廣東省清遠市2025屆高三教學質量檢測（二）數學試題1．已知集合A=x∣x2?6x+8<0，集合A．1,2∪3,+∞C．1,2∪4,+∞2．設i為虛數單位，復數z滿足z2+i=6+2i，則A．2 B．22 C．2 D．3．已知a=2,2m?1，b=4,m，且A．4 B．23 C．34 4．已知隨機變量X服從正態分布N10,A．PB．當σ=0.1時，DC．ED．隨機變量X落在9.9,10.2與落在9.8,10.1的概率相等5．已知等差數列an的前n項和為Sn，公差d≠0，若S5=35，且a2，aA．11 B．13 C．19 D．176．已知函數fx=3sinπωx?cosπωxω>0在0,1A．103,236 B．103,7．設曲線y=en+1xn∈N?在1,eA．?1 B．?C．log20252024?18．已知拋物線C的方程為y2=4x，直線l與C交于A，B兩點，A，B兩點分別位于x軸的上下兩側，且OA→?OB→=5，其中O為坐標原點．過拋物線C的焦點F向l作垂線交l于點H，動點HA．x?32+y2=4（除去點1,0），23 C．x?32+y2=1，29．某同學擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現的點數．根據該同學記錄的結果，判斷可能出現點數6的是（）A．平均數為3，中位數為2 B．中位數為3，眾數為2C．平均數為2，方差為2.4 D．中位數為3，方差為2.810．如圖，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，A．BD⊥B．平面A1BP與平面ABCDC．若A1Q=11，則點D．若點G在直線A1B上，則AG+GP11．我們常用的數是十進制數，如1025=1×103+0×102+2×101+5×100，表示十進制的數要用10個數碼0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而電子計算機用的數是二進制數，只需兩個數碼0和1，如四位二進制的數11012=1×A．M5,4=1023 C．M3n,212．x?13x13．已知函數fx=ex?e?x+2sinx，若m>0，14．一個質點從平面直角坐標系的原點出發，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質點在第10秒末到達點P4,2的跳法共有15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=sinAcosB+1（1）求A；（2）若b+c=2a，△ABC外接圓的半徑為2，求△ABC的面積．16．已知數列an的首項為a1=4（1）求證：an（2）求數列an的前n項和S17．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點F2的直線l交橢圓C于A，B兩點，當△F118．如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E，F分別為PB，PD的中點．設平面AEF∩平面ABCD=m．（1）求證：m//BD；（2）求直線PA與平面AEF所成角的正弦值；（3）若平面AEF與棱PC交于點M，求PMPC19．在幾何學中常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C:y=fx上的曲線段AB，其弧長為Δs，當動點從A沿曲線段AB運動到B時，A點的切線lA也隨著轉動到B點的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則曲線的彎曲程度越大，因此可以定義K=ΔθΔs為曲線段AB的平均曲率；顯然當B越接近A，即Δs越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義K=limΔs→0Δθ（1）求單位圓上圓心角為45°（2）求拋物線y2=8x在（3）定義φy=22y″1+y'3為曲線y=fx的“柯西曲率”．已知在曲線fx=xlnx?2x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵A=x∣B=x∣∴?B故答案為：C．【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用對數型函數的單調性，從而得出集合B，再結合補集的運算法則得出集合?B2．【答案】B【解析】【解答】解：因為z2+i=6+2i，

所以所以z=故答案為：B．【分析】先用復數的除法法則得到z=14?2i3．【答案】B【解析】【解答】解：因為a=2,2m?1，b=所以2×m=4×2m?1，

解得m=故答案為：B.【分析】由向量共線的坐標表示，從而列式求出實數m的值.4．【答案】D【解析】【解答】解：對于A，因為PX<9.9+PX≤10.1對于B，當σ=0.1時，D2X+1對于C，由正態分布密度曲線可知EX對于D，由正態分布密度曲線的對稱性可知，

隨機變量X落在9.9,10.2與落在9.8,10.1的概率相等，故D正確．故答案為：D．【分析】由正態分布對應的概率密度函數的對稱性，則判斷出選項A和選項D；由方差的性質判斷出選項B；由正態分布的數學期望的表示，則判斷出選項C，從而找出結論正確的選項.5．【答案】C【解析】【解答】解：因為S5=52a又因為a2，a4，a9成等比數列，

