高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024-2025學年高一下學期期中考試教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A1 B.2 C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.已知是平面內不共線的四點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為是不共線的四點，若，則有，，故四邊形為平行四邊形；若四邊形為平行四邊形，則有.故“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件.故選：C.3.如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，由斜二測畫法可知，，所以.故選：B.4.已知平面向量，，則向量與的夾角大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，所以，故.故選：D.5.已知圓錐的表面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的母線長為（）A.2 B. C.1 D.2【答案】A【解析】設圓錐的底面半徑為，母線為，則，解得或（舍），故選：A6.記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知及余弦定理得，解得（負值舍去），所以的面積為.故選：A.7.在正六邊形中，點是線段上靠近點的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，如圖，，因為，，所以.故選：D.8.在平面四邊形中，已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則四點共圓，如圖所示，故點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點），于是，，又表示在方向上的投影的數量，由圖可知，當點在劣弧的中點位置時，投影的數量最小，此時，連接交于點，則，故，即的最小值為，故的最小值為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數滿足，，其中是虛數單位，表示的共軛復數，則下列正確的是（）A.的虛部為B.在復平面內對應的點位于第一象限C.是純虛數D.若是關于的實系數方程的一個根，則【答案】BCD【解析】根據題意，，解得，，所以的虛部為，故A錯誤；又，則在復平面內對應的點為，位于第一象限，故B正確；又，故C正確；若是方程的一個根，則方程的另一根為，根據韋達定理有，，解得，，所以，故D正確.故選：BCD.10.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體，正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，它是由邊數不全相同的正多邊形為面所圍成的多面體，這體現了數學的對稱美.如圖，將棱長為1的正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此一共可截去八個三棱錐，得到一個半正多面體，它們的棱長都相等，則下列說法正確的有（）A.該半正多面體有12個頂點 B.該半正多面體有12個面C.該半正多面體表面積為3 D.該半正多面體體積為【答案】AD【解析】該半正多面體的所有頂點恰為正方體各棱的中點，有12個頂點，14個面（6個正方形，8個正三角形），故A正確，B錯誤；該半正多面體所有頂點都為正方體的棱的中點，所以該半正多面體的棱長為，故半正多面體的面積為，故C錯誤；半正多面體的體積為，故D正確.故選：AD.11.記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，則下列結論正確的是（）A.一定是鈍角三角形 B.C.角的最大值為 D.【答案】ACD【解析】對于A，由，得，由余弦定理有：，又因為，所以為鈍角，A正確；對于B，因為，由正弦定理有：，所以，整理得：，因為，等式兩邊同除以，得：，B錯誤；對于C，由余弦定理有：，又因為，所以，當且僅當，即時等號成立，因為，所以，所以角的最大值為，C正確；對于D，，所以，即，所以，，所以，故，由正弦定理可得：，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量與互相垂直，且，，則的坐標為______【答案】【解析】設，因為與垂直，所以，即，又因為，所以，故.故答案為：.13.已知一個正四棱臺兩底面邊長分別為1和2，高為3，則該正四棱臺的體積為______.【答案】7【解析】由棱臺的體積公式，該棱臺的體積為.故答案為：7.14.如圖，點，是半徑為2的圓周上的定點，為圓周上的動點，，則圖中陰影區域的面積的最大值為______.【答案】【解析】如圖，取圓心為點，連接，由圓的性質可知當為優弧的中點時，到的距離最大，此時陰影部分的面積取最大值，因為，此時，故陰影部分的面積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.15.已知向量，不共線，且，，．（1）若，求的值；（2）若，求證：，，三點共線．（1）解：若，則，即，可得，解得，，所以.（2）證明：若，則，所以，，所以，則，，三點共線．16.已知與是平面內的兩個向量，，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）在平面直角坐標系下，若，求在方向上的投影向量的坐標.解：（1）.（2）因為，所以.（3）在方向上的投影向量為.17.某海域的東西方向上分別有兩個觀測點（如圖），它們相距海里.現有一艘輪船在點發出求救信號，經探測得知點位于點北偏東，點北偏西，這時，位于點南偏西且與點相距海里的點有一救援船，其航行速速為海里/小時.（1）求點到點的距離；（2）若命令處的救援船立即前往點營救，求該救援船到達點需要的時間.解：（1）由題意知海里，，，在中，由正弦定理得，，（海里）.（2）在中，，（海里），由余弦定理得，（海里），則需要的時間（小時）．答：救援船到達點需要2小時．18.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大小．（2）若，的面積為，求的周長．（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）∵，∴，即，∵，∴，∴，故.