方程思想專題復習人教版八年級下冊數學期末復習1.一個三角形三邊的比為1∶∶2,這個三角形是直角三角形嗎？

∴這個三角形是直角三角形.解：根據題意設邊為x，x，2x，

∵x2

＋(x)2＝4x2

＝(2x)2，2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，求這根蘆葦的長度．

解：設這根蘆葦的長度為x尺．

依題意，得(x－1)2＋(10÷2)2＝x2，

解得x＝13. 答：這根蘆葦的長度為13尺．3.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC，高AD＝h.求AB. 解：∵AB＝AC＝BC，

∴△ABC是等邊三角形. ∴∠B＝∠BAC＝∠C＝60°. ∵AD⊥BC，∴∠BAD＝30°. 設AB＝x，則BD＝

，在Rt△ABD中，x2＝

＋h2，解得x＝

h，即AB＝

h. 4.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在斜邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，求EB′的長．解：設EB′＝x，

∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，

由折疊的性質可知，

BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，∠EB′A＝∠B＝90°，

則CB′＝AC－AB′＝4，EC＝BC－BE＝8－x，

在Rt△EB′C中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，

解得x＝3，

∴EB′＝3. ∴AC＝＝10，

5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，點D在BC上，把△ABD沿AD折疊，使AB落在直線AC上.

(1)求BC的長；

解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，

由勾股定理，得BC＝＝16.

(2)求重疊部分(陰影部分)的面積. 解：(2)依題意，得AB′＝AB＝20，

∴CB′＝AB′－AC＝8.

設CD＝x，則B′D＝BD＝16－x，

在Rt△B′CD中，CD2＋CB′2＝B′D2，

即x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6.

∴CD＝6.

∴重疊部分的面積為

CD·AC＝

×6×12＝36.6.為提高電車充電的便捷性，某企業決定在公路上修建一個充電站，如圖是某次用吊車搬運貨物的情況(吊車離地面的高度忽略不計)，吊鉤將貨物吊至與吊車平齊時，BC＝1.5m，當吊車繼續作業將機械臂AC抬高至AC′的位置時，B′C′＝2m，若貨物移動的水平距離BB′＝0.5m，求吊車的機械臂AC的長.解：設AB′的長為xm，

由題意可知C′B′⊥AB，CB⊥AB，

∵AC＝AC′，

∴由勾股定理，得AB′2＋C′B′2＝AB2＋CB2.

∵B′C′＝2m，BC＝1.5m，BB′＝0.5m，

∴x2＋22＝(x＋0.5)2＋1.52，解得x＝1.5.

∴AB＝1.5＋0.5＝2(m).

∴AC＝＝2.5(m).7.如圖，將長方形ABCD沿AC對折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE與AD相交于點F. (1)求證：EF＝DF；

(1)證明：∵矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△AEC的位置，

∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，

又∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，

∴AE＝DC，而∠AFE＝∠CFD，

∴Rt△AEF≌Rt△CDF(AAS)，∴EF＝DF；(2)若AB＝，BC＝3，求折疊后的重疊部分(陰影部分)的面積.(2)解：∵四邊形ABCD為矩形，

∵Rt△AEF≌Rt△CDF，

∴FC＝FA，設FA＝x，則FC＝x，FD＝3－x，

在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，

∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝，

∴折疊后的重疊部分的面積＝

AF·CD＝

×2×

.即x2＝()2＋(3－x)2，解得x＝2，

8.如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，且AE＝AD，DF⊥AE于點F. (1)求證：CE＝FE；

(1)證明：如圖，連接DE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB. ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，

∴△ABE≌△DFA(AAS).∴AB＝CD＝DF. ∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL).∴CE＝FE；

在△ABE和△DFA中，

在Rt△DFE和Rt△DCE中，(2)若FD＝5，CE＝1，求矩形的面積.

(2)解：∵△DFE≌△DCE，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5. 設AD＝x，則AF＝AE－EF＝AD－1＝x－1，

在Rt△AFD中，由勾股定理得AF2＋DF2＝AD2，∴(x－1)2＋52＝x2. ∴x＝13.即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD·DC＝13×5＝65.9.如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分別與CD相交于點O，G，且OE＝OD，求AP的長.解：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，由折疊得AP＝PE，AB＝BE＝8，∠E＝∠D＝90°，∵OD＝OE，∠DOP＝∠EOG，∴△POD≌△GOE(ASA).∴DP＝EG，OP＝OG.∴DG＝PE.設AP＝PE＝x，則PD＝GE＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x，在Rt△BCG，BC2＋CG2＝BG2，即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8.∴AP＝4.8.10.如圖，已知?ABCD的周長是36cm，由鈍角頂點D向AB，BC引兩條高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，求這個平行四邊形的面積.設BC＝4x，則AB＝5x，∵C?ABCD＝36cm，∴2(4x＋5x)＝36.解得x＝2.∴BC＝8cm.解：S?ABCD＝DF·BC＝DE·AB＝5·BC＝4·AB，∴

.∴S?ABCD＝5×8＝40(cm2).11.如圖，長方形紙片ABCD的長AD＝9cm、寬AB＝3cm，將其折疊，使點D與點B重合.求：(1)折疊后DE的長；解：(1)設DE的長為xcm，則AE＝(9－x)cm，BE＝xcm，在Rt△ABE中，BE2＝AE2＋AB2，即x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴折疊后DE的長為5cm；(2)折痕EF的長.解：(2)設FC長為ycm，則BF＝(9－y)