高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市延慶區2024-2025學年高一上學期期中考試數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，故選：D.3.已知全集且，則集合中元素有（）A.2個 B.4個 C.5個 D.7個【答案】B【解析】依題意，，解不等式，得，則，所以，集合中的元素有4個.故選：B4.已知集合滿足，則有（）A.2個 B.4個 C.5個 D.7個【答案】D【解析】集合滿足，則集合可視為集合與集合的每個真子集的并集，而集合的真子集個數為，所以有7個.故選：D5.若和，則和的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，故選：C6.設，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A，取，滿足，而，A錯誤；對于B，取滿足，而，B錯誤；對于C，取滿足，而，C錯誤；對于D，由不等式性質知，由，得，D正確.故選：D7.下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】對于選項A，因為，定義域為，關于原點對稱，又，所以是偶函數，又由冪函數的性質知在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞增，故選項A正確，對于選項B，因為圖象不關于軸對稱，即不是偶函數，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，的定義域不關于原點對稱，即，是非奇非偶函數，所以選項C錯誤，對于選項D，當時，在區間上單調遞減，所以選項D錯誤，故選：A.8.已知函數的定義域為，則“為奇函數”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因函數的定義域是,故“為奇函數”是“”的充分條件；

反之,若,則函數不一定是奇函數,“f(x)為奇函數”不是必要條件.應選A.9.已知函數有兩個零點，在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數在上單調遞減，在上單調遞增，由在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，得且或且，則或，解得或，所以實數的取值范圍是.故選：C10.，設取，，三個函數值中的最小值，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在同一坐標系內作出直線，，，由取，，三個函數值中的最小值，得的圖象為下圖中實線構成的折線圖，則的最大值即為的圖象最高點對應的縱坐標值，觀察圖象知，的圖象最高點是直線與的交點，由，得，因此的圖象最高點是，所以的最大值為2.故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域是______.【答案】【解析】依題意，，解得，所以函數的定義域是.故答案：12.已知奇函數滿足，則______.【答案】【解析】由奇函數滿足，得，所以.故答案為：13.已知，，且是的必要不充分條件，則的取值范圍是______【答案】【解析】因為是的必要不充分條件，則，又，，所以，故答案為：.14.已知，則的最大值是______，當且僅當______時，等號成立.【答案】①.②.【解析】由，得，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最大值.故答案為：；15.已知函數，給出下列四個結論：①函數是偶函數；②函數的增區間為；③不等式的解集是；④當時，令，則的最小值為.其中所有正確結論的序號是______.【答案】①④【解析】函數的定義域為R，對于①，，函數偶函數，①正確；對于②，，函數的增區間為，②錯誤；對于③，不等式，則或，解得或，所以不等式的解集是，③錯誤；對于④，依題意，，當時，，當且僅當，即時取等號；當時，，當且僅當，即時取等號，而，即，所以的最小值為，④正確.故所有正確結論的序號是①④.故答案為：①④三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.求下列方程（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由得，，解得，故方程的解集為.（2）當時，方程無解，解集為，當時，解方程得，方程解集為.（3）令，則方程可化為，解方程得，（舍），，故方程解集為.（4）由得，，解得,方程組的解為，，故方程組解集為.17.求下列不等式（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由，得到，所以或，故不等式的解集為或.（2）由，即，得到，所以，故不等式的解集為.（3）由，得到，等價于且，所以或，故不等式的解集為或.（4）由，得到，即，對，因為，所以的解集為，故不等式組的解集為.18.已知關于的方程，.（1）當時，若方程兩根為與，求下列各式的值：①;②;③;（2）若該方程的兩根同號，求實數的取值范圍.解：（1）當時，方程，，則，①；②；③.（2）由方程的兩根同號，得，解得，所以實數的取值范圍是.19.已知函數過點.（1）求函數的解析式及定義域；（2）判斷函數的奇偶性并證明；（3）令，求的解析式，并證明的圖像關于對稱.（1）解：因為函數過點，則，得到，所以，定義域為.（2）解：函數為偶函數，證明如下：因為的定義域為，關于原點對稱，又，所以為偶函數.（3）證明：因為，設是圖象上任意一點，關于的對稱點為，因為，所以，即點也在圖象上，所以的圖像關于對稱.20.已知函數.（1）當，時，求函數的值域；（2）若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍；（3）當時，比較與的次小.解：（1）當時，，對稱軸為直線，在上為減函數，在上為增函數，，故函數的值域為.（2）函數，對稱軸為直線，當函數在上是單調增函數時，，，當函數在上是單調減函數時，，，綜上得，實數的取值范圍為.（3）當時，，對稱軸為直線，在上為減函數，在上為增函數，且，∵，∴，故.21.設集合，對于集合A中的任意元素和及實數，定義：當且僅當時；.若A的子集滿足：當且僅當時，，則稱為A的完美子集.（1）集合，，分別判斷這兩個集合是否為A的完美子集，并說明理由；（2）集合，若不是A的完美子集，求的值.