第三章測評(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m,其實(shí)際概率的大小為n,則()A.m>n B.m<nC.m=n D.m是n的近似值解析:隨機(jī)模擬法求其概率,只是對概率的估計(jì).答案:D2.把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A.對立事件 B.互斥但不對立事件C.不可能事件 D.必然事件解析:根據(jù)題意,把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生,故兩者是互斥事件,但除了“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”之外,還有“丙分得紅牌”,故兩者不是對立事件,所以事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對立事件.答案:B3.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為()A.0.7 B.0.65C.0.35 D.0.3解析:由題意知事件A,B,C互為互斥事件,記事件D=“抽到的是二等品或三等品”,則P(D)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3,故選D.答案:D4.(2017廣西欽州期末)4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的所有基本事件數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.6解析:由題意知,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張卡片,取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包括(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共有4種結(jié)果.故選C.答案:C5.若某個(gè)班級內(nèi)有40名學(xué)生,抽10名學(xué)生去參加某項(xiàng)活動(dòng),每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為14,則下列解釋正確的是 (A.4個(gè)人中,必有1個(gè)被抽到B.每個(gè)人被抽到的可能性都為1C.由于有被抽到與不被抽到兩種情況,故不被抽到的概率為1D.以上說法都不正確解析:由概率的意義可知.答案:B6.(2017河北廊坊期末)方程x2+2x+n2=0(n∈[1,2])有實(shí)根的概率為()A.23 B.C.14 D.解析:方程x2+2x+n2=0有實(shí)根,則Δ=44n2≥0,解得1≤n≤1.n∈[1,2]的區(qū)間長度為3,n∈[1,1]的區(qū)間長度為2,所以方程x2+2x+n2=0(n∈[1,2])有實(shí)根的概率為23,故選A答案:A7.導(dǎo)學(xué)號38094052(2017云南大理一模)歐陽修在《賣油翁》中寫道:“(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕”,可見賣油翁的技藝之高超,若銅錢直徑3cm,中間有邊長為1cm的正方形小孔,隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計(jì)),則油恰好落入孔中的概率是()A.14πC.49π解析:∵中間正方形小孔的面積S正=1,銅錢的面積S圓=π·32∴油恰好落入孔中的概率P=S正S圓答案:C8.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次,若第一次朝上一面的點(diǎn)數(shù)為a,第二次朝上一面的點(diǎn)數(shù)為b,則函數(shù)y=ax22bx+1在-∞,1A.14 B.C.16 D.解析:函數(shù)y=ax22bx+1在-∞,∵第一次朝上一面的點(diǎn)數(shù)為a,第二次朝上一面的點(diǎn)數(shù)為b,∴a取1,2時(shí),b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4時(shí),b可取2,3,4,5,6;a取5,6時(shí),b可取3,4,5,6,共30種.∵將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次,共有36種等可能發(fā)生的結(jié)果,∴所求概率為3036=5答案:D9.為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量,產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],頻率分布直方圖如圖所示.工廠規(guī)定從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2位工人進(jìn)行培訓(xùn),則這2位工人不在同一組的概率是()A.110 B.C.815 D.解析:根據(jù)題中頻率分布直方圖可知產(chǎn)品件數(shù)在[10,15),[15,20)內(nèi)的人數(shù)分別為5×0.02×20=2,5×0.04×20=4,設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)內(nèi)的2人分別是A,B,設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[15,20)內(nèi)的4人分別是C,D,E,F,則從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機(jī)地選取2位工人的結(jié)果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15種.2位工人不在同一組的結(jié)果有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8種.則選取這2人不在同一組的概率為815答案:C10.如圖,矩形的長為5、寬為2,在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆,數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆,則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為()A.235 B.C.10 D.不能估計(jì)解析:利用幾何概型的概率計(jì)算公式,估計(jì)陰影部分的面積為138300×(2×5)=23答案:A11.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,-1A.16 B.14 C.3解析:由圖形知C(1,2),D(2,2),所以S矩形ABCD=6,S陰=12×3×1=32,所以P=答案:B12.隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2解析:總的基本事件個(gè)數(shù)為36,向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個(gè),則向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率p1=1036=518;向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率p2=1518=1318;向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)與向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的個(gè)數(shù)相等,故向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率p3=12.答案:C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.若A,B為互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,則P(B)=.

