教學設計普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修1-1（人教A版）函數的單調性與導數（第一課時）《函數的單調性與導數》教學設計課題:函數的單調性與導數教材:人教A版《數學》選修1-1課時:1課時教材分析:函數的單調性與導數是人教A版選修1-1第三章第三課第一節的內容.《數學課程標準》中與本節課相關的要求是：結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間.函數的單調性是函數的重要性質之一.在必修一中學習了利用函數單調性的定義、函數的圖象來研究函數的單調性，學習了導數以后，利用導數來研究函數的單調性，是導數在研究處理函數性質問題中的一個重要應用.在前幾節課中，學生學習了平均變化率，瞬時變化率，導數的定義和幾何意義等內容，在本節課中，學生將要在此基礎上學習通過導數來研究函數的單調性，掌握研究函數單調性的更一般方法，進而為后面學習函數的極值，最值等作出知識鋪墊，打下能力基礎，進行方法指導，因此，本節課可以起到承上啟下，完善建構，拓展提升的作用.學生學情分析:課堂學生為高二年級的學生，學生基礎普遍比較好，但是學習單調性的概念是在高一第一學期學過，因此對于單調性概念的理解不夠準確，同時導數是高中學生新接觸的概念，如何將導數與函數的單調性聯系起來是一個難點.在本節課之前學生已經學習了導數的概念、導數的幾何意義和導數的四則運算，初步接觸了導數在幾何中的簡單應用，但對導數的應用還僅停留在表面上.本節課應著重讓學生通過探究來研究利用導數判定函數的單調性.教學目標:結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系：能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間.重點：利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間.難點：探索并了解函數的單調性與導數的關系.借助幾何直觀，通過實例探索并了解函數的單調性與導數的關系；理解并掌握利用導數判斷函數單調性的方法，會用導數求函數的單調區間；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性，同時感受和體會數學發展的一般規律.教學策略分析:根據新課程標準的要求，本節課的知識目標定位在以下三個方面：一是能探索函數的單調性與導數的關系；二是掌握判斷函數單調性的方法；三是能由導數信息繪制函數大致圖象.本節課的教學設計也是圍繞這些目標，讓學生自主探究，充分參與課堂，并從中體會學習的成功和快樂.本節課時學習過導數的概念和運算后，首次運用導數解決函數相關問題的一節課，如何激發學生的興趣，使其探索和運用新的工具即導數解決單調性問題是本節課的關鍵，利用手邊胡工具，更好的分析這個過程，運用信息技術確認加深理解.充分利用學生已有的基礎，分析原函數的單調性與導數正負之間的關系，本著由形到數，由數到形，數形結合的思想.（一）創設情境，引發沖突.師：在北方，進入十月，就能感覺到陣陣寒意，今天我們就從一個氣溫的實際問題開始數學之旅.師：我市氣象站對冬季某一天氣溫變化的數據統計顯示，從2時到5時的氣溫與時間可近似的用函數擬合，問：這段氣溫隨時間的變化趨勢如何？回答這個問題，我們需要了解這個函數的什么性質？生：函數的單調性.師：如何判斷這個函數的單調性呢？生：畫圖象，用定義.師：有的同學說畫圖象，有的說用單調性的定義，我們動手來做一下吧生：動手操作.師：選擇畫圖的同學們，可以畫出圖象么？生：不可以.師：哪位同學來說一下如何用單調性的定義來解決. 生：在區間2到5上，任意選取且 ，我們需要判斷 的符號，師：可以判斷么？生：不可以.師：好，請坐，也就是我們已有的方法都遇到了困難，如何解決這個單調性問題呢？