解：（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下：對于，因為，所以，所以當且僅當時，，所以是A的完美子集；對于，因為，所以，令，所以存在無數組解使得，如當時，，所以不是A的完美子集.（2）因為，所以，所以，因為不是A的完美子集，所以存在，使得，即存在使得，解方程組得，由集合互異性可得且，故且，所以解得或，且由得，若，則有，所以存在無數組解使得，如當時，，所以不是A的完美子集，符合題意；當且時，則由得，所以由得，又得，故，不符合題意；綜上的值為.北京市延慶區2024-2025學年高一上學期期中考試數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，故選：D.3.已知全集且，則集合中元素有（）A.2個 B.4個 C.5個 D.7個【答案】B【解析】依題意，，解不等式，得，則，所以，集合中的元素有4個.故選：B4.已知集合滿足，則有（）A.2個 B.4個 C.5個 D.7個【答案】D【解析】集合滿足，則集合可視為集合與集合的每個真子集的并集，而集合的真子集個數為，所以有7個.故選：D5.若和，則和的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，故選：C6.設，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A，取，滿足，而，A錯誤；對于B，取滿足，而，B錯誤；對于C，取滿足，而，C錯誤；對于D，由不等式性質知，由，得，D正確.故選：D7.下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】對于選項A，因為，定義域為，關于原點對稱，又，所以是偶函數，又由冪函數的性質知在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞增，故選項A正確，對于選項B，因為圖象不關于軸對稱，即不是偶函數，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，的定義域不關于原點對稱，即，是非奇非偶函數，所以選項C錯誤，對于選項D，當時，在區間上單調遞減，所以選項D錯誤，故選：A.8.已知函數的定義域為，則“為奇函數”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因函數的定義域是,故“為奇函數”是“”的充分條件；

反之,若,則函數不一定是奇函數,“f(x)為奇函數”不是必要條件.應選A.9.已知函數有兩個零點，在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數在上單調遞減，在上單調遞增，由在區間上是單調的，且在該區間中有且只有一個零點，得且或且，則或，解得或，所以實數的取值范圍是.故選：C10.，設取，，三個函數值中的最小值，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在同一坐標系內作出直線，，，由取，，三個函數值中的最小值，得的圖象為下圖中實線構成的折線圖，則的最大值即為的圖象最高點對應的縱坐標值，觀察圖象知，的圖象最高點是直線與的交點，由，得，因此的圖象最高點是，所以的最大值為2.故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域是______.【答案】【解析】依題意，，解得，所以函數的定義域是.故答案：12.已知奇函數滿足，則______.【答案】【解析】由奇函數滿足，得，所以.故答案為：13.已知，，且是的必要不充分條件，則的取值范圍是______【答案】【解析】因為是的必要不充分條件，則，又，，所以，故答案為：.14.已知，則的最大值是______，當且僅當______時，等號成立.【答案】①.②.【解析】由，得，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最大值.故答案為：；15.已知函數，給出下列四個結論：①函數是偶函數；②函數的增區間為；③不等式的解集是；④當時，令，則的最小值為.其中所有正確結論的序號是______.【答案】①④【解析】函數的定義域為R，對于①，，函數偶函數，①正確；對于②，，函數的增區間為，②錯誤；對于③，不等式，則或，解得或，所以不等式的解集是，③錯誤；對于④，依題意，，當時，，當且僅當，即時取等號；當時，，當且僅當，即時取等號，而，即，所以的最小值為，④正確.故所有正確結論的序號是①④.故答案為：①④三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.求下列方程（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由得，，解得，故方程的解集為.（2）當時，方程無解，解集為，當時，解方程得，方程解集為.（3）令，則方程可化為，解方程得，（舍），，故方程解集為.（4）由得，，解得,方程組的解為，，故方程組解集為.17.求下列不等式（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由，得到，所以或，故不等式的解集為或.（2）由，即，得到，所以，故不等式的解集為.（3）由，得到，等價于且，所以或，故不等式的解集為或.（4）由，得到，即，對，因為，所以的解集為，故不等式組的解集為.18.已知關于的方程，.（1）當時，若方程兩根為與，求下列各式的值：①;②;③;（2）若該方程的兩根同號，求實數的取值范圍.解：（1）當時，方程，，則，①；②；③.（2）由方程的兩根同號，得，解得，所以實數的取值范圍是.19.已知函數過點.（1）求函數的解析式及定義域；（2）判斷函數的奇偶性并證明；（3）令，求的解析式，并證明的圖像關于對稱.（1）解：因為函數過點，則，得到，所以，定義域為.（2）解：函數為偶函數，證明如下：因為的定義域為，關于原點對稱，又，所以為偶函數.（3）證明：因為，設是圖象上任意一點，關于的對稱點為，因為，所以，即點也在圖象上，所以的圖像關于對稱.20.已知函數.（1）當，時，求函數的值域；（2）若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍；（3）當時，比較與的次小.解：（1）當時，，對稱軸為直線，在上為減函數，在上為增函數，，故函數的值域為.（2）函數，對稱軸為直線，當函數在上是單調增函數時，，，當函數在上是單調減函數時，，，綜上得，實數的取值范圍為.（3）當時，，對稱軸為直線，在上為減函數，在上為增函數，且，∵，∴，故.21.設集合，對于集合A中的任意元素和及實數，定義：當且僅當時；.若A的子集滿足：當且僅當時，，則稱為