解析:∵A,B為互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B).∴P(B)=P(A∪B)P(A)=0.70.4=0.3.答案:0.314.隨意安排甲、乙、丙三人在3天節(jié)假日中值班,每人值班1天,甲排在乙之前的概率是.

解析:安排甲、乙、丙三人在3天中值班,每人值1天,故甲在乙之前和乙在甲之前的機(jī)會(huì)相等,所以概率為12答案:115.在箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個(gè)整數(shù);從箱子中任取一張卡片,記下它的讀數(shù)x,然后放回箱子中;第二次再從箱子中任取一張卡片,記下它的讀數(shù)y,則x+y是10的倍數(shù)的概率為.

解析:先后兩次取卡片.形成的有序數(shù)對有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10).共100個(gè).因?yàn)閤+y是10的倍數(shù),這些數(shù)對應(yīng)該是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10),共10個(gè),故x+y是10的倍數(shù)的概率為10100答案:116.設(shè)D是半徑為R的圓周上的一定點(diǎn),在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)C,連接CD得一弦,若A表示“所得弦的長大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”,則P(A)=.

解析:如圖,△DPQ為圓內(nèi)接正三角形,當(dāng)點(diǎn)C位于劣弧PQ上時(shí),弦DC>PD,所以P(A)=13答案:1三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)在圓O:x2+y2=1的某一直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn)Q.試求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦的長度不超過1的概率.解:記過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦的長度超過1為事件A.如圖所示,設(shè)EF=1,則在Rt△OQE中,OE2=OQ2+QE2,即1=OQ2+14,所以O(shè)Q=3由幾何概型的概率公式得P(A)=32故過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦的長度不超過1的概率為13218.(本小題滿分12分)(2017·廣西南寧期末)甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動(dòng),對購買該商品的顧客兩家商場的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:甲商場:顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形的圓心角均為π4,邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)乙商場:從裝有2個(gè)白球、2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)紅球(這些球除顏色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2個(gè)相同顏色的球,則為中獎(jiǎng).試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎(jiǎng)的可能性大?請說明理由.解:設(shè)顧客去甲商場轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤,指針指向陰影部分為事件A,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤,面積為πr2(r為圓盤的半徑),陰影區(qū)域的面積為S=π4×22π·πr2=14πr2.由幾何概型概率公式,得P(設(shè)顧客去乙商場一次摸出兩個(gè)相同顏色的球?yàn)槭录﨎,記2個(gè)白球?yàn)榘?,白2;2個(gè)紅球?yàn)榧t1、紅2;2個(gè)藍(lán)球?yàn)樗{(lán)1、藍(lán)2.則從盒子中一次性摸出2球,一切可能的結(jié)果有:(白1,白2),(白1,紅1)、(白1,紅2),(白1,藍(lán)1),(白1,藍(lán)2);(白2,紅1),(白2,紅2),(白2,藍(lán)1),(白2,藍(lán)2);(紅1,紅2),(紅1,藍(lán)1),(紅1,藍(lán)2);(紅2,藍(lán)1),(紅2,藍(lán)2);(藍(lán)1,藍(lán)2),共15種;其中摸到的是2個(gè)相同顏色的球有(白1,白2),(紅1,紅2),(藍(lán)1,藍(lán)2),共3種;由古典概型概率公式,得P(B)=31519.(本小題滿分12分)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值莖葉圖(十位為莖,個(gè)位為葉)如圖所示,若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出2天,(1)求恰有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率;(2)求至多有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率.解:由莖葉圖知,6天中有4天空氣質(zhì)量未超標(biāo),有2天空氣質(zhì)量超標(biāo).記未超標(biāo)的4天為a,b,c,d,超標(biāo)的兩天為e,f,則從6天中抽取2天的所有情況為ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件數(shù)為15.(1)記“恰有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)”為事件A,可能結(jié)果為ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件數(shù)為8,所以P(A)=815(2)記“至多有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)”為事件B,“2天都超標(biāo)”為事件C,則事件C的結(jié)果為ef,故P(C)=115所以P(B)=1P(C)=111520.(本小題滿分12分)袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè),其中標(biāo)號為0的小球1個(gè),標(biāo)號為1的小球1個(gè),標(biāo)號為2的小球n個(gè).已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號是2的小球的概率是12(1)求n的值;(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號為a,第二次取出的小球標(biāo)號為b.①記事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x,y,求事件“x2+y2>(ab)2恒成立”的概率.解:(1)由題意可知,n1+1+n=1(2)①不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的所有基本事件為(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12個(gè).事件A包含的基本事件為(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4個(gè),所以P(A)=412②記“x2+y2>(ab)2恒成立”為事件B,則事件B等價(jià)于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的點(diǎn),則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B所構(gòu)成的區(qū)域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},所以P(B)=SBSΩ=21.導(dǎo)學(xué)號38094053(本小題滿分12分)(2017黑龍江大慶紅崗區(qū)期末)我校對高二600名學(xué)生進(jìn)行了一次知識(shí)測試,并從中抽取了部分學(xué)生的成績(滿分100分)作為樣本,繪制了下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率[50,60)20.04[60,70)80.16[70,80)10

