高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分重點中學2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知函數在處可導，且，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由導數的定義知.故選：D.2.二項式的展開式中的系數為（）A.60 B. C. D.12【答案】C【解析】展開式的通項，令，解得，所以，即的系數為.故選：C3.從0－9這10個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，則滿足條件的三位數的個數是（）A.648 B.720 C.504 D.1000【答案】A【解析】因為0不能作首位，所以用0到9這10個數字,可以組成沒有重復數字的三位數的個數為，故選：A4.已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由函數單調遞減可得恒成立，因為，所以，所以，所以實數的取值范圍是.故選：B5.已知，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，得，，，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：B6.某校6名同學打算去武漢旅游，現有黃鶴樓、古德寺、湖北省博物館三個景區可供選擇.若每個景區中至少有1名同學前往打卡，每人僅去一個景點，則不同方案的種數為（）A.180 B.360 C.540 D.670【答案】C【解析】由題意，當每個景區都有2名同學前往時，此時方案有種；當按分別有1，2，3名同學前往景區時，此時方案有種；當按分別有1，1，4名同學前往景區時，此時方案有種；故不同方案種數為（種），故選：C7.如圖，湖面上有4個相鄰的小島，現要建3座橋梁，將這4個小島連通起來，則建設方案有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種【答案】B【解析】由題意知要將4個相鄰的小島A，B，C，D連接起來，共有個位置可以建設橋梁，從這6個位置中選3個建設橋梁，共有種選法，但選出的3個位置可能是僅連接或或或三個小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（種）不同的方案.故選：B.8.函數的兩個極值點滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，的定義域為，，因為有兩個極值點，所以，則①，令，因為，所以，將代入①整理可得，所以，令，則，設，則，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以.故選：D二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.函數，則（）A. B.上單調遞增C.沒有零點 D.最大值為2【答案】ABC【解析】的定義域為，因為，所以，故A正確；令得，即，令得，即，因此在單調遞增，在單調遞減，且，因此沒有零點，即BC正確，D錯誤.故選：ABC10.已知數列的前項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A.數列為等比數列 B.數列為等差數列C. D.【答案】ACD【解析】A.由條件，可知，，且，則，所以數列為等比數列，故A正確；B.由條件可知，，，，，，數列的前3項2,5,14不能構成等差數列，所以數列不是等差數列，故B錯誤；C.由A可知，，所以時，，，也適合，故C正確；D.由C可知，，所以，故D正確.故選：ACD11.已知函數.若曲線恰有三條過點的切線，其中實數的所有取值組成集合的所有取值組成集合，則下列說法正確的有（）A. B.若，則C.直線上存在滿足要求的點 D.直線上存在滿足要求的點【答案】BD【解析】A.，則，設切點，，所以切線方程為，切線過點，所以，則，則，此時只有唯一切點，所以過點的切線只有1條，不滿足條件，故A錯誤；B.若點，在由A可知，，整理為，設，，得或，當，得或，，得，所以函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是，所以函數的極大值是，極小值是，所以與軸有3個交點，即方程有3個實數根，即有個切點，所以過點的切線有3條，滿足條件，故B正確；C.設，則，整理為，得，設，，所以單調遞增，則與只有1個交點，即方程只有1個實數根，即只有1個切點，1條切線，所以直線上不存在滿足要求的點，故C錯誤；D.設，則，整理為，得，，設，，得或，，得或，，得，或或，所以函數的增區間是和，減區間是和和如圖畫出函數的圖象，由圖象可知，與存在3個交點，即方程存在3個實數根，故D正確.故選：BD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.除以26所得余數為______.【答案】1【解析】，因為都能被26整除，所以除以26所得余數為1.故答案為：113.已知函數，若方程有三個相異的實根，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，求導可得，令，解得，當時，；當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，易知函數在上單調遞增，在上單調遞減，可作圖如下：由方程存在三個根，等價于直線與函數的圖象存在三個交點，則.故答案為：.14.