PAGEPAGE12.5平面對量應用舉例[核心必知]1．預習教材，問題導入依據以下提綱，預習教材P109～P112的內容，回答下列問題．(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的哪些問題？提示：距離、夾角等問題．(2)利用向量方法可以解決物理中的哪些問題？提示：可以利用向量解決與力、位移、速度有關的問題．2．歸納總結，核心必記(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”①建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，探討幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系．(2)向量在物理中的應用①物理問題中常見的向量有力、速度、位移等．②向量的加減運算體現在一些物理量的合成和分解中．③動量mv是向量的數乘運算．④功是力F與位移s的數量積．[問題思索]用向量解決幾何問題時，有時須要選擇合適的基底，你知道怎樣選擇合適的基底嗎？提示：所選擇基向量的長度和夾角應當是已知的．[課前反思](1)平面對量在平面幾何中的應用：；(2)平面對量在物理中的應用：.學問點1平面幾何中的平行、垂直問題講一講1.如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.[嘗試解答]法一：設正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴⊥，即DP⊥EF.法二：設正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以⊥，即DP⊥EF.類題·通法(1)向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法：方法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示和；③證明·的值為0；④給出幾何結論AB⊥CD.方法二：先求，的坐標，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再計算·的值為0，從而得到幾何結論AB⊥CD.(2)用向量法證明平面幾何中AB∥CD的方法：方法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示和；③找尋實數λ，使＝λ，即∥；④給出幾何結論AB∥CD.方法二：先求，的坐標，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共線的坐標關系x1y2－x2y1＝0得到∥，再給出幾何結論AB∥CD.以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中隨意三點都不共線的基礎上，才有∥得到AB∥CD.練一練1．已知在平行四邊形ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，且AE＝FC＝eq\f(1,4)AC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形．證明：設＝a，＝b，則＝－＝eq\f(1,4)－a＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，＝－＝b－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，所以＝，且D，E，F，B四點不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形.學問點2平面幾何中的長度問題講一講2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．[嘗試解答](1)證明：以C為坐標原點，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D為AB的中點，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴||＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，||＝eq\r(m2＋n2)，∴||＝eq\f(1,2)||，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E為CD的中點，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，設F(x,0)，則＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，＝(x，－m)．∵A，E，F三點共線，∴＝λ.即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)).則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴||＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).類題·通法利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數量積轉化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).練一練2．如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．解：設＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).學問點3向量在物理中的應用講一講3．在風速為75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西風中，飛機以150km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速和航向．[嘗試解答]設ω＝風速，va＝有風時飛機的航行速度，vb＝無風時飛機的航行速度，vb＝va－ω.如圖所示．設||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，則∠BAD＝45°.設||＝150，則||＝75(eq\r(6)－eq\r(2))．∴||＝||＝||＝75eq\r(2)，||＝75eq\r(6).從而||＝150eq\r(2)，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150eq\r(2)，即沒有風時飛機的航速為150eq\r(2)km/h，方向為北偏西60°.類題·通法利用向量法解決物理問題的步驟(1)抽象出物理問題的向量，轉化為數學問題；(2)建立以向量為主體的數學模型；(3)利用向量的線性運算或數量積運算，求解數學模型；(4)用數學模型中的數據說明或分析物理問題．練一練3．已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50N，一個質量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數μ＝0.02的水平面上運動了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g取10m/s2)解：如圖所示，設木塊的位移為s，則WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．