高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省普洱市2023-2024學年高二下學期7月期末統測數學試題注意事項：1．考查范圍：必修一、二；選擇性必修一、二、三．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得或，所以或，又，則或．故選：B．2.已知向量，若，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】依題意，，由，得，所以.故選：B3.已知數列的前項和滿足，則（）A.11 B.13 C.24 D.25【答案】C【解析】因為，所以.故選:C.4.若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數的值為（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由題設且，故，所以，雙曲線的漸近線方程為，其中一條與平行，所以，則．故選：A．5.2024年春晚魔術師劉謙再次重返舞臺，利用簡單的模具撲克牌向觀眾再次展示了魔術的魅力與神奇.某魔術師在表演時將8張不同色號的撲克牌分給3名觀眾，每個觀眾被分到的撲克牌數目不少于2張，且3名觀眾中沒有人被分到3張撲克牌，則不同的分配方法有（）A.2520種 B.1260種 C.420種 D.210種【答案】B【解析】因為將張不同色號的撲克牌分給名觀眾，每個觀眾被分到的撲克牌數目不少于張，且名觀眾中沒有人被分到張撲克牌，故只能是按一人張，一人張，一人張分配撲克牌，將張不同色號的撲克牌按，，分成三個組為，再交個組的撲克牌分給個觀眾有，故由分步計數原理共有種不同的分配方法.故選：B.6.函數在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，令，故.故當時，有最大值，當時，有最小值3，故所求值域為.故選：B.7.已知函數是奇函數，當時，，若圖象在處的切線方程為，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】的圖象在處的切線方程為，則，，當時，，，因為是奇函數，圖象關于原點對稱，的圖象在處及處的切線也關于原點對稱，所以，，即，所以，，．故選：D.8.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，則，因為，所以，所以；，因為，所以，所以，所以．故選:D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在復平面內，點對應的復數為z，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為點對應的復數為，所以，所以，故選項A錯誤；因為，所以，則，故選項B正確；因為，故選項C正確；因為，故選項D錯誤.故選：BC.10.一名射擊運動員射擊一次擊中目標概率為，各次射擊互不影響．若他連續射擊兩次，則下列說法正確的是（）A.事件“至多擊中一次”與“恰擊中一次”互斥B.事件“兩次均未擊中”與“至少擊中一次”相互對立C.事件“第一次擊中”與“兩次均擊中”相互獨立D.記為擊中目標的次數，則，【答案】BD【解析】對于A：事件“至多擊中一次”包含“恰擊中一次”和“兩次均未擊中”，故A錯誤；對于B：事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少擊中一次”，故B正確；對于C：事件“兩次均擊中”包含了事件“第一次擊中”，故C錯誤；對于D：依題意，所以，，故D正確；故選：BD11.化學中經常碰到正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式）?金剛石等的分子結構.將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為2，則（）A.正八面體的內切球表面積為B.正八面體的外接球體積為C.若點為棱上的動點，則的最小值為D.若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】對于A項，設該正八面體內切球的半徑為，由內切球的性質可知正八面體的體積，解得，故它的內切球表面積為，故A項正確；對于B項，設該正八面體外接球的半徑為，由圖知，是正方形，,在中，,利用對稱性知,故點為正八面體外接球的球心，則，所以正八面體外接球的體積為，故項錯誤；對于C項，如圖，因與是邊長為2的全等的正三角形，可將翻折到，使其與共面，從而得到一個菱形.連接與相交于點，此時,,則取得最小值為，故項正確；對于D項，易知，因為平面平面，所以//平面，所以，故D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.總體編號為01，02，…，19，20的20個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為_______.7816