（2）由（1）得，，∵的面積為，∴，即，解得，由余弦定理得，，∴，故的周長為.（3）由得，則，∴.∵為銳角三角形，∴，故，∴，故，∴，即的取值范圍是.19.如圖，圓的半徑為，其中、為圓上兩點.（1）若，當為何值時，與垂直？（2）若為的重心，直線過點交邊于點，交邊于點，且，，求最小值.（3）若的最小值為，求的值.解：（1）因為，，所以由余弦定理得，即，即，解得，由平面向量數量積的定義可得，若與垂直，則，所以，所以，解得，即當時，與垂直.（2）因為為的重心，所以，又因為，，所以，由于、、三點共線，所以存在實數使得，所以，化簡為，因為、不共線，所以，，所以，所以.顯然，，則，當且僅當時，即當時，取最小值.（3）設，取線段的中點，連接，則，則，又，所以當時，有最小值，所以，解得，即取最小值時，．安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024-2025學年高一下學期期中考試教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A1 B.2 C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.已知是平面內不共線的四點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為是不共線的四點，若，則有，，故四邊形為平行四邊形；若四邊形為平行四邊形，則有.故“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件.故選：C.3.如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，由斜二測畫法可知，，所以.故選：B.4.已知平面向量，，則向量與的夾角大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，所以，故.故選：D.5.已知圓錐的表面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的母線長為（）A.2 B. C.1 D.2【答案】A【解析】設圓錐的底面半徑為，母線為，則，解得或（舍），故選：A6.記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知及余弦定理得，解得（負值舍去），所以的面積為.故選：A.7.在正六邊形中，點是線段上靠近點的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，如圖，，因為，，所以.故選：D.8.在平面四邊形中，已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則四點共圓，如圖所示，故點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點），于是，，又表示在方向上的投影的數量，由圖可知，當點在劣弧的中點位置時，投影的數量最小，此時，連接交于點，則，故，即的最小值為，故的最小值為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數滿足，，其中是虛數單位，表示的共軛復數，則下列正確的是（）A.的虛部為B.在復平面內對應的點位于第一象限C.是純虛數D.若是關于的實系數方程的一個根，則【答案】BCD【解析】根據題意，，解得，，所以的虛部為，故A錯誤；又，則在復平面內對應的點為，位于第一象限，故B正確；又，故C正確；若是方程的一個根，則方程的另一根為，根據韋達定理有，，解得，，所以，故D正確.故選：BCD.10.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體，正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，它是由邊數不全相同的正多邊形為面所圍成的多面體，這體現了數學的對稱美.如圖，將棱長為1的正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此一共可截去八個三棱錐，得到一個半正多面體，它們的棱長都相等，則下列說法正確的有（）A.該半正多面體有12個頂點 B.該半正多面體有12個面C.該半正多面體表面積為3 D.該半正多面體體積為【答案】AD【解析】該半正多面體的所有頂點恰為正方體各棱的中點，有12個頂點，14個面（6個正方形，8個正三角形），故A正確，B錯誤；該半正多面體所有頂點都為正方體的棱的中點，所以該半正多面體的棱長為，故半正多面體的面積為，故C錯誤；半正多面體的體積為，故D正確.故選：AD.11.記的三個內角、、所對的邊分別為、、，已知，則下列結論正確的是（）A.一定是鈍角三角形 B.C.角的最大值為 D.【答案】ACD【解析】對于A，由，得，由余弦定理有：，又因為，所以為鈍角，A正確；對于B，因為，由正弦定理有：，所以，整理得：，因為，等式兩邊同除以，得：，B錯誤；對于C，由余弦定理有：，又因為，所以，當且僅當，即時等號成立，因為，所以，所以角的最大值為，C正確；對于D，，所以，即，所以，，所以，故，由正弦定理可得：，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量與互相垂直，且，，則的坐標為______【答案】【解析】設，因為與垂直，所以，即，又因為，所以，故.故答案為：.13.已知一個正四棱臺兩底面邊長分別為1和2，高為3，則該正四棱臺的體積為______.【答案】7【解析】由棱臺的體積公式，該棱臺的體積為.故答案為：7.14.如圖，點，是半徑為2的圓周上的定點，為圓周上的動點，，則圖中陰影區域的面積的最大值為______.【答案】【解析】如圖，取圓心為點，連接，由圓的性質可知當為優弧的中點時，到的距離最大，此時陰影部分的面積取最大值，因為，此時，故陰影部分的面積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.15.已知向量，不共線，且，，．（1）若，求的值；（2）若，求證：，，三點共線．（1）解：若，則，即，可得，解得，，所以.（2）證明：若，則，所以，，所以，則，，三點共線．16.已知與是平面內的兩個向量，，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）在平面直角坐標系下，若，求在方向上的投影向量的坐標.解：（1）.（2）因為，所以.（3）在方向上的投影向量為.17.某海域的東西方向上分別有兩個觀測點（如圖），它們相距海里.現有一艘輪船在點發出求救信號，經探測得知