高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市新洲區2024-2025學年高二下學期4月期中數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則的值為（）A.2 B.8 C.2或8 D.2或4【答案】A【解析】由組合數的性質可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故選：A.2.中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】依題意，每個人選購方式有3種，所以不同的選購方式有種.故選：A.3.在等差數列中，若其前項和為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數列的性質可得,∴a5＝5,45,故選：C．4.已知函數，則在處的切線斜率為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由得，所以，即，所以在處的切線斜率為，故選：B.5.的展開式中，含項的系數為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的展開式的通項公式為，令，可得，所以含項的系數為，即，解得.故選：C.6.函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數的定義域為，當時，，當時，，故選項C錯誤，當時，，當時，，故選項A錯誤，且，，因為，所以，故選項D錯誤.只有B中圖象符合題意，故選：B.7.已知等比數列中，各項都是正數，且，，成等差數列，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】設等比數列的公比為，則，由于，，成等差數列，則，即，因為，整理得，即，，解得，因此，.故選：A.8.我們比較熟悉的網絡新詞，有“yyds”、“內卷”、“躺平”等，定義方程的實數根叫做函數的“躺平點”.若函數，，的“躺平點”分別為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，即，，則，設，則，所以在單調遞增，又，所以存在，使得，即；，則，即，綜上所述，，故選：A．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.將四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》、《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（）A.戲曲書放在正中間位置的不同放法有種B.詩集相鄰的不同放法有種C.四大名著互不相鄰的不同放法有種D.四大名著不放在兩端的不同放法有種【答案】BD【解析】對于A，戲曲書放在正中間，其余6本書和6個位置進行全排列，共有種不同放法，故A錯誤；對于B，將兩本詩集進行捆綁，有種放法，再將捆綁的詩集和剩余的5本書，進行全排列，此時有種放法，故詩集相鄰的不同放法有種，故B正確；對于C，先將詩集和戲曲進行全排列，有種方法，且3本書之間產生4個空位，將4大名著進行插空，有種方法，故共有種放法，故C錯誤；對于D，將除四大名著外的3本書中，挑選2本放在兩端，有種放法，再將剩余5本書和5個位置進行全排列，有種放法，故四大名著不放在兩端的不同放法有種，D正確.故選：BD.10.已知，則下列結論正確的是（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，當時，得，因為，當時，所以，所以，A選項正確；對于B，，當時，所以，令，則，所以兩式相加化簡得，所以B錯誤；所以其展開式的通項公式為，當時，，所以C正確，對于D，由，得，令，得，所以，所以D正確，故選：ACD11.函數在上有唯一零點，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由可得，即，所以，關于的方程在上有唯一實根，令，其中，則，因為，令，其中，則，所以，函數在上為增函數，因為，，所以，存在使得，即，且當時，，則，故函數在上單調遞減，當時，，則，故函數在上單調遞增，所以，，由題意可知，直線與函數的圖象有唯一公共點，如下圖所示：故，AD錯，BC對.故選：BC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，且，則數列的通項公式為______.【答案】【解析】由已知，當時，，所以，代入得，所以，當時，，，解得，所以是以為首項，為公差的等差數列，則數列的通項公式為.故答案為：.13.已知函數，，則的最大值為______.【答案】【解析】因為，所以，，令得，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；所以最大值為，故答案為：.14.已知函數，,若對任意都存在使成立，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】對任意都存在使成立，而，所以，即存在，使，此時，，所以，因此將問題轉化為：存在，使成立，設，，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，由題意，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有5個男生和3個女生，現從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數.（1）含有女生但人數必須少于男生；（2）某男生必須包括在內，但不擔任語文科代表；（3）某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數學科代表.解：（1）先選后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先選有種方法，后排有種方法，所以共有不同選法（種）.（2）分步：第一步，先安排不擔任語文科代表的某男生，有種方法；第二步，然后從剩余的7人中選出4人，有種選法；第三步，選出的4人排列，有種方法.根據分步乘法計數原理，共有不同選法（種）.（3）第一步，安排某男生，有種方法；第二步，從剩余的6人中選出3人，有種選法；第三步，選出的3人排列，有種方法.根據分步乘法計數原理，共有不同選法（種）.16.已知遞增數列滿足，點在函數的圖象上.（1）證明：數列是等差數列；（2）若，求數列的前項和.解：（1）因為，所以當時，又因為點在函數的圖象上，所以，所以，所以數列是首項為2，公差為2的等差數列（2）由（1）可知，，所以，所以所以所以，即17.函數，.（1）求函數的單調區間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意得，，當時，則，在上單增，的遞增區間為；當時，令，則；令，則.的遞增區間為，遞減區間為.（2）當時，令，，則，，由題意，得.因為，令，則；令，則，在上遞減，在上遞增，，故在上遞增，又，，實數的取值范圍為.18.在的展開式中，第4項的系數與倒數第4項的系數之比為.（1）求的值；（2）求展開式中所有的有理項；（3）求展開式中系數最大的項.解：（1）由題意知：，則第4項的系數為，倒數第4項的系數為，則有即，.（2）由（1）可得，當時所有的有理項為即，，，.（3）設展開式中第項的系數最大，則，，故系數最大項為.19.對于函數，，若存在，使得，則稱為函數的不動點；若存在，使得，則稱為函數的穩定點.（1）已知，求的不動點；（2）定義函數在定義域內嚴格遞增,則“為函數的不動點”是“為函數的穩定點”的充分必要條件.已知，討論函數的穩定點個數.解：（1）令函數，求導得恒成立，函數在上單調遞增，又，因此函數在上有唯一零點1，所以函數有唯一不動點1.