[80,90)

[90,100]140.28合計(jì)

1.00(1)填寫頻率分布表中的空格,補(bǔ)全頻率分布直方圖,并標(biāo)出每個(gè)小矩形對應(yīng)的縱軸數(shù)據(jù);(2)請你估算該年級學(xué)生成績的中位數(shù);(3)如果用分層抽樣的方法從樣本分?jǐn)?shù)在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,再從6人中選2人,求2人分?jǐn)?shù)都在[80,90)的概率.解:(1)填寫頻率分布表中的空格,如下表:分組頻數(shù)頻率[50,60)20.04[60,70)80.16[70,80)100.2[80,90)160.32[90,100]140.28合計(jì)501.00補(bǔ)全頻率分布直方圖,如下圖:(2)設(shè)中位數(shù)為x,依題意得0.04+0.16+0.2+0.032×(x80)=0.5,解得x=83.125,所以中位數(shù)約為83.125.(3)由題意知樣本分?jǐn)?shù)在[60,70)有8人,樣本分?jǐn)?shù)在[80,90)有16人,用分層抽樣的方法從樣本分?jǐn)?shù)在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,則抽取的分?jǐn)?shù)在[60,70)和[80,90)的人數(shù)分別為2人和4人.記分?jǐn)?shù)在[60,70)的為a1,a2,在[80,90)的為b1,b2,b3,b4.從已抽取的6人中任選兩人的所有可能結(jié)果有15種,分別為{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a1,b4},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{a2,b4},{b1,b2},{b1,b3},{b1,b4},{b2,b3},{b2,b4},{b3,b4},設(shè)“2人分?jǐn)?shù)都在[80,90)”為事件A,則事件A包括{b1,b2},{b1,b3},{b1,b4},{b2,b3},{b2,b4},{b3,b4}共6種,所以P(A)=61522.(本小題滿分12分)砂糖橘是柑橘類的名優(yōu)品種,因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植砂糖橘,收獲時(shí),該果農(nóng)隨機(jī)選取果樹20株作為樣本測量它們每一株的果實(shí)產(chǎn)量(單位:kg),獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]進(jìn)行分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(45,50]上