6572

0802

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0214

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7181【答案】01【解析】從隨機數表的第一行的第列和第列數字開始由左到右選取的編號依次為，所以選出來的第5個個體的編號為.故答案為:.13.在中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知若則A=________，b=________.【答案】；【解析】由以及正弦定理得，，所以，所以，因為，所以.由正弦定理得，得，解得.故答案為：；.14.已知拋物線的焦點為，直線經過點交于兩點，兩點在的準線上的射影分別為，且的面積是的面積的4倍，若軸被以為直徑的圓截得的弦長為，則的值為______．【答案】【解析】如圖，當點在第一象限時，由拋物線的定義，可得，，所以，所以，所以．如圖，過點作于點，則，所以，所以，所以，所以直線的斜率，則直線，直線與聯立，得，設與的橫坐標分別為，，則，所以，所以以為直徑的圓的半徑，圓心到軸的距離，所以弦長為，解得；當點在第三象限時，由對稱性可得.綜上，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.黨的二十大報告提出：“全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地紅線，確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中.”糧食事關國運民生，糧食安全是“國之大者”，與社會和諧、政治穩定、經濟持續發展等息息相關，糧穩則天下安.現有某品種雜交水稻，從中隨機抽取15株作為樣本進行觀測，并記錄每株水稻的生長周期(單位：天)，按從小到大排序結果如下：939798101103104107108109110112116121124126已知這組樣本數據的分位數、分位數分別為.（1）求；（2）在某科研任務中，把該品種所有生長周期位于區間的稻株記為“高產稻株”，其余記為“低產稻株”.現從該品種水稻中隨機抽取3株，設其中高產稻株有株，求的分布列與數學期望（以樣本中高產稻株的頻率作為該品種水稻的一株稻株屬于高產稻株的概率）.解：（1）依題意，樣本數據的個數，因為，故分位數為第2項數據，即，因為，故分位數為第12項與第13項數據的平均數，即.（2）因為區間，樣本數據中共有10個數據位于該區間，故由題意，該品種水稻的一株稻株屬于高產稻株的概率為，則隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，且.，，故X的分布列為0123所以的數學期望.16.已知數列滿足，，數列滿足．（1）判斷數列的單調性；（2）求數列的前n項和．解：（1）由題可得，又因為，所以數列單調遞增．（2）由題意可得，①②－②得，故．17.如圖，在正三棱柱中，為的中點．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點，連接，且為的中點，則，因，則，所以四點過面，因為平面，平面，則，又因為，且為的中點，則，且，平面，可得平面，且平面，所以．（2）由（1）可得平面，平面，平面，所以，，以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，可得，，，設平面的法向量為，則，令，則，，可得，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知在曲線：上，直線交曲線于，兩點．（1）當不在直線上時，試問(，分別為，斜率)是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．（2）若為坐標原點，，求面積的最小值．解：（1）是定值，，曲線：，即，所以曲線是以為焦點的橢圓且，所以，則，所以曲線的方程為，設，根據對稱性可得，因為，所以，因為，所以，同理可得，所以.（2）若時、（或、），因為，所以（或），所以，當時聯立，則，解得、，所以，因為，設交橢圓的另一個交點為，所以直線的方程為，所以，則，所以，因為，當且僅當，即，時等號成立，所以，因為，所以面積的最小值為.19.已知函數，且的極值點為.（1）求；（2）證明：；（3）若函數有兩個不同的零點，證明：.解：（1）由，則，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以為的極大值點，即.（2）由（1）知，，要證，只需證，即，令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以，即，所以.（3）因為是的兩個不同的零點，所以，兩式相減并整理，得.設，由（2）知，所以要證，只需證，即證.設，下面只需證，設，則，所以在上單調遞增，從而，所以成立，從而.云南省普洱市2023-2024學年高二下學期7月期末統測數學試題注意事項：1．考查范圍：必修一、二；選擇性必修一、二、三．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得或，所以或，又，則或．故選：B．2.已知向量，若，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】依題意，，由，得，所以.故選：B3.已知數列的前項和滿足，則（）A.11 B.13 C.24 D.25【答案】C【解析】因為，所以.故選:C.4.若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數的值為（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由題設且，故，所以，雙曲線的漸近線方程為，其中一條與平行，所以，則．故選：A．5.2024年春晚魔術師劉謙再次重返舞臺，利用簡單的模具撲克牌向觀眾再次展示了魔術的魅力與神奇.某魔術師在表演時將8張不同色號的撲克牌分給3名觀眾，每個觀眾被分到的撲克牌數目不少于2張，且3名觀眾中沒有人被分到3張撲克牌，則不同的分配方法有（）A.2520種 B.1260種 C.420種 D.210種【答案】B【解析】因為將張不同色號的撲克牌分給名觀眾，每個觀眾被分到的撲克牌數目不少于張，且名觀眾中沒有人被分到張撲克牌，故只能是按一人張，一人張，一人張分配撲克牌，將張不同色號的撲克牌按，，分成三個組為，再交個組的撲克牌分給個觀眾有，故由分步計數原理共有種不同的分配方法.故選：B.6.函數在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，令，故.故當時，有最大值，當時，有最小值3，故所求值域為.故選：B.7.已知函數是奇函數，當時，，若圖象在處的切線方程為，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】的圖象在處的切線方程為，則，，當時，，，因為是奇函數，圖象關于原點對稱，的圖象在處及處的切線也關于原點對稱，所以，，即，所以，，．故選：D.8.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，則，因為，所以，所以；，因為，所以，所以，所以．故選:D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在復平面內，點對應的復數為z，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為點對應的復數為，所以，所以，故選項A錯誤；因為，所以，則，故選項B正確；因為，故選項C正確；因為，故選項D錯誤.故選：BC.10.一名射擊運動員射擊一次擊中目標概率為，各次射擊互不影響．若他連續射擊兩次，則下列說法正確的是（）A.事件“至多擊中一次”與“恰擊中一次”互斥B.事件“兩次均未擊中”與“至少擊中一次”相互對立C.事件“第一次擊中”與“兩次均擊中”相互獨立D.記為擊中目標的次數，則，【答案】BD【解析】對于A：事件“至多擊中一次”包含“恰擊中一次”和“兩次均未擊中”，故A錯誤；對于B：事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少擊中一次”，故B正確；對于C：事件“兩次均擊中”包含了事件“第一次擊中”，故C錯誤；對于D：依題意，所以，，故D正確；故選：BD11.化學中經常碰到正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式）?金剛石等的分子結構.將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為2，則（）A.正八面體的內切球表面積為B.正八面體的外接球體積為C.若點為棱上的動點，則的最小值為D.若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】對于A項，設該正八面體內切球的半徑為，由內切球的性質可知正八面體的體積，解得，故它的內切球表面積為，故A項正確；對于B項，設該正八面體外接球的半徑為，由圖知，是正方形，,在中，,利用對稱性知,故點為正八面體外接球的球心，則，所以正八面體外接球的體積為，故項錯誤；對于C項，如圖，因與是邊長為2的全等的正三角形，可將翻折到，使其與共面，從而得到一個菱形.連接與相交于點，此時,,則取得最小值為，故項正確；對于D項，易知，因為平面平面，所以//平面，所以，故D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.總體編號為01，02，…，19，20的20個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為_______.7816

