10.3實際問題與二元一次方程組

第1課時一、教學目標1.能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題.2.學會利用二元一次方程組解決幾何、行程問題.3.經歷用方程組解決實際圖形問題的過程，體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型.二、課型新授課三、課時第1課時共2課時四、教學重難點【教學重點】能夠根據題意找出相等關系，根據相等關系列出方程組解決實際問題．【教學難點】準確找到實際問題中的相等關系，解釋結果的合理性．五、課前準備 教師：課件.學生：鉛筆、練習本.六、教學過程（一）導入新課悟空順風探妖蹤，千里只行四分鐘.歸時四分行六百，風速多少才稱雄？（二）探索新知1.探究列二元一次方程組解答較簡單問題教師出示問題：養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940kg.飼養員李大叔估計每頭大牛1天需飼料18~20kg，每頭小牛1天需飼料7~8kg.你認為李大叔估計的準確嗎？教師問：題中有哪些未知量？學生答：每頭大牛1天約用的飼料;每頭小牛1天約用的飼料.教師問：你如何設未知數？學生答：設每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料為xkg和ykg.教師問：題中有哪些等量關系？教師依次展示學生答案：學生1答：30頭大牛和15頭小牛一天約用飼料為675kg.學生2答：(30+12)頭大牛和(15+5)頭小牛一天約用飼料為940kg.教師總結如下：(1)30頭大牛和15頭小牛一天約用飼料為675kg；(2)(30+12)頭大牛和(15+5)頭小牛一天約用飼料為940kg.教師問：你能解答上面的問題嗎？師生共同解答.解:設每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料為xkg和ykg.根據等量關系，列方程組30x+15y=675,42x+20y=940.解方程組，得x=20,答:每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料為20kg和5kg，飼養員李大叔估計大牛1天需飼料18~20千克，每頭小牛1天需飼料7~8千克與計算有一定的出入.教師問：你能總結一下列方程解應用題的步驟嗎？師生共同解答：列方程組解應用題一般都要經歷“審、設、找、列、解、答”這六個步驟，其關鍵在于審清題意，找相等關系．設未知數時，一般是求什么，設什么，并且所列方程的個數與未知數的個數相等．考點1：列二元一次方程組解答數量問題醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配制營養品,每克甲原料含0.5單位蛋白質和1單位鐵質,每克乙原料含0.7單位蛋白質和0.4單位鐵質,若病人每餐需要35單位蛋白質和40單位鐵質,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好滿足病人的需要?學生獨立思考后，師生共同解答.解：設每餐甲、乙原料各x克，y克.則有下表:甲原料x克乙原料y克所配的營養品其中所含蛋白質0.5x0.7y35其中所含鐵質x0.4y40根據題意,得方程組0.5x+0.7化簡,得5解這個方程組，得x=28,答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好滿足病人的需要.歸納總結：用二元一次方程組解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意和題目中的數量關系；(2)設元：用字母表示題目中的未知數；(3)列方程組：根據2個等量關系列出方程組；(4)解方程組：利用代入消元法或加減消元法解出未知數的值；(5)檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.出示課件11，學生自主練習后口答，教師訂正.2.探究列二元一次方程組解答幾何問題教師出示問題：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比1:2．現要把一塊長200m、寬100m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？教師問：你能把上面的問題轉化為數學語言嗎？師生共同解答：已知：長方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，長方形ABCD分割為兩個小長方形，長方形1和長方形2分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產量的比是1:2.

教師問：這里研究的實際上是什么問題？學生答：長方形的面積分割問題.教師問：把一個長方形分成兩個小長方形有哪些分割方式？師生共同解答：我們可以畫出示意圖來幫助分析：教師依次展示學生答案：學生1答：方法1：豎著畫，把長分成兩段，則寬不變；學生2答：方法2：橫著畫，把寬分成兩段，則長不變.教師問：方法1如何分割長方形呢？學生答：豎著畫，把長分成兩段，則寬不變，教師問：等量關系式有幾個？學生答：1.大長方形的長=200m；2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4.