設計意圖：通過學生熟悉的生活情景，激發學生迫切知曉函數單調性的欲望，嘗試運用所學知識解決非初等函數的單調性，引發學生的認知沖突，思考如何將未知化為已知，激發了學生主動學習新知識的熱情.（二）回歸定義，尋求方法.師：追本溯源，我們重新回到定義.請一位同學回答單調性的定義.生:在函數的定義域內的某區內，滿足對于任意的 且 ，都有 ，是增函數.師：很好，也就是我們要需要判斷 的符號，我們把這個形式變形，判斷的符號，結果為:生：大于0.師：即函數值的改變量與自變量改變量的比值:生：大于0師：函數在區間 內是減函數，滿足對于任意的 且 ，都有 ，也就是生：小于0.即函數值的改變量與自變量改變量的比值:生：小于0.師：我們發現，函數的單調性與這樣一個比值的符號相關，在本章的學習中，我們知道這叫做----生：函數的平均變化率.師：我們運用無限趨近于的方式，可以由平均變化率得到瞬時變化率，反過來，瞬時變化率可以刻畫函數在該點附近的變化情況，我們知道瞬時變化率，即----生：導數.師：非常棒！我們這節課就試著用導數來研究函數的單調性.板書：3.3.1函數的單調性與導數.設計意圖：注意到知識的聯系，嘗試在學生原有認知的基礎上建立新知，通過回顧函數單調性的定義，將其形式改變，聯想平均變化率，運用無限趨近于的方式，得到瞬時變化率，即導數，引發學生思考導數與單調性的關系，這個過程由淺入深，層層深入，合乎學生的邏輯思維.（三）觀察發現，探索規律.師：要研究函數的單調性與導數的關系，我們來觀察，函數單調遞增時，平均變化率大于0，函數單調遞減時，平均變化率小于0，那么，導數的符號是否與函數的單調性有關呢？師：我們從最熟悉的函數開始研究，我們都學過哪些基本初等函數呢？生：冪函數，指數函數，對數函數，三角函數.師：對于這些函數，我們都是通過函數的形，也就畫出圖像的方式來研究，同樣的，導數的形，也就是導數的幾何意義是什么呢？生：函數的圖像在該點處切線的斜率.師：根據導數的幾何意義，我們一起來看研究的方法.師：給出函數的圖像，指出其單調區間，用牙簽靠近圖像，使其作為該點處的切線，移動牙簽，觀察斜率即導數的正負情況.師：拿出坐標紙，作出你研究的函數圖像，利用牙簽，得出結論，并填寫下面的表格.師：可以進行討論，到前面展示你的結果.師：我們一起來看同學們的展示，可以得到什么結論呢？生：導數為負數時函數單調遞減，導數為正數時單調遞增.師：熟悉的初等函數，得到這樣的結論，數學來源于生活，我們再來看生活中的例子:給出高臺跳水運動員的高 隨時間 變化的函數，來研究運動員運動狀態的變化情況.生：可以畫出這個二次函數的圖像，得到高度的變化情況，從時刻，高度上升，時刻高度下降.師：也就是高度函數先單調遞增，而后單調遞減，運動狀態除了高度，還有速度，我們進一步研究.師：給出導函數即速度函數的圖像，有什么結論？生：導函數即速度圖像在軸的上方時高度函數單調遞增，導函數圖像在軸下方時函數單調遞減.設計意圖：從基本初等函數入手，讓學生動手操作，通過觀察、歸納，提煉，激發學生的自主探究欲望.讓學生發現導數的符號與函數的單調性之間的聯系.培養學生共同解決問題、探討問題的能力和合作意識，從而培養學生的探究意識和探究能力.引導學生從形的角度來驗證，降低了學生的思維難度，又能體會導數研究單調性的一般性.生活實例高臺跳水是我們從導數概念就開始使用，把抽象的概念與物理背景結合，能迅速的突破難點，高度函數的單調性與速度函數的關系,再次確認了結論.（四）結論總結，揭示本質.師：我們一起來總結一下函數的單調性與導數的關系.一般地，函數在某個區間內1)如果恒有>0，那么在這個區間內單調遞增；2)如果恒有<0，那么在這個區間內單調遞減.導函數值的正負與單調性之間存在這樣的關系，這個結論也印證了我們本節課一開始的思考和分析.若恒有=0呢？思考一下板書：結論內容師：有結果了么？生：常函數.設計意圖：由觀察、猜想到歸納、總結，讓學生體會知識的發現的過程，使學生的思維、行動積極主動地參與課堂教學.