答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1.4空間向量的應用第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系例1如圖1.4-7在長方體中，，，，M是的中點．以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．圖1.4-7（1）求平面當的法向量；（2）求平面的法向量．分析：（1）平面與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；（2）平面可以看成由，，中的兩個向量所確定，運用法向量與它們的垂直關系，可轉化為數量積運算求得法向量．解：（1）因為y軸垂直于平面，所以是平面的一個法向量．（2）因為，，，M是的中點，所以M，C，的坐標分別為，，．因此，．設是平面的法向量，則，．所以所以取，則，．于是是平面的一個法向量．練習1．空間中點、直線和平面的向量表示1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內打“√”，錯誤的打“×”（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；()（2）若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量；()（3）在空間直角坐標系中，是坐標平面Oxy的一個法向量．()2．在平行六面體中，，，，O是與的交點．以為空間的一個基底，求直線OA的一個方向向量．3．在長方體中，，，．以D為原點，以為空間的一個單位正交基底，建立空間直角坐標系Oxyz，求平面的一個法向量．2．空間中直線、平面的平行例2證明“平面與平面平行的判定定理”：同一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．已知：如圖1.4-11，，，，，．求證：．分析：設平面的法向量為，直線a，b的方向向量分別為，，則由已知條件可得，由此可以證明與平面內的任意一個向量垂直，即也是的法向量．證明：如圖1.4-11，取平面的法向量，直線a，b的方向向量，．因為，，所以，．因為，，，所以對任意點，存在x，，使得．從而．所以，向量也是平面的法向量．故．倒3如圖1.4-12，在長方體中，，，．線段上是否存在點P，使得平面？圖1.4-12分析：根據條件建立適當的空間直角坐標系，那么問題中涉及的點、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐標表示，如果點P存在，那么就有，由此通過向量的坐標運算可得結果．解：以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-12所示的空間直角坐標系．因為A，C，的坐標分別為，，，所以，．設是平面的法向量，則，，即所以取，則，．所以，是平面的一個法向量．由，C，的坐標分別為，，，得，．設點P滿足，則，所以．令，得，解得，這樣的點P存在．所以，當，即P為的中點時，平面．練習4．用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行．5．如圖，在四面體ABCD中，E是的中點．直線AD上是否存在點F，使得？6．如圖，在正方體中，E，F分別是面，面的中心．求證：平面．3．空間中直線、平面的垂直例4如圖1.4-14，在平行六面體中，，，求證：直線平面．圖1.4-14分析：根據條件，可以{，，}為基底，并用基向量表示和平面，再通過向量運算證明是平面的法向量即可．證明：設，，，則{，，}為空間的一個基底，且，，．因為，，所以，．在平面上，取，為基向量，則對于平面上任意一點P，存在唯一的有序實數對，使得．所以，．所以是平面的法向量．所以平面．例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．圖1.4-15已知：如圖1.4-15，，，求證：．證明：取直線l的方向向量，平面的法向量．因為，所以是平面的法向量．因為，而是平面的法向量，所以．所以．練習7．已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的關系式；（2）若，求a，b的值．8．已知正方體的棱長為1，以D為原點，為單位正交基底建立空間直角坐標系．求證：．9．如圖，在長方體中，，，E是CD的中點，F是BC的中點．求證：平面平面．1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題例6如圖1.4-18在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．圖1.4-18（1）求點B到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．分析：根據條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離．解：以為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-18所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，，，．（1），，則，．所以，點B到直線的距離為．（2）因為，所以，所以平面．所以點F到平面的距離即為直線到平面的距離．設平面的法向量為，則所以所以取，則，，所以，是平面的一個法向量．又因為，所以點F到平面的距離為．即直線到平面的距離為．練習10．在棱長為1的正方體中，點A到平面的距離等于__________；直線DC到平面的距離等于_________；平面到平面的距離等于__________．11．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．12．如圖，在棱長為1的正方體中，求平面與平面的距離．例7如圖1.4-19，在校長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，M，N分別為，的中點，求直線和夾角的余弦值．圖1.4-19分析：求直線和夾角的余弦值，可以轉化同量與的余弦值．為此需要把向量，用適當的基底表示出來，進而求得向量，夾角的余弦值．解：化為向量問題如圖1.4-19，以{，，}作為基底．