高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市廬江縣2024-2025學年高一上學期期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，又因為，所以.故選：B.2.在單位圓中，的圓心角所對的弧長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因為半徑為，所以的圓心角所對的弧長為.故選：B.3.若a＞1，則的最小值是（）A.2 B.aC. D.3【答案】D【解析】由a＞1，有a－1＞0，∴，當且僅當，即a＝2時取等號.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.5.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對任意的，，所以，函數的定義域為，因，即函數為奇函數，排除B選項；當時，，排除C選項；因為，，則，所以，函數在上不是增函數，排除D選項.故選：A.6.使“或”成立的一個充分不必要條件是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】各選項中，只有為或的真子集，其余均不為真子集，故“”是“或”的一個充分不必要條件.故選：C.7.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為在定義域上單調遞減且過點0，1，定義域為，在定義域上單調遞增且過點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個交點，且交點的橫坐標屬于0，1，又，所以，又，所以，因為，所以，綜上可得.故選：D.8.已知為上的奇函數，，若且，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，由且，，則在上單調遞增，∵為奇函數，，，故為偶函數，而，則，解得：.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，所以，，故AD正確；所以，，故BC錯誤.故選：AD.10.已知函數，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.是的對稱軸D.將函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象【答案】AB【解析】對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當時，可得，所以函數在上單調遞增，故B正確；對于C：，所以不是的對稱軸，故C錯誤；對于D：將函數的圖象向右平移個單位長度得到：，故D錯誤.故選：AB.11.函數的定義域為R，為偶函數，且，當時，，則下列說法正確的是（）A.在上單調遞減B.，x2∈R，C.D.，，有【答案】ACD【解析】由為偶函數知函數關于x=1對稱，得函數關于點對稱，故可求出fx的周期為：，且，故.當，，得函數fx在上單調遞增，由fx關于x=1對稱得fx在區間上單調遞減且解析式為：，又因為fx關于點對稱得fx在區間上單調遞減且解析式為：，從而得：fx在上單調遞減.對于A項：知函數fx在區間上單調遞減，又由，得函數fx在區間上單調遞減，故A項正確；對于B項：令，，得：，，，故B項錯誤；對于C項：由，且，因為fx在區間上單調遞減，所以，故C項正確；對于D項：由A項知：fx在區間上單調遞減，由的解析式及函數周期，可知fx在區間上的解析式為：，開口向下且具有凹函數性質，從而有，有，故，都有，故D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集是__________.【答案】【解析】等價于，即，得到，解得，故不等式的解集為.13.已知集合只有一個元素，則的取值集合為__________.【答案】【解析】①若，則，解得，滿足集合中只有一個元素，所以符合題意；②若，則為一元二次方程，因為集合有且只有一個元素，所以，解得.綜上所述：的取值集合為.14.已知函數滿足：，則______．【答案】【解析】，則，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.16.已知函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求實數的取值范圍．解：（1）根據題意，得，由得，即，解得：或，故不等式的解集為或x>12.（2）由題意得，的解集為，當時，不等式可化為，解得，即的解集為，不符合題意，舍去；當時，在開口向上，且與軸沒有交點時，的解集為，所以，解得，即，綜上：，故實數的取值范圍為.17.學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的研究調查中，發現其在40分鐘的一節課中，注意力指數與聽課時間（單位：分鐘）之間的關系滿足如圖所示的圖象，當時，圖象是二次函數的一部分，頂點為，聽課時間為12分鐘與聽課時間為8分鐘的注意力指數都為78，聽課時間為4分鐘的注意力指數為62；當時，圖象是線段，其中．（1）求關于的函數解析式；（2）根據專家研究，當注意力指數大于62時，學習效果最佳，要使學生學習效果最佳，教師安排核心內容應在什么時間段？解：（1）由于聽課時間為12分鐘與聽課時間為8分鐘的注意力指數都為78，，所以頂點的橫坐標為，當時，設，將代入上式得，解得，所以，當時，設，將代入上式得：，解得，所以.所以.（2）當時，，當時，，綜上所述，老師在時段內安排核心內容，能使得學生學習效果最佳．18.已知函數.（1）求函數的單調遞減區間；（2）若將函數的圖象先向左平移個單位長度，再將所得函數圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.①求函數的解析式；②若，其中，求的值.解：（1），令，得，則函數單調遞減區間為.（2）（i）由題意，將函數的圖象先向左平移個單位長度，得到，再將所得函數圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍縱坐標不變），得到函數的圖象，則.（ii）由得，，，則，，即.19.我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為為奇函數.（1）判斷函數的奇偶性，求函數的圖象的對稱中心.并說明理由；（2）已知函數，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，請說明理由；（3）對于不同的函數與，若的圖象都是有且僅有一個對稱中心，分別記為和.①求證：當時，的圖象仍有對稱中心；②問：當時，的圖象是否仍一定有對稱中心？若一定有，請說明理由；若不一定有，請舉出具體的反例.