2.6第二章數(shù)列小結(jié)與復(fù)習(xí)一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：1．系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關(guān)概念和公式。2．了解數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系。3．能通過前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。過程與方法：通過復(fù)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納能力，結(jié)合典型問題分析，提高學(xué)生知識的綜合運(yùn)用能力。情感、態(tài)度與價值觀：通過典型問題解決，鼓勵學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;二．重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)列的基本概念；數(shù)列的基本性質(zhì)；等差數(shù)列；等比數(shù)列的應(yīng)用.難點(diǎn)：數(shù)列的基本概念；數(shù)列的基本性質(zhì)；等差數(shù)列；等比數(shù)列的應(yīng)用.三、課型復(fù)習(xí)課四、教學(xué)方法問題引導(dǎo)，主動探究，啟發(fā)式教學(xué)．五、教學(xué)過程(一)本章知識結(jié)構(gòu)(二)知識綱要(1)數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，數(shù)列的分類，從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列．(2)等差、等比數(shù)列的定義．(3)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．(4)等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)．(5)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法．（三）典例解析專題一：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法數(shù)列的通項(xiàng)公式是給出數(shù)列的主要方式，其本質(zhì)就是函數(shù)的解析式．根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，不僅可以判斷數(shù)列的類型，研究數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢與規(guī)律，而且有利于求數(shù)列的前n項(xiàng)和．求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心問題之一．現(xiàn)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征把常見求通項(xiàng)公式的方法總結(jié)如下：1．知Sn求an例1、(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(－1)n＋1n，求an；(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.[解析](1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(1－2n)，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝(－1)2×1＝1，適合上式．∴an＝(－1)n(1－2n)．(2)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3＋21＝5，不滿足上式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n＝1,2n－1n≥2)).變式練習(xí)：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋3n＋1，求通項(xiàng)an.2．累加法例2、數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．[解析](1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2.即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是eq\i\su(k＝1,n,)(ak＋1－ak)＝eq\i\su(k＝1,n,)(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2n＋2.3．累乘法例3、已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，Sn＝n2an，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求an.[解析]由Sn＝n2an，得Sn－1＝(n－1)2an－1，兩式相減，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)．∴an＝(eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a2,a1))·a1＝(eq\f(n－1,n＋1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－3,n－1)·…·eq\f(2,4)·eq\f(1,3))·eq\f(1,2)＝eq\f(2×1,n＋1×n)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,nn＋1)(n≥2)．又∵當(dāng)n＝1時，a1＝eq\f(1,2)也符合上式，∴an＝eq\f(1,nn＋1).4．構(gòu)造轉(zhuǎn)化法例4、在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2,3)an＋1，求an.[解析]由已知an＋1＝eq\f(2,3)an＋1得：(an＋1－3)＝eq\f(2,3)(an－3)∴eq\f(an＋1－3,an－3)＝eq\f(2,3)，∴{an－3}為以a1－3＝－2為首項(xiàng)，q＝eq\f(2,3)的等比數(shù)列．∴an－3＝(－2)×(eq\f(2,3))n－1，∴an＝3－2·(eq\f(2,3))n－1.b1＝a2－a1＝eq\f(2,3)a1＋1－a1＝eq\f(2,3)，∴bn＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，即an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n， ③由①③得an＝3－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n.變式訓(xùn)練：已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．專題二：數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列運(yùn)算的重要內(nèi)容之一，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)．對于等差、等比數(shù)列，可以直接利用求和公式計算，對于一些具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)列，常用倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法等求和．1．分組轉(zhuǎn)化法如果一個數(shù)列的每一項(xiàng)是由幾個獨(dú)立的項(xiàng)組合而成，并且各獨(dú)立項(xiàng)也可組成等差或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和可考慮拆項(xiàng)后利用公式求解．例5、已知數(shù)列1＋1，eq\f(1,a)＋4，eq\f(1,a2)＋7，…，eq\f(1,an－1)＋3n－2，…求其前n項(xiàng)的和．[解析]設(shè)Sn＝(1＋1)＋(eq\f(1,a)＋4)＋(eq\f(1,a2)＋7)＋…＋(eq\f(1,an－1)＋3n－2)＝(1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an－1))＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，當(dāng)a＝1時，Sn＝n＋eq\f(n3n－1,2)＝eq\f(n3n＋1,2)；當(dāng)a≠1時，Sn＝eq\f(1－\f(1,an),1－\f(1,a))＋eq\f(n3n－1,2)＝eq\f(a－a1－n,a－1)＋eq\f(n3n－1,2).變式訓(xùn)練：已知數(shù)列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，…。(1)求其通項(xiàng)公式an；(2)求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.2．裂項(xiàng)相消法對于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時常用“裂項(xiàng)法”，分式的求和多利用此法．可用待定系數(shù)法對通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)．例6、求和：1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋…＋n)(n∈N＋)．[解析]∵an＝eq\f(1,1＋2＋…＋n)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴a1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))，a2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))，a3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))，…，an＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).3．錯位相減法若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為{anbn}，當(dāng)求該數(shù)列的前n項(xiàng)的和時，常常采用將{anbn}的各項(xiàng)乘以公比q，并項(xiàng)后錯位一項(xiàng)與{anbn}的同次項(xiàng)對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法．例7、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解析](1)因?yàn)?Sn＝3n＋3，所以當(dāng)n＝1時2a1＝3＋3，故a1＝3，當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝3n－1＋3，此時2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1.，,3n－1，n≥2.))(2)因?yàn)閍nbn＝log3an，所以b1＝eq\f(1,3)，當(dāng)n≥2時，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝eq\f(1,3)；當(dāng)n≥2時，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq\f(1,3)＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]．兩式相減，得2Tn＝eq\f(2,3)＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝eq\f(2,3)＋eq\f(1－31－n,1－3－1)－(n－1)×31－n＝eq\f(13,6)－eq\f(6n＋3,2×3n).所以Tn＝eq\f(13,12)－eq\f(6n＋3,4×3n)經(jīng)檢驗(yàn)，n＝1時也適合．綜上可得Tn＝eq\f(13,12)－eq\f(6n＋3,4×3n).4．倒序相加法如果一個數(shù)列{an}與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法．例8、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋m)(m>0)，當(dāng)x1、x2∈R，且x1＋x2＝1時，總有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,2).(1)求m的值．(2)設(shè)Sn＝f(eq\f(0,n))＋f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(2,n))＋…＋f(eq\f(n,n))，求Sn.[解析](1)取x1＝x2＝eq\f(1,2)，則f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2＋m)＝eq\f(1,4)，所以m＝2.(2)因?yàn)楫?dāng)x1、x2∈R，且x1＋x2＝1時，總有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,2)，所以f(eq\f(0,n))＋f(eq\f(n,n))＝eq\f(1,2)，f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(n－1,n))＝eq\f(1,2)，….因?yàn)镾n＝f(eq\f(0,n))＋f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(2,n))＋…＋f(eq\f(n,n))，故Sn＝f(eq\f(n,n))＋f(eq\f(n－1,n))