高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市房山區2024-2025學年高一上學期期末考試數學試卷一、單項選擇題.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D．2.擲一個骰子，觀察朝上的面的點數，設事件“點數為奇數”，事件“點數為的整數倍”，若，分別表示事件，發生的概率，則（）A.， B.，C. D.【答案】B【解析】首先，我們知道投擲的點數有，對于，符合條件的有，對于，符合條件的有，故，，故B正確.故選：B3.下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為在上單調遞減，不合題意；因為不是奇函數，不合題意；因為不是奇函數，不合題意；因為在上單調遞增，且，是奇函數，符合題意.故選：C.4.函數的零點個數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，在同一坐標系作出兩函數圖象，從圖像知當時，兩函數有1個交點，則在上有1個零點，又，所以也是的兩個零點，且在時，指數函數增長快于，則后面兩函數不會有交點，則總共有3個零點.故選：D.5.供電部門對某社區位居民年月份人均用電情況進行統計后，按人均用電量（單位：度）分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）A.在這位居民中，月份人均用電量人數最多的一組有人B.在這位居民中，月份人均用電量不低于度的有人C.在這位居民中，月份人均用電量為度D.從這位居民中，任選位擔任安全用電宣傳員，選到的居民人均用電量在一組的概率為【答案】C【解析】對于A：根據頻率分布直方圖知，人數最多的一組是，有（人），故選項A正確；對于B：12月份用電量不低于20度的頻率是，有（人），故選項B正確；對于C：12月份人均用電量為：（度），故選項C錯誤；對于D，用電量在的有：人，所以1000位居民中任選1位，選到的居民用電量在一組的概率為，故選項D正確.故選：C.6.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為向量，，，所以，即，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.如圖，在平行四邊形中，是的中點，與交于點，設，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意在平行四邊形中，，又是的中點，則，又與交于點，所以，則，所以，又，所以.故選：A.8.若函數滿足：對定義域內任意的，都有，則稱函數具有性質.下列函數中不具有性質的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，任取定義域內任意的，且使，故，，由基本不等式得，當且僅當時取等，而，達不到取等條件，得到成立，即具有性質，故A錯誤，對于B，令，則，，故，，由對數函數性質得，故，即不具有性質，故B正確，對于C，任取定義域內任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質，故C錯誤，對于D，任取定義域內任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質，故D錯誤.故選：B.9.已知函數且，那么下列命題中的假命題是（）A.若，則或B.若，且，則C.存在正數，使得函數恰有個零點D.不存在實數，使得函數恰有個零點【答案】D【解析】對于A，且，所以或，故A正確；對于B，因為函數，且，為單調函數，，且，所以，故B正確；對于C，當時，作出函數以及函數在點處的切線和函數圖象如圖所示，由圖可知存在正數，使得函數恰有個零點，故C正確；對于D，因為與圖象關于直線對稱，如圖：由圖可知當與圖象均與直線相交于兩點時，圖象與函數圖象相交于3個點，所以存在實數，使得函數恰有個零點，故D錯誤.故選：D.10.已知函數且，給出下列四個結論：①函數在其定義域內單調遞減；②函數的值域為；③函數的圖象是中心對稱圖形；④函數的圖象過定點.其中正確結論的個數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，此時，而，，故函數在其定義域內不單調遞減，函數的值域不可能為；即①，②錯誤，因為，的定義域關于原點對稱，故，即，得到是奇函數，則函數的圖象是中心對稱圖形，故③正確，當時，，故函數的圖象過定點，即④正確.綜上，其中正確結論的個數是，故B正確.故選：B.二、填空題.11.函數的定義域為_______.【答案】【解析】由題可知，解得12.某單位共有名職工，其中歲以下的有人，-歲的有人，歲及以上的有人.現用分層抽樣的方法，從中抽取名職工進行問卷調查，則抽取的歲及以上的職工人數為_______.【答案】【解析】因為抽樣比例為，所以歲及以上的職工應抽取(人).13.向量在正方形網格中的位置如圖所示.若，則=_______.【答案】4【解析】記正方形網格邊長為1，向右的單位向量為，向上的單位向量為，則，，，由得，解得，所以.14.若冪函數同時具有以下三個性質：①的定義域為；②是奇函數；③當時，.則的一個解析式是_______．【答案】（答案不唯一）【解析】滿足題設三個性質的函數，如反比例（冪函數）（這類函數就有無數個）.15.已知函數若，則_______；若有三個不同的實根，且滿足，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】得（舍去），得，因此的解為和4；再作函數的圖象，作直線，由圖象可知時，有三個解，當時，，，因此，所以.16.