從猜想到驗證的發現過程，使自主探究成為學生的一種學習習慣.（五）自主分析，多維驗證.師：這里我們分析了我們熟悉的函數，其他的函數呢？我們不妨來分析一下我們遇到困難的函數.師：運用我們探究出的結論，求出函數的單調區間，如何運用導數知識來解決呢？生：先給出定義域，求出導函數，導函數大于0的部分為增區間，小于0的部分為減區間.師：非常好！我們把完整的過程展示出來，發現利用導數這個工具，可以便捷的解決這個單調性問題.借助于作圖工具，我們來看.師：做出函數的圖像，在圖像上任意選取一點，移動該點，我們可以觀察到什么？生：函數單調遞減然后單調遞增.師：這個函數的單調性與導數之間有我們剛才得到的關系么？利用導數的幾何意義，做出該點處的切線，顯示其斜率即導數值，讓點運動起來.師：有什么發現？生：導數值為正數時函數單調遞增，函數值為負數時函數單調遞減.師：我們可以做出導數點，動態生成導函數圖像，再次印證了我們的結論作出該點出的切線，觀察斜率即導數值得變化.作出導數點，觀察導函數的形成過程.對比函數和導函數的圖像，得出函數的單調性和導數正負的關系.設計意圖：讓學生見證導數在研究函數單調性問題上的威力，感受數學來源于生活又服務于生活.教師使用GGB來動態演示，引導學生從“形”的角度驗證，實現多維驗證，降低學生思維的難度，體現了導數方法在研究單調性問題中的一般性和優越性.（六）數學應用，體會價值.例：求函數的單調區間，并畫出函數的大致圖像.師：一起解決，并進行板書.展示學生的繪圖.生:共同回答.練習：求函數的單調區間.師：用GGB展示結果.設計意圖：開放函數系數，激發學生自我挑戰的學習欲望，為學生創設“應用導數研究函數單調性”的自由平臺，感受到書法的通用性和優越性，充分展現導數在研究函數問題中的強大工具作用，同時高效重溫二次不等式的解法，避免因解不等式的障礙沖淡核心知識的學習，起到一題多用的效果.（七）方法小結，課堂提升.師：通過本節課的學習，思考下面的問題生：學習了函數的單調性與導數的關系，能夠用利用導數求函數的單調區間，研究中體現了數形結合的思想.師：我們從一個無法解決的實際問題出發，回歸定義尋求方法，從熟悉的函數到實際生活，得出結論，并能運用到陌生的函數中，探究過程中體現了數形結合的思想.設計意圖：作為本節課的總結，從知識、方法、思想三個角度進行總結，對整節課探究過程進行回顧，體會數學研究問題的方式和其中的數學思想.嘗試學生回顧本節的學習，培養“學習-總結-反思”的良好習慣.（八）回歸生活，感悟數學.師：最后我們放松一下，一起來坐過山車生：過山車時視線向上時高度上升，視線向下時高度下降.師：這如同函數的單調性與切線斜率即導數正負的關系.師：人生猶如過山車，站在人生的每個瞬間的點上，我們都能向上看，人生軌跡就會是持續上升趨勢；相反，如果我們被負面情緒縈繞，我們就會走下坡路.只要飽含正能量，腳踏實地走好每一步，相信同學們的前途會一片光明！設計意圖：體會數學可以回歸生活.再次加深對本節課的感性認識，體會數學的人文精神.（九）分層作業，因材施教.必做題：教材98頁，習題3.3A組1、2題.選做題：結合所學知識，舉幾個函數實例，比較定義法、圖像法、導數法求單調區間的特點.設計意圖：學生鞏固所學知識，為學有余力的同學留進一步探索、發展的空間.點評:現代教學的核心是“以學生的發展為本”，注重學生的學習狀態和情感體驗，本節課圍繞這一思想進行設計.首先從一個實際問題出發，給出一個無法用已有知識解決的函數，產生了問題與已有知識的矛盾，激發學生發現問題，解決問題的欲望.本節課利用單調性的定義，把單調性的判斷轉化為平均變化率的符號的判斷，然后從平均變化率引出瞬時變化率即導數，在這個過程中，實現在已有知識上生長出新的理解，把這個理解與導數緊密結合起來,解決了研究工具的問題.本節課的結論暫時無法證明，因此讓學生發現規律，認同其一般性和科學性是十分重要的.設計用做圖紙畫出函數和利用牙簽來研究，能充分