答案第=page11頁，共=sectionpages22頁8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯(lián)表例1為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過測驗得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀．試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異．解：用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合．考慮以Ω為樣本空間的古典概型．對于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：我們將所給數(shù)據(jù)整理成表8.3-2．表8.3-2單位：人表8.3-2是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；中間的四個格中的數(shù)是事件的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本容量．因此，甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為和；乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為和．我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結(jié)果，如圖8.3-1所示．圖8.3-1在圖8.3-1中，左邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率；右邊的翥色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率．通過比較發(fā)現(xiàn)，兩個學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率．依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷．也就是說，如果從甲校和乙校各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率．因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高．練習(xí)1．成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”，即教師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián)．你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語嗎？2．為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過測驗得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀．試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.3．根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語．那么：(1)吸煙是否對每位煙民一定會引發(fā)健康問題？(2)有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙．這種說法對嗎？4．假設(shè)在本小節(jié)“問題”中，只是隨機(jī)抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表：單位：人性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯，并解釋原因．8.3.2獨立性檢驗例2依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異？解：零假設(shè)為：分類變量X與Y相互獨立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異．根據(jù)表8.3-2中的數(shù)據(jù)，計算得到．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異．例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名．試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好．解：零假設(shè)為：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異．將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，如表8.3-5．表8.3-5單位：人根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異．例4為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如表8.3-6所示．依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險．表8.3-6單位：人解：零假設(shè)為：吸煙與患肺癌之間無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)經(jīng)計算得到．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．根據(jù)表8.3-6中的數(shù)據(jù)計算，不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為和；吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為和．由可見，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌的概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌．練習(xí)5．為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如表所示．采用小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)？單位：人吸煙肺癌合計非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計98749199656．根據(jù)同一抽查數(shù)據(jù)判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)，應(yīng)用不同的小概率值，是否會得出不同的結(jié)論？為什么？7．為考查某種藥物對預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行了動物試驗，根據(jù)個有放回簡單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病合計未患病患病未服用服用合計依據(jù)的獨立性檢驗，分析藥物對預(yù)防疾病的有效性．附：臨界值表：8．從某學(xué)校獲取了容量為400的有放回簡單隨機(jī)樣本，將所得數(shù)學(xué)和語文期末考試成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：單位：人數(shù)學(xué)成績語文成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀21261273優(yōu)秀5473127合計266134400依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？習(xí)題8.3復(fù)習(xí)鞏固9．為什么必須基于成對樣本數(shù)據(jù)推斷兩個分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)？10．為什么獨立性檢驗方法不適用于普查數(shù)據(jù)？11．等高堆積條形圖在兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)性的研究中能夠起到什么作用？12．對于已經(jīng)獲取的成對樣本觀測數(shù)據(jù)，檢驗結(jié)論“兩個變量之間有關(guān)聯(lián)”的實際含義是什么？檢驗結(jié)論“兩個變量之間沒有關(guān)聯(lián)”的實際含義又是什么？綜合運用13．為了研究高三年級學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的問題，得到某中學(xué)高三年級學(xué)生的性別和身高的所有觀測數(shù)據(jù)所對應(yīng)的列聯(lián)表如下：單位：人性別身高合計低于170cm不低于170cm女811697男2875103合計10991200請畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，判斷該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別和身高是否有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是性別與身高有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響．6．第5題中的身高變量是數(shù)值型變量還是分類變量？為什么？7．從第5題的高三學(xué)生中獲取容量為40的有放回簡單隨機(jī)樣本，得到性別和身高變量的樣本觀測數(shù)據(jù)所對應(yīng)的列聯(lián)表如下：單位：人（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)？解釋所得結(jié)論的實際含義．（2）得到的結(jié)論與第5題的一致嗎？如果不一致，你認(rèn)為原因是什么．14．調(diào)查某醫(yī)院一段時間內(nèi)嬰兒出生的時間和性別的關(guān)聯(lián)性，得到如下的列聯(lián)表：單位：人性別出生時間合計晚上白天女243155男82634合計325789依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別與出生時間有關(guān)聯(lián)？