據說古印度國王為了獎賞國際象棋的發明者，讓他提一個要求.發明者說：我想在棋盤的第個格子里放上顆麥粒，在第個格子里放上顆麥粒，在第個格子里放上顆麥粒，在第個格子里放上顆麥粒，，每個格子放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的倍，直到第個格子，國王欣然同意.通過計算，該發明者所要求的麥粒數為.你認為，，，四個數中與最接近的是_______．（參考數據：）【答案】【解析】，因為，所以，所以，，，四個數中與最接近的是.三、解答題.17.甲、乙兩人獨立解同一道數學題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是.（1）求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；（2）求甲、乙兩人恰有一人解出這道題目的概率；（3）求這道題目被甲、乙兩人解出的概率.解：（1）設事件“甲、乙兩人都解出這道題目”，則.（2）設事件“甲、乙兩人恰有一人解出這道題目”，則.（3）設事件“這道題目被甲、乙兩人解出”，則.18.已知向量，．（1）求；（2）若向量滿足，求向量；（3）在（2）條件下，若，求實數的值.解：（1）因為向量，，所以.所以.（2）因為，所以.所以.（3）因為，由（2）知，.所以，所以即19.已已知函數的定義域是．（1）求實數a的取值范圍；（2）解關于x不等式．解：（1）∵函數的定義域是，∴恒成立，則，解得，∴實數a的取值范圍為．（2），即，∵，∴，即，解得，故不等式的解集為．20.已隨著移動互聯網的發展，越來越多的人習慣用手機應用程序（簡稱）獲取新聞資訊，手機應用程序已經成為人們生活中不可或缺的一部分，它悄無聲息的改變著人們的生活習慣，也為人們的生活提供了極大的便利.為了解用戶對某款的滿意度，隨機調研了名用戶，調研結果如下表（單位：人）：（1）從所有參與調研的人中隨機選取人，求此人“不滿意”的概率；（2）若用頻率估計概率，從使用該款的青年人和中年人中各隨機選取人，估計恰有人“滿意”的概率；（3）現需從參與調研的老年人中選擇人作進一步訪談，若在“滿意”、“一般”、“不滿意”的老年人中各選取人，這種抽樣是否合理？說明理由．解：（1）所有參與調研的人共有人，不滿意的人數是.記事件“從所有參與調研的人中隨機選取人，此人不滿意”，則所求概率為.（2）參與調研的青年人共有人，滿意的有人.記事件“從使用該款的青年人中隨機選取人，此人滿意”，則的估計值為.參與調研的中年人共有人，滿意的有人.記事件“從使用該款的中年人中隨機選取人，此人滿意”，則的估計值為.則從使用該款的青年人和中年人中各隨機選取人，恰有人“滿意”的概率估計為，.（3）這種抽樣不合理.理由：參與調研的名老年人中不滿意的人數為，滿意和一般的總人數為，說明滿意度之間存在較大差異，所以從三種態度的老年中各選取人不合理.合理的抽樣方法是采用分層抽樣，根據，，的具體數值來確定抽樣的數目.21.已已知函數的定義域為，對任意實數，都有，且當時，.（1）求；（2）證明：當時，；（3）當時，求實數的取值范圍.解：（1）因為函數的定義域為，對任意實數都有，且當時，，所以當，時，，即，所以.（2）因為當時，，所以，即，由（1）知，，所以，所以，因為，所以，所以.（3）任取，且，則，由已知條件及（1），（2）可知，.又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以函數的是上的減函數，當時，不等式轉化為.因為函數的是上的減函數，所以不等式轉化為，即，解得，所以實數的取值范圍是或.北京市房山區2024-2025學年高一上學期期末考試數學試卷一、單項選擇題.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D．2.擲一個骰子，觀察朝上的面的點數，設事件“點數為奇數”，事件“點數為的整數倍”，若，分別表示事件，發生的概率，則（）A.， B.，C. D.【答案】B【解析】首先，我們知道投擲的點數有，對于，符合條件的有，對于，符合條件的有，故，，故B正確.故選：B3.下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為在上單調遞減，不合題意；因為不是奇函數，不合題意；因為不是奇函數，不合題意；因為在上單調遞增，且，是奇函數，符合題意.故選：C.4.函數的零點個數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，在同一坐標系作出兩函數圖象，從圖像知當時，兩函數有1個交點，則在上有1個零點，又，所以也是的兩個零點，且在時，指數函數增長快于，則后面兩函數不會有交點，則總共有3個零點.故選：D.5.供電部門對某社區位居民年月份人均用電情況進行統計后，按人均用電量（單位：度）分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）A.在這位居民中，月份人均用電量人數最多的一組有人B.在這位居民中，月份人均用電量不低于度的有人C.在這位居民中，月份人均用電量為度D.從這位居民中，任選位擔任安全用電宣傳員，選到的居民人均用電量在一組的概率為【答案】C【解析】對于A：根據頻率分布直方圖知，人數最多的一組是，有（人），故選項A正確；對于B：12月份用電量不低于20度的頻率是，有（人），故選項B正確；對于C：12月份人均用電量為：（度），故選項C錯誤；對于D，用電量在的有：人，所以1000位居民中任選1位，選到的居民用電量在一組的概率為，故選項D正確.