，則所以A1,?假設在PC上存在點M使得OM⊥AB，設Mx,y,z設CM=λCP,0≤λ≤1，則因為BA=所以BA?OM=λ?1+9λ?3=0∴BM因為平面PAO⊥平面ABCO，故取平面PAO的一個法向量為n=設直線BM與平面PAO所成角為θ，

則sinθ=cos所以，線段PC上存在點M使得OM⊥AB，直線BM與平面PAO所成角的正弦值為1717【解析】【分析】（1）利用中位線的性質證得NF∥PO，再利用線面平行的判定定理可得NF∥平面POC，再面面平行的判定定理和性質定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量線性運算的坐標表示求出點Mλ,23?33λ,2λ，BM（1）取PA的中點N，連接EF,FN,EN.∵E,F,N三點分別為PB,AO,PA的中點∴在平面PAO中，NF∥PO，又∵NF?平面POC,PO?平面POC∴NF∥平面POC同理，EN//AB//OC，EN?平面POC,OC?平面POC，所以EN∥平面POC，又∵NF∩EN=N,NF?平面ENF,EN?平面ENF，∴平面ENF∥平面POC，∵EF?平面EFN,∴EF∥平面POC.（2）因為平面PAO⊥平面ABCO，平面PAO∩平面ABCO=AO，PA⊥AO,PA?平面PAO，所以，PA⊥平面ABCO.過B作PA的平行線BQ，過B作BG⊥BC交AO于G點.以點B為坐標原點，以BG,BC,BQ所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.梯形ABCD中，AO⊥AD,AO//BC，AB=2,AD=2,AO=23所以∠BAO=∠AOD=π6，則所以A1,?假設在PC上存在點M使得OM⊥AB，設Mx,y,z設CM=λCP,0≤λ≤1，則因為BA=所以BA?OM=λ?1+9λ?3=0∴BM因為平面PAO⊥平面ABCO，故取平面PAO的一個法向量為n=設直線BM與平面PAO所成角為θ，則sinθ=cos所以，線段PC上存在點M使得OM⊥AB，直線BM與平面PAO所成角的正弦值為171718．【答案】（1）解：AFmina?c=2?3可得橢圓方程：x2（2）解：（i）設直線PF的方程為：x=my+3，點Q則x=my+3則y1由題OQ+OR=則OQ??m則直線PF的方程為：x+112y?（ii）①當直線PF斜率為0時，不妨設R?2,0則k1=k所以k1S△PMF②當直線PF斜率不為0時，設Px0,由（i）得k1k3則k1k121所以點P在定直線l:x=433上，MF平行直線l，點P到直線MFS△PMF綜上可知，△PFM的面積為36【解析】【分析】（1）由題意結合a2（2）（i）設直線PF的方程為：x=my+3，點Qx1,y1,Rx2,y2，與橢圓方程聯立得y1+y2=?2