所以a1+3d2再與a1+2d=7聯立可得a1所以an=3n?2，故答案為：C．【分析】利用等差數列的性質和等差數列的求和公式以及等差中項公式，從而可得a1+2d=7，再由等比中項公式可得d=3a1，將兩式聯立可得a16．【答案】D【解析】【解答】解：因為fx且當0≤x≤1時，?π又因為函數fx在0,1所以5π2≤πω?π6<3π故答案為：D．【分析】利用輔助角公式化簡函數為正弦型函數，再根據函數fx在0,1內恰有3個最值點和3個零點，則由正弦型函數的圖象與性質列出不等式，從而求解不等式得出實數ω7．【答案】A【解析】【解答】解：由y=en+1xn∈N所以曲線y=en+1xn∈N令y=0，得xn=nn+1=log故答案為：A．【分析】先求導，再由導數的幾何意義得出切線方程，從而得出xn=n8．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，可設Ay124,y1，By224,y設直線l的方程為x=my+n，

與拋物線方程聯立得y2所以y1y2=?4n=?20，

則n=5，

所以直線所以直線l過定點D5,0又因為FH⊥HD，

由圓的定義可知動點H的軌跡是以FD為直徑的圓，因為F1,0,FD所以H點的軌跡方程為L:x?32+過原點的直線和L在第一象限內相切時，斜率最大，所以直線OH斜率的最大值為232?22=255．

故答案為：B.

【分析】先由題意，設Ay124,y1，9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，當投擲骰子出現結果為1，1，2，5，6時，

滿足平均數為3，中位數為2，可以出現點數6，故A正確；對于B，當投擲骰子出現結果為2，2，3，4，6時，

滿足中位數為3，眾數為2，可以出現點數6，故B正確；對于C，若平均數為2，且出現6點，

則方差S2>1對于D，當投擲骰子出現結果為1，2，3，3，6時，

滿足中位數為3，平均數為：x=15×1+2+3+3+6=3，故答案為：ABD.【分析】根據題意舉例，再結合中位數公式、眾數公式、平均數公式和方差公式，從而逐項判斷找出判斷可能出現點數6的選項.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：如圖1，連接AC，

由菱形ABCD，可得AC⊥BD，再由直棱柱ABCD?A1B1C1D又因為BD?底面ABCD，

所以CC又因為CC1∩AC=C,CC1,AC?平面ACC又因為A1P?平面ACC1A因為A1B=22，BP=5，A1P=13其在底面投影的三角形ABC的面積為S?ABC由投影面積法可得平面A1BP和平面ABCD所成角的余弦值為cosθ=S如圖2，動點Q在側面DCC1D1內（包含邊界），過A1在直棱柱ABCD?A平面A1B1C1D1⊥平面CC1D1D，平面A1B1因為NQ?側面DCC1D1，

所以A1N⊥NQ，

由菱形ABCD邊長為2，由勾股定理得：NQ=11?3=22，

則點Q以22為半徑的圓弧（如圖3中EF），

則由側面正方形DCC1D1，可知ND1=1，NQ=22，

可得由?A1BP將?A1AB與?A1由余弦定理得：AP則AP=9+210，

所以AG+GP的最小值為故答案為：ABC.【分析】利用直棱柱的結構特征和菱形的結構特征，則由線面垂直得出線線垂直，則判斷出選項A；利用投影面積法求出二面角的余弦直，則判斷出選項B；先弄清點Q的軌跡，再求其長度，則可判斷出選項C；利用表面展開轉化為兩點之間，直線段最短，從而求出AG+GP的最小值，則判斷出選項D，從而找出結論正確的選項.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，

因為M5,4對于B，由M4,2M2,4=334=3×對于C，因為M3M3n,2又因為3n>3n，可得23n?1>對于D，

因為M===n+1又因為M===n+2而函數fx=lnxx,x>e，可得f'當n∈N?時，e<n+2<n+3，

則fn+2>fn+3因此n+3lnn+2>n+2ln則Mn+3,n+2故答案為：ACD．

【分析】根據題意得出M5,4=333334=45?1=1023，可判斷出選項A；由M4,2=15，M2,4=15可判斷出選項B；由M3n,2=23n12．【答案】5【解析】【解答】解：因為x?13x令6?32r=0，得r=4，

故答案為：527【分析】先由二項式定理求出二項式展開式的通項，再賦值得出r的直，從而得出x?113．【答案】4【解析】【解答】解：因為fx所以f?x又因為f'所以函數fx為奇函數且為增函數，f由f2m+fn?2=0，

可得2m+n?2=0，因為m,n>0，

所以1m+2n=12故答案為：4.【分析】先利用已知條件判斷出函數的奇偶性和單調性，結合函數的性質可得m,n的關系式，再利用基本不等式求最值的方法，從而得出1m14．【答案】9450【解析】【解答】解：依題意，則質點第10秒末到達點P4,2第一類，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有C10第二類，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有C10第三類，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有C10根據分類計數原理得，共有3150+5040+1260=9450（種）．故答案為：9450.【分析】結合題意先分三類，每類由分步乘法計數原理結合組合數公式，再由分類加法計數原理得出此質點在第10秒末到達點P4,215．【答案】（1）解：因為sinC=sinAcosB+12sinB所以sinC=sin所以cosAsinB=1又因為B∈0,π，所以sinB>0，