則，．設向量與的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于．進行向量運算．又和均為等邊三角形，所以．．回到圓形問題所以直線和夾角的余弦值為．例8圖1.4-22，在直三棱柱中，，，，P為的中點，點Q，R分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．圖1.4-22分析：因為平面與平面的夾角可以轉化為平面與平面的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問題以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標系．設平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補角．進行向量運算因為平面，所以平面的一個法向量為．根據所建立的空間直角坐標系，可知，，．所以，．設，則所以取，則．回到圖形問題設平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．練習13．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．14．PA，PB，PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（

）．A． B． C． D．15．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，求平面與平面夾角的余弦值．16．如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線AD與直線BC所成角的大小；（2）直線AD與平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．例9圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小（重力加速度g取，精確到0.01N）．圖1.4-23分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小．8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．解：如圖1.4-24，設水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為F．因為，所以F在上的投影向量為．所以8根繩子拉力的合力．又因為降落傘勻速下落，所以（N）．所以所以（N）．圖1.4-24例10如圖1.4-25，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，E是的中點，作交于點F．圖1.4-25（1）求證：面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．解：以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-26所示的空間直角坐標系，設．圖1.4-26（1）證明：連接，交于點G，連接．依題意得，，．因為底面是正方形，所以點G是它的中心，故點G的坐標為，且，，所以，．而平面，且平面，因此平面．（2）證明：依題意得，．又，故．所以．由已知，且．所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面與平面的夾角．設點F的坐標為，則因為，所以，即，，．設，則．所以，點F的坐標為，又點E的坐標為，所以．所以所以，即平面與平面的夾角大小為60°．練習17．如圖，二面角的棱上有兩個點A，B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面與平面的夾角．18．如圖，在三棱錐中，，，M，N分別是AD，BC的中點．求異面直線AN，CM所成角的余弦值．19．如圖，在三棱錐中，OA，OB，OC兩兩垂直，，．求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．習題1.4復習鞏固20．如圖，在三棱錐中，E是CD的中點，點F在AE上，且．設，，，求直線AE，BF的方向向量．21．如圖，在直三棱柱中，，，．以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．（1）求平面的一個法向量；（2）求平面的一個法向量．22．如圖，在平行六面體中，E是AB的中點，F是的中點．求證：．23．如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且．求證：平面BCD．24．如圖，在正方體中，點E在BD上，且；點F在上，且．求證：（1）；（2）．25．如圖，在棱長為1的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點，求點O到直線的距離．26．如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點，連接DE．（1）計算DE的長；（2）求點O到平面ABC的距離．27．如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a，M，N分別是AB，CD的中點．求證：，．28．如圖，M，N分別是正方體的棱和的中點，求：（1）MN和所成角的大小；（2）MN和AD所成角的大小．29．如圖，在正方體中，E，F，G，H，K，L分別是AB，，，，，DA各棱的中點．（1）求證：平面EFGHKL；（2）求與平面EFGHKL所成角的余弦值．綜合運用30．如圖，在長方體中，，，E是CD的中點．求證：平面．31．如圖，在長方體中，點E，F，G分別在棱，，上，；點P，Q，R分別在棱，CD，CB上，．求證：平面平面PQR．32．如圖，已知正方體的棱長為1，E為CD的中點，求點到平面的距離．33．如圖，已知正方體的棱長為1，Q為的中點，點P在棱上，．求平面ABCD與平面BQP的夾角．34．如圖，正方體的棱長為1，M是棱的中點，O是的中點．求證：OM分別與異面直線，垂直，并求OM的長．拓廣探索35．如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．