將力F分解，它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小為|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分別為500eq\r(3)J和－22J.[課堂歸納·感悟提升]1．本節課的重點是平面對量在平面幾何中的應用，難點是平面對量在物理中的應用．2．要駕馭平面對量的應用(1)利用平面對量解決平面幾何中的平行、垂直問題，見講1；(2)利用平面對量解決平面幾何中的長度問題，見講2；(3)平面對量在物理中的應用，見講3.課下實力提升(二十一)[學業水平達標練]題組1平面對量在平面幾何中的應用1．已知直線l與x，y軸分別相交于點A，B，＝2i－3j(i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量)，則直線l的方程是()A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：選B由于i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分別在x軸，y軸上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直線l的方程為3x＋2y＋6＝0.2．在四邊形ABCD中，＝，且||＝||，那么四邊形ABCD為()A．平行四邊形B．菱形C．長方形D．正方形解析：選B由＝知四邊形ABCD為平行四邊形，由||＝||知?ABCD的鄰邊相等，∴四邊形ABCD為菱形．3．已知非零向量與滿意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB→,|AB→|)＋\f(AC→,|AC→|)))·＝0，且eq\f(AB→,|AB→|)·eq\f(AC→,|AC→|)＝eq\f(1,2)，則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形解析：選Deq\f(AB→,|AB→|)＋eq\f(AC→,|AC→|)是向量，方向上的兩個單位向量的和，它在∠A的平分線上，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB→,|AB→|)＋\f(AC→,|AC→|)))·＝0，知此三角形為等腰三角形，再由eq\f(AB→,|AB→|)·eq\f(AC→,|AC→|)＝eq\f(1,2)知∠A為60°，故此三角形為等邊三角形．4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則ED＝________.解析：以A為坐標原點，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(0，eq\r(3))，C(3，eq\r(3))，D(3,0)，＝(3，eq\r(3))，設＝λ，則E的坐標為(3λ，eq\r(3)λ)，故＝(3λ，eq\r(3)λ－eq\r(3))．因為BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq\f(1,4)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，||＝eq\f(\r(21),2)，即ED＝eq\f(\r(21),2).答案：eq\f(\r(21),2)5.如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為AB，BC的中點．求證：AF⊥DE(利用向量證明)．證明：設＝a，＝b，則＝a＋eq\f(1,2)b，＝b－eq\f(1,2)a，∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,4)a·b.又⊥，且||＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE.題組2向量在物理中的應用6．人騎自行車的速度是v1，風速為v2，則逆風行駛的速度為()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：選B由向量的加法法則可得逆風行駛的速度為v1＋v2.留意速度是有方向和大小的，是一個向量．7．一纖夫用纖繩拉船沿直線方向前行進60m，若纖繩與行進方向夾角為30°，纖夫的拉力為50N，則纖夫對船所做的功為________J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500eq\r(3)J.答案：1500eq\r(3)8．在水流速度為4eq\r(3)km/h的河水中，一艘船以12km/h的實際航行速度垂直于對岸行駛，求這艘船的航行速度的大小與方向．解：如圖所示，設表示水流速度，表示船垂直于對岸行駛的速度，以為一邊，為一對角線作?ABCD，則就是船的航行速度．∵||＝4eq\r(3)，||＝12，∴||＝||＝8eq\r(3)，tan∠ACB＝eq\f(4\r(3),12)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即船的航行速度的大小為8eq\r(3)km/h，方向與水流方向的夾角為120°.[實力提升綜合練]1．設a，b，c為同一平面內具有相同起點的隨意三個非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值肯定等于()A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B．以b，c為兩邊的三角形的面積C．以a，b為兩邊的三角形的面積D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：選A假設a與b的夾角為θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即為以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積．2．如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，則·等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．2D．3解析：選B·＝·(－)＝·－·，因為OA＝OB，所以在上的投影為eq\f(1,2)||，所以·＝eq\f(1,2)||·||＝2，同理·＝eq\f(1,2)||·||＝eq\f(9,2)，故·＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).3．已知△ABC滿意2＝·＋·＋·，則△ABC是()A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形解析：選C由題意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．4．已知一物體在共點力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下產生位移s＝(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W為()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：選DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.5．已知A，B是圓心為C，半徑為eq\r(5)的圓上的兩點，且|AB|＝eq\r(5)，則·＝________.解析：由弦長|AB|＝eq\r(5)，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)6．三個大小相同的力a，b，c作用在同一物體P上，使物體P沿a方向做勻速運動，設＝a，＝b，＝