則cosA=因為A∈0,π，

所以A=（2）解：由正弦定理得asinA=4，

則由余弦定理得cosA=b所以b+c2所以b+c2因為b+c=43，

所以bc=12則?ABC的面積為S=1【解析】【分析】（1）由三角形內角和定理和誘導公式以及兩角和的正弦公式，則cosAsinB=1（2）由正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，從而計算可得?ABC的面積.（1）因為sinC=sinAcosB+12sinB所以sinC=sinA+B所以cosAsinB=1又因為B∈0,π，所以sinB>0，故cosA=因為A∈0,π，所以A=（2）由正弦定理得asinA=4，則由余弦定理得cosA=b所以b+c2所以b+c2因為b+c=43，所以bc=12故△ABC的面積S=116．【答案】（1）證明：∵數列an滿足an+1+an∴a所以an+1又∵a∴a∴數列an?5n表示首項為（2）解：由（1）知，an∴a∴S當n為偶數時，可得Sn當n為奇數時，可得Sn綜上可得，S【解析】【分析】（1）由遞推公式變形得an+1?5n+1an?（2）由（1）得an=?1n+5n，再利用分組求和法和等比數列前n（1）證明：∵數列an滿足an+1+∴a即an+1又∵a∴a∴數列an?5n表示首項為（2）由（1）知an∴a∴S當n為偶數時，可得Sn當n為奇數時，可得Sn綜上可得，S17．【答案】（1）解：因為橢圓C的離心率為ca=32，則c2又因為1,32在橢圓C上，

代入方程得又因為a=2b，可得a=2b=1所以，橢圓C的方程為x2（2）解：由題意，設直線l的方程為x=my+3聯立x24+y2設Ax1,則y1+yS當且僅當m2+1=則所求直線l的方程為x+2y?3【解析】【分析】（1）根據橢圓的離心率得出a=2b，將1,32代入橢圓方程得（2）設直線l的方程為x=my+3，將直線l方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得出S△F1AB=1（1）橢圓C的離心率為ca=32，則又因為1,32在橢圓C上，代入方程得又因為a=2b，可得a=2b=1故橢圓C的方程為x2（2）由題意，設直線l的方程為x=my+3聯立x24+設Ax1,則y1+yS△當且僅當m2+1=故所求直線l的方程為x+2y?318．【答案】（1）證明：連接EF，在△PBD中，

因為E，F分別為PB，PD的中點，所以EF//BD，

又因為EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以EF//平面ABCD，又因為EF?平面AEF，平面AEF∩平面ABCD=m，

所以EF//m，又因為EF//BD，

所以m//BD．（2）解：設AC∩BD=O，連接PO，因為P?ABCD為正四棱錐，

所以O為正方形ABCD的中心，所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD，以O為原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，A2,0,0，B0,2,0，C?2,0,0，則PA=2,0,?2，設平面AEF的法向量為m=則m?AE=0m?EF=0，

則?設直線PA與平面AEF所成角為θ，則sinθ=cos所以，直線PA與平面AEF所成角的正弦值為1010（3）解：連接AM，設PMPC=λ0<λ<1，

因為AP=?2,0,2由（2）知平面AEF的法向量為m=所以平面AEMF的法向量為m=由AM?平面AEMF，可知m?則?2?2λ+22所以PMPC【解析】【分析】（1）先由線線平行證出線面平行，再由線面平行的性質定理和平行的傳遞性，從而證出m//BD.（2）利用已知條件和正四棱錐的結構特征得出線線垂直和線面垂直，從而建立空間直角坐標系，得出平面AEF的法向量，再結合數量積求向量夾角公式和誘導公式，從而得出直線PA與平面AEF所成角的正弦值.（3）根據向量共線的坐標表示和向量加法的坐標表示，從而得出AP?，AM?的坐標，由（2）知平面AEF的法向量，從而得出平面AEMF的法向量，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而得出（1）連接EF，在△PBD中，因為E，F分別為PB，PD的中點，所以EF//BD，又因為EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以EF//平面ABCD，又因為EF?平面AEF，平面AEF∩平面ABCD=m，所以EF//m，又因為EF//BD，所以m//BD．（2）設AC∩BD=O，連接PO，因為P?ABCD為正四棱錐，所以O為正方形ABCD的中心，所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD．以O為原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，A2,0,0，B0,2,0，C?