教師問：方法1如何解答呢？學生答：因為寬不變，求出長方形邊長比即可.教師問：如何設未知數呢？學生答：設AE＝xm，BE＝ym.則列方程為x+y=200.

教師問：怎樣使甲、乙兩種作物總產量比=3:4.

師生一起解答：先求出兩種作物的面積.

教師問：長方形ADFE和長方形BCFE的面積分別為多少？學生答：SAEFD=100x，SEFCB=100y.教師問：總產量如何算出來呢？學生答：總產量=單位面積產量×面積教師問：怎么求出兩種作物的總產量？學生答：甲：100x×1；乙：100y×2.教師問：你能列出方程嗎？學生答：100x:200y=3:4

教師問：你覺得該如何答題比較完整呢？

師生一起解答：解：過點E作EF⊥AB，交CD于點F.

設AE＝xm，BE＝ym.

根據題意,列方程組為x+y=200,解這個方程組，得x答：將這塊土地分為長120m,寬100m和長100m,寬80m的

兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.

教師問：方法2如何解答呢？師生共同解答.解：過點E作EF⊥BC，交BC于點F.設DE＝xm，AE＝ym.根據題意列方程組為x+解得：x答：將這塊土地分為長200m,寬60m和長200m,寬40m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.考點2：列二元一次方程組解答幾何問題某校現有校舍20000m2計劃拆除部分舊校舍，改建新校舍，使校舍總面積增加30%.若建造新校舍的面積為被拆除的舊校舍面積的4倍，那么應該拆除多少舊校舍，建造多少新校舍？（單位為m2）學生獨立思考后，師生共同解答.解：設應拆除舊校舍xm2，建造新校舍ym2.根據題意,得解這個方程組，得x=2000,答：應該拆除2000m2舊校舍，建造8000m2新校舍.出示課件19，學生自主練習后口答，教師訂正.3.探究列二元一次方程組解答行程問題.教師出示問題：小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？

教師問：你能描述一下小華的行程嗎？學生答：小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.（如下圖所示）

教師問：你能找出題目中的數量關系嗎？教師依次展示學生答案：學生1答：走平路的時間+走下坡路的時間=__10_.學生2答：走上坡路的時間+走平路的時間=__15__．教師總結如下：走平路的時間+走下坡路的時間=__10__，

走上坡路的時間+走平路的時間=__15__．教師問：行程問題中有什么等量關系？學生答：路程=平均速度×時間.教師問：你會解答這個問題嗎？師生共同解答.方法一（直接設元法）解：設小華家到學校平路長xm，下坡路長ym.平路時間坡路時間總時間上學xy8010放學x60y15根據題意，可列方程組解這個方程組，得300+400=700（m）.所以小華家離學校700m.方法二（間接設元法）解：設小華下坡路所花時間為xmin,上坡路所花時間為ymin.

平路距離坡路距離上學60（10-x）80x放學60(15-y)40y根據題意，可列方程組解這個方程組，得故平路距離：60×（10-5）=300（m）,坡路距離：80×5=400（m）,300+400=700（m）.答：小華家離學校700m.考點3：列二元一次方程組解答行程問題張強與李毅二人分別從相距20千米的兩地出發，相向而行.若張強比李毅早出發30分鐘，那么在李毅出發后2小時，他們相遇；如果他們同時出發，那么1小時后兩人還相距11千米.求張強、李毅每小時各走多少千米？學生獨立思考后，師生共同解答.分析：如下圖（1）、（2）所示.

解：設張強、李毅每小時各走x,y千米.根據題意，得0.5解這個方程組，得x=4,答：張強、李毅每小時各走4,5千米.學生自主練習后口答，教師訂正.教師：學了前面的知識，接下來做幾道練習題看看你掌握的怎么樣吧.（三）課堂練習略.（四）課堂小結二元一次方程組的應用應用簡單的實際問題幾何問題行程問題步驟1.審題：弄清題意和題目中的數量關系2.設元：用字母表示題目中的未知數3.列方程組:根據2個等量關系