已知，，…，是，，…，（，）滿足下列性質的一個排列，性質：排列，，…，中存在唯一使得，滿足性質的數列，，…，的個數為________．【答案】【解析】設為符合題意的的個數，考慮和之間的關系，為此考慮兩種情況下的：第一種為1到符合性質排列，不妨設，此時要么放在末尾要么放在和之間，這一共有種情況；第二種為1到不符合性質排列，此時若想插入數使得序列滿足性質，則前個數只能遞增排列，然后插入，有種情況；故設易知，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.高二某班計劃從4名男生、3名女生中選拔4人負責本周校會.（1）若要求選出的4人中同時包含男生和女生，有多少種不同的組合方式？（寫出必要的數學式，結果用數字作答）（2）已經按照（1）中要求選出甲、乙、丙、丁四人，現要從已選擇的4人中安排1人擔任校會主持，1人進行國旗下的講話，2人負責升旗儀式，有多少種不同的職務分配方案？（寫出必要的數學式，結果用數字作答）（3）在完成（2）的職務分配后，校會結束后這4位同學和班主任共5人需合影留念，要求兩位升旗手必須相鄰站立，有多少種不同的排列方法？（寫出必要的數學式，結果用數字作答）解：（1）如果選出的4人中同時包含男生和女生，先從所有7人中選4人，去掉只有男生的情況，故有種組合方式.（2）先選出的4人中安排1人擔任校會主持，再從剩余3人中安排1人進行國旗下的講話，最后讓剩余2人負責升旗儀式，共有種職務分配方案（3）將兩位升旗手看成一個整體，與其它的3人排列有種情況，再排兩位升旗手有種情況，共有種排法.16.已知函數.（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，，故，.所以曲線在點處的切線方程為，即.（2），因為，所以由，得，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，因為恒成立，所以，解得，所以實數的取值范圍為.17.若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”.已知數列中，，點在函數的圖象上，其中為正整數.（1）證明：數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；（2）設，數列的前項和為；①求；②若恒成立，求實數的最大值.解：（1）點在函數的圖象上，，，數列是“平方遞推數列”，因為，對兩邊同時取對數得，數列是以1為首項、2為公比的等比數列；（2）①由（1）知，所以，則，.兩式相減可得，；②恒成立，恒成立，恒成立，恒成立，又，當且僅當時，取到等號，，即.18.已知函數，.的導函數為.（1）當時.求函數的最小值；（2）若.①證明：恰有3個零點；②證明：的所有零點之和為定值.解：（1）由題意，令當時，，在上為增函數；當時，，在上為減函數.；（2）①令；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，又，所以，且當時，；時，；所以在與上各有一個零點，不妨分別記為，所以時，單調遞增；時，單調遞減；時，單調遞增；且，所以；則，，又當時，；時，；所以在與上各有一個零點，且，所以有且僅有三個零點.②令令，，.令，為奇函數.因為奇函數的圖象關于原點對稱，所以所有零點和為0；所有零點和為0.由于的圖象可由向右平移一個單位長度得到，所以所有的零點和為定值3.19.對于正整數和正整數，現定義函數.（1）當時，分別計算在處的取值；（2）為了研究函數的單調性，現定義差分比；①證明：當時，；②對于任意正整數，當取到最大值時，求正整數.解：（1）由題意，，，，.（2）①，即當時，.②由①可知，對于任意正整數，，即在時，嚴格遞減.當時，，，即在時，嚴格遞增.故對于任意正整數，總在附近取到最大值.當為偶數時，設，此時，故僅比較與的大小，，當時，取到最大值；②當為奇數時，設，此時，當時，僅比較與的大小，，當時，僅有.故當時，取到最大值；綜上，當取到最大值時，.湖北省武漢市部分重點中學2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知函數在處可導，且，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由導數的定義知.故選：D.2.二項式的展開式中的系數為（）A.60 B. C. D.12【答案】C【解析】展開式的通項，令，解得，所以，即的系數為.故選：C3.從0－9這10個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，則滿足條件的三位數的個數是（）A.648 B.720 C.504 D.1000【答案】A【解析】因為0不能作首位，所以用0到9這10個數字,可以組成沒有重復數字的三位數的個數為，故選：A4.已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由函數單調遞減可得恒成立，因為，所以，所以，所以實數的取值范圍是.故選：B5.已知，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，得，，，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：B6.某校6名同學打算去武漢旅游，現有黃鶴樓、古德寺、湖北省博物館三個景區可供選擇.若每個景區中至少有1名同學前往打卡，每人僅去一個景點，則不同方案的種數為（）A.180 B.360 C.540 D.670【答案】C【解析】由題意，當每個景區都有2名同學前往時，此時方案有種；當按分別有1，2，3名同學前往景區時，此時方案有種；當按分別有1，1，4名同學前往景區時，此時方案有種；故不同方案種數為（種），故選：C7.