高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省頂級名校2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分．每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】聯立方程，解得，即，故選：C.2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數有意義，得，解得且，所以原函數的定義域是．故選：B.3.下面命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】C【解析】對于A，若，則，A錯誤；對于B，若，則，B錯誤；對于C，若，則，又，，即，C正確；對于D，若，，，，則，，此時，D錯誤.故選：C.4.“”是“成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得x<1或x>2，所以“x>2”是“x<1或x>2”的充分不必要條件，即“x>2”是“成立”的充分不必要條件．故選A．【『點石成金』】本題考查了充分必要條件，考查了不等式的解法，是一道基礎題．5.函數的圖象（）A.關于原點對稱 B.關于直線對稱 C.關于軸對稱 D.關于軸對稱【答案】D【解析】易知的定義域為，關于原點對稱，，∴fx是偶函數，其圖象關于軸對稱，故選：D.6.設定義在R上的函數對任意實數x，y滿足，且，則的值為（）A. B. C.0 D.4【答案】B【解析】由題意令，則有，故得，令，，則有，又∴∴故選:B7.已知函數在上的最大值為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，則函數在和上單調遞減，在和上單調遞增，所以當時，在上單調遞增，即函數的最大值為，成立；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，即函數的最大值為，此時不成立；當時，在和上單調遞增，在上單調遞增，所以若此時的最大值為，則，即，解得，綜上所述，故選：D.8.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數”：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，也稱取整函數，例如：．已知，則函數的值可能為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，，，當時，；當時，的可能取值，0．故選：B.二、多項選擇題（（本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題列出的四個選項中有多項是符合題目要求的，漏選得2分，多選或錯選不得分）9.已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為不等式的解集為，故相應的二次函數的圖像開口向下，所以，故A錯誤；易知2和是方程的兩個根，則有，，又，故，，故BC正確；因為，所以，故D正確．故選：BCD10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”的否定是“，”C.“”是“”的必要條件D.“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件【答案】BD【解析】選項A：因為命題“，”為全稱命題，則其否定為：“，”，故選項A錯誤；選項B：因為命題“，”為特稱命題，其否定為：“，”，故選項B正確；選項C：當，時，成立，但，所以“”不是“”的必要條件，故選項C錯誤；選項D：由方程有一正一負根，可得Δ=4-4m>0x1x而當時，顯然有，且，此時方程有一正一負根.故選項D正確，故選：BD．11.設正實數x，y滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.最小值為 D.的最小值為2【答案】BC【解析】對于A，，當且僅當，即時等號成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當即時等號成立，故B正確；對于C，由A可得，又，所以，當且僅當，即時等號成立，故C正確；對于D，，所以的最大值為，當且僅當，即時等號成立，故D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知命題，若命題p是假命題，則a的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為命題p是假命題，所以命題是真命題．因為，所以，只需，即，所以的取值范圍為.故答案為：.13.已知，則__________．【答案】【解析】因為，所以，．故答案為：.14.已知在上遞減的函數，且對任意的，總有，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于函數的圖象的對稱軸為，所以函數的遞減區間為，又函數在區間上單調遞減，所以，所以，，由二次函數的對稱性可知，在區間上，，故要使對任意的，都有，只要，即，可得，解得，又，所以，故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）求值：；（2）求值：；（3）已知集合．若中，求a的取值范圍．解：（1）原式．（2）原式．（3）因為，且，所以，所以a的取值范圍為．16.（1）已知函數，求函數的定義域；（2）求的值域；（3）已知，求的解析式．解：（1）函數中，，解得，函數的定義域為，則，函數中，，解得，所以函數的定義域.（2），當且僅當時取等號，所以的值域是.（3）令，則，由，得，所以解析式是.17.已知函數是定義在上的偶函數，且當時，．（1）求函數的解析式；（2）直接寫出函數的增區間；（3）若函數，求函數的最小值．解：（1）由已知當時，，則當時，，，又函數是定義在上的偶函數，則，綜上所述；（2）由已知當時，，即函數在上單調遞增，當時，，即函數在上單調遞增，綜上所述函數的單調遞增區間為；（3）由已知，，對稱軸方程為，當，即時，為最小值；當，即時，為最小值；當，即時，為最小值．綜上，.18.已知定義域為的函數是奇函數．（1）求a，b的值；（2）判斷在上的單調性，并證明；（3）若存在，使成立，求k的取值范圍．（1）解：因為函數是定義在上的奇函數，所以，即，所以，又因為，所以，將代入，得，整理得，當時，有，即恒成立，所以，經檢驗符合題意，所以；（2）證明：由（1）知：函數，函數在R上是減函數．設任意，且，則，由，可得，又，則，則，則函數在上是減函數.（3）解：因為存在，使成立，又因為函數是定義在上的奇函數，所以不等式可轉化為，又因為函數在上是減函數，所以，所以，令，由題意可知：問題等價轉化為，又因為，所以，所以的取值范圍為．19.已知函數，其中．（1）當時，求的值域；（2）函數能否成為定義域上的單調函數，如果能，則求出實數a的范圍；如果不能，則給出理由；（3）在其定義域上恒成立，求實數a的取值范圍．