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7181【答案】01【解析】從隨機數表的第一行的第列和第列數字開始由左到右選取的編號依次為，所以選出來的第5個個體的編號為.故答案為:.13.在中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知若則A=________，b=________.【答案】；【解析】由以及正弦定理得，，所以，所以，因為，所以.由正弦定理得，得，解得.故答案為：；.14.已知拋物線的焦點為，直線經過點交于兩點，兩點在的準線上的射影分別為，且的面積是的面積的4倍，若軸被以為直徑的圓截得的弦長為，則的值為______．【答案】【解析】如圖，當點在第一象限時，由拋物線的定義，可得，，所以，所以，所以．如圖，過點作于點，則，所以，所以，所以，所以直線的斜率，則直線，直線與聯立，得，設與的橫坐標分別為，，則，所以，所以以為直徑的圓的半徑，圓心到軸的距離，所以弦長為，解得；當點在第三象限時，由對稱性可得.綜上，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.黨的二十大報告提出：“全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地紅線，確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中.”糧食事關國運民生，糧食安全是“國之大者”，與社會和諧、政治穩定、經濟持續發展等息息相關，糧穩則天下安.現有某品種雜交水稻，從中隨機抽取15株作為樣本進行觀測，并記錄每株水稻的生長周期(單位：天)，按從小到大排序結果如下：939798101103104107108109110112116121124126已知這組樣本數據的分位數、分位數分別為.（1）求；（2）在某科研任務中，把該品種所有生長周期位于區間的稻株記為“高產稻株”，其余記為“低產稻株”.現從該品種水稻中隨機抽取3株，設其中高產稻株有株，求的分布列與數學期望（以樣本中高產稻株的頻率作為該品種水稻的一株稻株屬于高產稻株的概率）.解：（1）依題意，樣本數據的個數，因為，故分位數為第2項數據，即，因為，故分位數為第12項與第13項數據的平均數，即.（2）因為區間，樣本數據中共有10個數據位于該區間，故由題意，該品種水稻的一株稻株屬于高產稻株的概率為，則隨機變量的所有可能取值為0，1，2，