解：（1）函數為奇函數，函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以為奇函數；而，則，于是，即函數是奇函數，所以函數的圖象的對稱中心為.（2），則，取，得，此時，所以有對稱中心，對稱中心為.（3）①依題意，，當時，，所以的圖象仍有對稱中心，對稱中心為.②當時，的圖象不一定有對稱中心，如函數，其圖象關于對稱，得，函數，其圖象關于對稱，得，此時函數，定義域為，其圖象關于直線對稱，沒有對稱中心.安徽省合肥市廬江縣2024-2025學年高一上學期期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，又因為，所以.故選：B.2.在單位圓中，的圓心角所對的弧長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因為半徑為，所以的圓心角所對的弧長為.故選：B.3.若a＞1，則的最小值是（）A.2 B.aC. D.3【答案】D【解析】由a＞1，有a－1＞0，∴，當且僅當，即a＝2時取等號.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.5.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對任意的，，所以，函數的定義域為，因，即函數為奇函數，排除B選項；當時，，排除C選項；因為，，則，所以，函數在上不是增函數，排除D選項.故選：A.6.使“或”成立的一個充分不必要條件是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】各選項中，只有為或的真子集，其余均不為真子集，故“”是“或”的一個充分不必要條件.故選：C.7.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為在定義域上單調遞減且過點0，1，定義域為，在定義域上單調遞增且過點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個交點，且交點的橫坐標屬于0，1，又，所以，又，所以，因為，所以，綜上可得.故選：D.8.已知為上的奇函數，，若且，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，由且，，則在上單調遞增，∵為奇函數，，，故為偶函數，而，則，解得：.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，所以，，故AD正確；所以，，故BC錯誤.故選：AD.10.已知函數，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.是的對稱軸D.將函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象【答案】AB【解析】對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當時，可得，所以函數在上單調遞增，故B正確；對于C：，所以不是的對稱軸，故C錯誤；對于D：將函數的圖象向右平移個單位長度得到：，故D錯誤.故選：AB.11.函數的定義域為R，為偶函數，且，當時，，則下列說法正確的是（）A.在上單調遞減B.，x2∈R，C.D.，，有【答案】ACD【解析】由為偶函數知函數關于x=1對稱，得函數關于點對稱，故可求出fx的周期為：，且，故.當，，得函數fx在上單調遞增，由fx關于x=1對稱得fx在區間上單調遞減且解析式為：，又因為fx關于點對稱得fx在區間上單調遞減且解析式為：，從而得：fx在上單調遞減.對于A項：知函數fx在區間上單調遞減，又由，得函數fx在區間上單調遞減，故A項正確；對于B項：令，，得：，，，故B項錯誤；對于C項：由，且，因為fx在區間上單調遞減，所以，故C項正確；對于D項：由A項知：fx在區間上單調遞減，由的解析式及函數周期，可知fx在區間上的解析式為：，開口向下且具有凹函數性質，從而有，有，故，都有，故D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集是__________.【答案】【解析】等價于，即，得到，解得，故不等式的解集為.13.已知集合只有一個元素，則的取值集合為__________.【答案】【解析】①若，則，解得，滿足集合中只有一個元素，所以符合題意；②若，則為一元二次方程，因為集合有且只有一個元素，所以，解得.綜上所述：的取值集合為.14.已知函數滿足：，則______．【答案】【解析】，則，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.16.已知函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求實數的取值范圍．解：（1）根據題意，得，由得，即，解得：或，故不等式的解集為或x>12.（2）由題意得，的解集為，當時，不等式可化為，解得，即的解集為，不符合題意，舍去；當時，在開口向上，且與軸沒有交點時，的解集為，所以，解得，即，綜上：，故實數的取值范圍為.17.學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的研究調查中，發現其在40分鐘的一節課中，注意力指數與聽課時間（單位：分鐘）之間的關系滿足如圖所示的圖象，當時，圖象是二次函數的一部分，頂點為，聽課時間為12分鐘與聽課時間為8分鐘的注意力指數都為78，聽課時間為4分鐘的注意力指數為62；當時，圖象是線段，其中．（1）求關于的函數解析式；（2）根據專家研究，當注意力指數大于62時，學習效果最佳，要使學生學習效果最佳，教師安排核心內容應在什么時間段？解：（1）由于聽課時間為12分鐘與聽課時間為8分鐘的注意力指數都為78，，所以頂點的橫坐標為，當時，設，將代入上式得，解得，所以，當時，設，將代入上式得：，解得，所以.所以.（2）當時，，當時，，綜上所述，老師在時段內安排核心內容，能使得學生學習效果最佳．18.已知函數.（1）求函數的單調遞減區間；（2）若將函數的圖象先向左平移個單位長度，再將所得函數圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.①求函數的解析式；②若，其中，求的值.解：（1），令，得，則函數單調遞減區間為.（2）（i）由題意，將函數的圖象先向左平移個單位長度，得到，再將所得函數圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍縱坐標不變），得到函數的圖象，則.（ii）由得，，，則，，即.19.我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為為奇函數.（1）判斷函數的奇偶性，求函數的圖象的對稱中心.并說明理由；（2）已知函數，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，