解：（1）當時，，當時，，函數在單調遞減，所以；當時，在上單調遞減，所以，則的值域為；（2）若函數在定義域上單調，當時，因在上函數單減，則單調遞減，則滿足，解得，當時，函數無單調性，不符合題意，當時，因在上函數單增，則單調遞增，則滿足，解得，綜上所述，若使函數為定義域上的單調函數，實數a的范圍為;（3）由在其定義域上恒成立，即，化簡得恒成立，當時，由，令，由對勾函數單調性知，函數在時，取最大值，則，當時，滿足，即，綜上所述，在其定義域上恒成立，實數a取值范圍為．河南省頂級名校2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分．每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】聯立方程，解得，即，故選：C.2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數有意義，得，解得且，所以原函數的定義域是．故選：B.3.下面命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】C【解析】對于A，若，則，A錯誤；對于B，若，則，B錯誤；對于C，若，則，又，，即，C正確；對于D，若，，，，則，，此時，D錯誤.故選：C.4.“”是“成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得x<1或x>2，所以“x>2”是“x<1或x>2”的充分不必要條件，即“x>2”是“成立”的充分不必要條件．故選A．【『點石成金』】本題考查了充分必要條件，考查了不等式的解法，是一道基礎題．5.函數的圖象（）A.關于原點對稱 B.關于直線對稱 C.關于軸對稱 D.關于軸對稱【答案】D【解析】易知的定義域為，關于原點對稱，，∴fx是偶函數，其圖象關于軸對稱，故選：D.6.設定義在R上的函數對任意實數x，y滿足，且，則的值為（）A. B. C.0 D.4【答案】B【解析】由題意令，則有，故得，令，，則有，又∴∴故選:B7.已知函數在上的最大值為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，則函數在和上單調遞減，在和上單調遞增，所以當時，在上單調遞增，即函數的最大值為，成立；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，即函數的最大值為，此時不成立；當時，在和上單調遞增，在上單調遞增，所以若此時的最大值為，則，即，解得，綜上所述，故選：D.8.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數”：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，也稱取整函數，例如：．已知，則函數的值可能為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，，，當時，；當時，的可能取值，0．故選：B.二、多項選擇題（（本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題列出的四個選項中有多項是符合題目要求的，漏選得2分，多選或錯選不得分）9.已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為不等式的解集為，故相應的二次函數的圖像開口向下，所以，故A錯誤；易知2和是方程的兩個根，則有，，又，故，，故BC正確；因為，所以，故D正確．故選：BCD10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”的否定是“，”C.“”是“”的必要條件D.“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件【答案】BD【解析】選項A：因為命題“，”為全稱命題，則其否定為：“，”，故選項A錯誤；選項B：因為命題“，”為特稱命題，其否定為：“，”，故選項B正確；選項C：當，時，成立，但，所以“”不是“”的必要條件，故選項C錯誤；選項D：由方程有一正一負根，可得Δ=4-4m>0x1x而當時，顯然有，且，此時方程有一正一負根.故選項D正確，故選：BD．11.設正實數x，y滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.最小值為 D.的最小值為2【答案】BC【解析】對于A，，當且僅當，即時等號成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當即時等號成立，故B正確；對于C，由A可得，又，所以，當且僅當，即時等號成立，故C正確；對于D，，所以的最大值為，當且僅當，即時等號成立，故D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知命題，若命題p是假命題，則a的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為命題p是假命題，所以命題是真命題．因為，所以，只需，即，所以的取值范圍為.故答案為：.13.已知，則__________．【答案】【解析】因為，所以，．故答案為：.14.已知在上遞減的函數，且對任意的，總有，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于函數的圖象的對稱軸為，所以函數的遞減區間為，又函數在區間上單調遞減，所以，所以，，由二次函數的對稱性可知，在區間上，，故要使對任意的，都有，只要，即，可得，解得，又，所以，故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）求值：；（2）求值：；（3）已知集合．若中，求a的取值范圍．解：（1）原式．（2）原式．（3）因為，且，所以，所以a的取值范圍為．16.（1）已知函數，求函數的定義域；（2）求的值域；（3）已知，求的解析式．解：（1）函數中，，解得，函數的定義域為，則，函數中，，解得，所以函數的定義域.（2），當且僅當時取等號，所以的值域是.（3）令，則，由，得，所以解析式是.17.已知函數是定義在上的偶函數，且當時，．（1）求函數的解析式；（2）直接寫出函數的增區間；（3）若函數，求函數的最小值．解：（1）由已知當時，，則當時，，，又函數是定義在上的偶函數，則，綜上所述；（2）由已知當時，，即函數在上單調遞增，當時，，即函數在上單調遞增，綜上所述函數的單調遞增區間為；（3）由已知，，對稱軸方程為，當，即時，為最小值；當，即時，為最小值；當，即時，為最小值．綜上，.18.已知定義域為的函數是奇函數．（1）求a，b的值；（2）判斷在上的單調性，并證明；（3）若存在，使成立，求k的取值范圍．（1）解：因為函數是定義在上的奇函數，所以，即，所以，又因為，所以，將代入，得，整理得，當時，有，即恒成立，所以，經檢驗符合題意，所以；（2）證明：由（1）知：函數，函數在R上是減函數．設任意，且，則，由，可得，又，則，則，則函數在上是減函數.（3）解：因為存在，使成立，又因為函數是定義在上的奇函數，所以不等式可轉化為，又因為函數在上是減函數，所以，所以，令，由題意可知：問題等價轉化為，又因為，所以，所以的取值范圍為．19.已知函數，其中．（1）當時，求的值域；（2）