故選：C.6.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為向量，，，所以，即，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.如圖，在平行四邊形中，是的中點，與交于點，設，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意在平行四邊形中，，又是的中點，則，又與交于點，所以，則，所以，又，所以.故選：A.8.若函數滿足：對定義域內任意的，都有，則稱函數具有性質.下列函數中不具有性質的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，任取定義域內任意的，且使，故，，由基本不等式得，當且僅當時取等，而，達不到取等條件，得到成立，即具有性質，故A錯誤，對于B，令，則，，故，，由對數函數性質得，故，即不具有性質，故B正確，對于C，任取定義域內任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質，故C錯誤，對于D，任取定義域內任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質，故D錯誤.故選：B.9.已知函數且，那么下列命題中的假命題是（）A.若，則或B.若，且，則C.存在正數，使得函數恰有個零點D.不存在實數，使得函數恰有個零點【答案】D【解析】對于A，且，所以或，故A正確；對于B，因為函數，且，為單調函數，，且，所以，故B正確；對于C，當時，作出函數以及函數在點處的切線和函數圖象如圖所示，由圖可知存在正數，使得函數恰有個零點，故C正確；對于D，因為與圖象關于直線對稱，如圖：由圖可知當與圖象均與直線相交于兩點時，圖象與函數圖象相交于3個點，所以存在實數，使得函數恰有個零點，故D錯誤.故選：D.10.已知函數且，給出下列四個結論：①函數在其定義域內單調遞減；②函數的值域為；③函數的圖象是中心對稱圖形；④函數的圖象過定點.其中正確結論的個數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，此時，而，，故函數在其定義域內不單調遞減，函數的值域不可能為；即①，②錯誤，因為，的定義域關于原點對稱，故，即，得到是奇函數，則函數的圖象是中心對稱圖形，故③正確，當時，，故函數的圖象過定點，即④正確.綜上，其中正確結論的個數是，故B正確.故選：B.二、填空題.11.函數的定義域為_______.【答案】【解析】由題可知，解得12.某單位共有名職工，其中歲以下的有人，-歲的有人，歲及以上的有人.現用分層抽樣的方法，從中抽取名職工進行問卷調查，則抽取的歲及以上的職工人數為_______.【答案】【解析】因為抽樣比例為，所以歲及以上的職工應抽取(人).13.向量在正方形網格中的位置如圖所示.若，則=_______.【答案】4【解析】記正方形網格邊長為1，向右的單位向量為，向上的單位向量為，則，，，由得，解得，所以.14.若冪函數同時具有以下三個性質：①的定義域為；②是奇函數；③當時，.則的一個解析式是_______．【答案】（答案不唯一）【解析】滿足題設三個性質的函數，如反比例（冪函數）（這類函數就有無數個）.15.已知函數若，則_______；若有三個不同的實根，且滿足，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】得（舍去），得，因此的解為和4；再作函數的圖象，作直線，由圖象可知時，有三個解，當時，，，因此，所以.16.據說古印度國王為了獎賞國際象棋的發明者，讓他提一個要求.發明者說：我想在棋盤的第個格子里放上顆麥粒，在第個格子里放上顆麥粒，在第個格子里放上顆麥粒，在第個格子里放上顆麥粒，，每個格子放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的倍，直到第個格子，國王欣然同意.通過計算，該發明者所要求的麥粒數為.你認為，，，四個數中與最接近的是_______．（參考數據：）【答案】【解析】，因為，所以，所以，，，四個數中與最接近的是.三、解答題.17.甲、乙兩人獨立解同一道數學題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是.（1）求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；（2）求甲、乙兩人恰有一人解出這道題目的概率；（3）求這道題目被甲、乙兩人解出的概率.解：（1）設事件“甲、乙兩人都解出這道題目”，則.（2）設事件“甲、乙兩人恰有一人解出這道題目”，則.（3）設事件“這道題目被甲、乙兩人解出”，則.18.已知向量，．（1）求；（2）若向量滿足，求向量；（3）在（2）條件下，若，求實數的值.解：（1）因為向量，，所以.所以.（2）因為，所以.所以.（3）因為，由（2）知，.所以，所以即19.已已知函數的定義域是．（1）求實數a的取值范圍；（2）解關于x不等式．解：（1）∵函數的定義域是，∴恒成立，則，解得，∴實數a的取值范圍為．（2），即，∵，∴，即，解得，故不等式的解集為．20.已隨著移動互聯網的發展，越來越多的人習慣用手機應用程序（簡稱）獲取新聞資訊，手機應用程序已經成為人們生活中不可或缺的一部分，它悄無聲息的改變著人們的生活習慣，也為人們的生活提供了極大