如圖，湖面上有4個相鄰的小島，現要建3座橋梁，將這4個小島連通起來，則建設方案有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種【答案】B【解析】由題意知要將4個相鄰的小島A，B，C，D連接起來，共有個位置可以建設橋梁，從這6個位置中選3個建設橋梁，共有種選法，但選出的3個位置可能是僅連接或或或三個小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（種）不同的方案.故選：B.8.函數的兩個極值點滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，的定義域為，，因為有兩個極值點，所以，則①，令，因為，所以，將代入①整理可得，所以，令，則，設，則，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以.故選：D二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.函數，則（）A. B.上單調遞增C.沒有零點 D.最大值為2【答案】ABC【解析】的定義域為，因為，所以，故A正確；令得，即，令得，即，因此在單調遞增，在單調遞減，且，因此沒有零點，即BC正確，D錯誤.故選：ABC10.已知數列的前項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A.數列為等比數列 B.數列為等差數列C. D.【答案】ACD【解析】A.由條件，可知，，且，則，所以數列為等比數列，故A正確；B.由條件可知，，，，，，數列的前3項2,5,14不能構成等差數列，所以數列不是等差數列，故B錯誤；C.由A可知，，所以時，，，也適合，故C正確；D.由C可知，，所以，故D正確.故選：ACD11.已知函數.若曲線恰有三條過點的切線，其中實數的所有取值組成集合的所有取值組成集合，則下列說法正確的有（）A. B.若，則C.直線上存在滿足要求的點 D.直線上存在滿足要求的點【答案】BD【解析】A.，則，設切點，，所以切線方程為，切線過點，所以，則，則，此時只有唯一切點，所以過點的切線只有1條，不滿足條件，故A錯誤；B.若點，在由A可知，，整理為，設，，得或，當，得或，，得，所以函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是，所以函數的極大值是，極小值是，所以與軸有3個交點，即方程有3個實數根，即有個切點，所以過點的切線有3條，滿足條件，故B正確；C.設，則，整理為，得，設，，所以單調遞增，則與只有1個交點，即方程只有1個實數根，即只有1個切點，1條切線，所以直線上不存在滿足要求的點，故C錯誤；D.設，則，整理為，得，，設，，得或，，得或，，得，或或，所以函數的增區間是和，減區間是和和如圖畫出函數的圖象，由圖象可知，與存在3個交點，即方程存在3個實數根，故D正確.故選：BD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.除以26所得余數為______.【答案】1【解析】，因為都能被26整除，所以除以26所得余數為1.故答案為：113.已知函數，若方程有三個相異的實根，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，求導可得，令，解得，當時，；當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，易知函數在上單調遞增，在上單調遞減，可作圖如下：由方程存在三個根，等價于直線與函數的圖象存在三個交點，則.故答案為：.14.已知，，…，是，，…，（，）滿足下列性質的一個排列，性質：排列，，…，中存在唯一使得，滿足性質的數列，，…，的個數為________．【答案】【解析】設為符合題意的的個數，考慮和之間的關系，為此考慮兩種情況下的：第一種為1到符合性質排列，不妨設，此時要么放在末尾要么放在和之間，這一共有種情況；第二種為1到不符合性質排列，此時若想插入數使得序列滿足性質，則前個數只能遞增排列，然后插入，有種情況；故設易知，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.高二某班計劃從4名男生、3名女生中選拔4人負責本周校會.（1）若要求選出的4人中同時包含男生和女生，有多少種不同的組合方式？（寫出必要的數學式，結果用數字作答）（2）已經按照（1）中要求選出甲、乙、丙、丁四人，現要從已選擇的4人中安排1人擔任校會主持，1人進行國旗下的講話，2人負責升旗儀式，有多少種不同的職務分配方案？（寫出必要的數學式，結果用數字作答）（3）在完成（2）的職務分配后，校會結束后這4位同學和班主任共5人需合影留念，要求兩位升旗手必須相鄰站立，有多少種不同的排列方法？（寫出必要的數學式，結果用數字作答）解：（1）如果選出的4人中同時包含男生和女生，先從所有7人中選4人，去掉只有男生的情況，故有種組合方式.（2）先選出的4人中安排1人擔任校會主持，再從剩余3人中安排1人進行國旗下的講話，最后讓剩余2人負責升旗儀式，共有種職務分配方案（3）將兩位升旗手看成一個整體，與其它的3人排列有種情況，再排兩位升旗手有種情況，共有種排法.16.已知函數.（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，，故，.所以曲線在點處的切線方程為，即.（2），因為，所以由，得，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，因