（2）當時，函數在上單調遞增，依題意，函數的穩定點與的不動點等價，則只需研究的不動點即可.令，求導得，函數在上單調遞減，當時，恒成立，函數在上單調遞增，當從大于0的方向趨近于0時，趨近于負無窮大，且，則存在唯一的，使得，即有唯一解，因此函數有唯一不動點；當時，，當趨近于正無窮大時，趨近于0，則存在，使得，即存在唯一，使得，即，此時在上單調遞增，在上單調遞減，于是，當從大于0的方向趨近于0時，趨近于負無窮大，當趨近正無窮大時，趨近于負無窮大，設，則在上單調遞增，且，又在上單調遞增，（ⅰ）當時，即，此時，方程有一個解，即有唯一不動點；（ⅱ）當時，即，此時，方程無解，即無不動點；（ⅲ）當時，即此時，方程有兩個解，即有兩個不動點；所以當時，無穩定點；當或時，有唯一穩定點；當時，有兩個穩定點.湖北省武漢市新洲區2024-2025學年高二下學期4月期中數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則的值為（）A.2 B.8 C.2或8 D.2或4【答案】A【解析】由組合數的性質可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故選：A.2.中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】依題意，每個人選購方式有3種，所以不同的選購方式有種.故選：A.3.在等差數列中，若其前項和為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數列的性質可得,∴a5＝5,45,故選：C．4.已知函數，則在處的切線斜率為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由得，所以，即，所以在處的切線斜率為，故選：B.5.的展開式中，含項的系數為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的展開式的通項公式為，令，可得，所以含項的系數為，即，解得.故選：C.6.函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數的定義域為，當時，，當時，，故選項C錯誤，當時，，當時，，故選項A錯誤，且，，因為，所以，故選項D錯誤.只有B中圖象符合題意，故選：B.7.已知等比數列中，各項都是正數，且，，成等差數列，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】設等比數列的公比為，則，由于，，成等差數列，則，即，因為，整理得，即，，解得，因此，.故選：A.8.我們比較熟悉的網絡新詞，有“yyds”、“內卷”、“躺平”等，定義方程的實數根叫做函數的“躺平點”.若函數，，的“躺平點”分別為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，即，，則，設，則，所以在單調遞增，又，所以存在，使得，即；，則，即，綜上所述，，故選：A．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.將四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》、《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（）A.戲曲書放在正中間位置的不同放法有種B.詩集相鄰的不同放法有種C.四大名著互不相鄰的不同放法有種D.四大名著不放在兩端的不同放法有種【答案】BD【解析】對于A，戲曲書放在正中間，其余6本書和6個位置進行全排列，共有種不同放法，故A錯誤；對于B，將兩本詩集進行捆綁，有種放法，再將捆綁的詩集和剩余的5本書，進行全排列，此時有種放法，故詩集相鄰的不同放法有種，故B正確；對于C，先將詩集和戲曲進行全排列，有種方法，且3本書之間產生4個空位，將4大名著進行插空，有種方法，故共有種放法，故C錯誤；對于D，將除四大名著外的3本書中，挑選2本放在兩端，有種放法，再將剩余5本書和5個位置進行全排列，有種放法，故四大名著不放在兩端的不同放法有種，D正確.故選：BD.10.已知，則下列結論正確的是（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，當時，得，因為，當時，所以，所以，A選項正確；對于B，，當時，所以，令，則，所以兩式相加化簡得，所以B錯誤；所以其展開式的通項公式為，當時，，所以C正確，對于D，由，得，令，得，所以，所以D正確，故選：ACD11.函數在上有唯一零點，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由可得，即，所以，關于的方程在上有唯一實根，令，其中，則，因為，令，其中，則，所以，函數在上為增函數，因為，，所以，存在使得，即，且當時，，則，故函數在上單調遞減，當時，，則，故函數在上單調遞增，所以，，由題意可知，直線與函數的圖象有唯一公共點，如下圖所示：故，AD錯，BC對.故選：BC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，且，則數列的通項公式為______.【答案】【解析】由已知，當時，，所以，代入得，所以，當時，，，解得，所以是以為首項，為公差的等差數列，則數列的通項公式為.故答案為：.13.已知函數，，則的最大值為______.【答案】【解析】因為，所以，，令得，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；所以最大值為，故答案為：.14.已知函數，,若對任意都存在使成立，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】對任意都存在使成立，而，所以，即存在，使，此時，，所以，因此將問題轉化為：存在，使成立，設，，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，由題意，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有5個男生和3個女生，現從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數.（1）含有女生但人數必須少于男生；（2）某男生必須包括在內，但不擔任語文科代表；（3）某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數學科代表.解：（1）先選后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先選有種方法，后排有種方法，所以共有不同選法（種）.（2）分步：第一步，先安排不擔任語文科代表的某男生，有種方法；第二步，然后從剩余的7人中選出4人，有種選法；第三步，選出的4人排列，有種方法.根據分步乘法計數原理，共有不同選法（種）.（3）第一步，安排某男生，有種方法；第二步，從剩余的6人中選出3人，有種選法；第三步，選出的3人排列，有種方法.根據分步乘法計數原理，共有不同選法（種）.16.已知遞增數列滿足，點在函數的圖象上.（1）證明：數列是等差數列；（2）若，求數列的前項和.解：（1）因為，所以當時，又因為點在函數的圖象上，所以，所以，所以數列是首項為2，公差為2的等差數列（2）由（1）可知，，所以，所以所以所以，即17.函數，.（1）求函數的單調區間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意得，，當時，則，在上單增，的遞增區間為；當時，令，則；令，則.的遞增區間為，遞減區間為.（2）當時，令，，則，，由題意，得.因為，令，則；令，則，在上遞減，在上遞增，，故在上遞增，又，，實數