教學內容2.1.2空間兩點間的距離教學設計20242025學年高二下學期數學湘教版（2019）選擇性必修第二冊授課人某某某教材分析（1）本節課的主要教學內容是空間兩點間的距離。空間兩點間的距離公式是在平面兩點間距離公式基礎上的拓展，是解析幾何的重要內容之一。它是溝通代數與幾何的橋梁，為解決空間幾何中的許多問題提供了有力的工具。（2）本節課主要介紹了空間兩點間距離公式的推導及其在空間幾何中的應用。學生通過對平面兩點間距離公式的回顧和類比，經歷從平面到空間的知識遷移過程，逐步推導得出空間兩點間的距離公式。在推導過程中，涉及到空間直角坐標系的建立、向量的坐標運算等知識，體現了數學知識的系統性和連貫性。（3）通過學習本節課，學生能夠掌握空間兩點間的距離公式，培養空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力。同時，學生能進一步體會解析幾何的思想方法，即通過建立坐標系，將幾何問題轉化為代數問題進行研究，從而提高運用數學知識解決實際問題的能力。此外，認識到數學知識之間的內在聯系，感受數學的嚴謹性和科學性，提高對數學的學習興趣。教學目標（1）會用數學的眼光觀察現實世界：通過創設實際情境，引導學生觀察并發現空間中兩點間距離問題的存在，理解研究空間兩點間距離的實際意義。能夠在具體的空間幾何問題中，準確地識別出需要計算兩點間距離的情境，培養學生的空間觀念和觀察能力。（2）會用數學的思維思考現實世界：通過回顧平面兩點間距離公式的推導過程，類比探究空間兩點間距離公式。在推導過程中，運用類比、歸納、演繹等數學思維方法，培養學生的邏輯推理能力和知識遷移能力。能夠運用空間兩點間距離公式解決相關的空間幾何問題，提高學生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力。（3）會用數學的語言表達現實世界：通過課堂互動和練習，幫助學生用準確、規范的數學語言描述空間兩點間距離問題，并能用公式準確表達空間兩點間的距離。能夠用數學語言清晰地闡述推導空間兩點間距離公式的思路和過程，培養學生的數學表達能力和交流能力。教學重難點（1）理解空間兩點間距離公式的推導過程，掌握空間兩點間的距離公式，并能運用公式解決空間幾何中的相關問題。（2）在推導空間兩點間距離公式的過程中，體會類比、轉化等數學思想方法，培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力。能夠將實際問題轉化為空間兩點間距離問題，并運用公式進行求解，體會數學與生活的緊密聯系。教學資源（1）多媒體設備，包括投影儀和電腦，用于展示教學課件和相關的練習題。（2）教學模型，如空間直角坐標系模型，用于直觀展示空間點的位置和坐標關系，幫助學生理解空間概念。（3）練習卡片，包含不同類型的空間兩點間距離問題的題目，供學生進行課堂練習和鞏固。教學過程一、復習引入師：同學們，在之前的學習中，我們已經了解了平面直角坐標系的相關知識。現在請大家思考一個問題：在平面直角坐標系中，已知兩點\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，如何計算這兩點間的距離呢？（等待1分鐘，學生思考）學生：根據勾股定理，我們可以得到平面兩點間的距離公式\(\vertAB\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)。師：非常好！大家回答得很準確。平面兩點間的距離公式在解決平面幾何問題中有著重要的應用。那么，在現實生活中，我們生活的空間是三維的，比如我們要確定一個物體在空間中的位置，就需要三個坐標。現在請大家想象一下，如果在空間直角坐標系中有兩點\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)，\(P_2(x_2,y_2,z_2)\)，我們該如何計算這兩點間的距離呢？這就是我們今天要學習的內容——空間兩點間的距離。接下來，讓我們一起探究《空間兩點間的距離》。二、探究新知環節一：類比平面，初步探究教師：我們已經知道了平面兩點間的距離公式，現在我們嘗試類比平面的情況來探究空間兩點間的距離。首先，我們回顧一下平面兩點間距離公式的推導過程。在平面直角坐標系中，我們通過構造直角三角形，利用勾股定理得到了距離公式。那么在空間直角坐標系中，我們是否也可以通過類似的方法來推導空間兩點間的距離公式呢？（引導學生思考，小組討論）學生：我們可以嘗試構造一個長方體，讓這兩點成為長方體的兩個相對頂點。教師：非常好的想法！我們就按照這個思路來進行探究。假設在空間直角坐標系中有兩點\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)，\(P_2(x_2,y_2,z_2)\)，我們以這兩點為長方體的兩個相對頂點，構造一個長方體，使得長方體的棱分別與坐標軸平行。（教師在黑板上畫出空間直角坐標系和長方體的示意圖，幫助學生理解）環節二：推導公式教師：現在我們來分析這個長方體。設長方體的三條棱長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)。那么\(a=\vertx_2x_1\vert\)，\(b=\verty_2y_1\vert\)，\(c=\vertz_2z_1\vert\)。我們要求的空間兩點\(P_1\)，\(P_2\)間的距離就是長方體的體對角線的長度。根據長方體體對角線的性質，我們可以先求出底面長方形的對角線長度。在底面長方形中，兩條鄰邊的長度分別為\(\vertx_2x_1\vert\)和\(\verty_2y_1\vert\)，根據勾股定理，底面長方形的對角線長度\(d_1=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)。然后，再看由底面長方形的對角線和長方體的高構成的直角三角形，這個直角三角形的斜邊就是長方體的體對角線，也就是空間兩點\(P_1\)，\(P_2\)間的距離\(\vertP_1P_2\vert\)。根據勾股定理，我們可以得到：\(\vertP_1P_2\vert=\sqrt{d_1^2+c^2}=\sqrt{(\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2})^2+(z_2z_1)^2}=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)（教師在黑板上詳細推導過程，邊推導邊講解）教師：這樣，我們就得到了空間兩點間的距離公式：對于空間兩點\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)，\(P_2(x_2,y_2,z_2)\)，它們之間的距離\(\vertP_1P_2\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。環節三：特殊情況討論教師：接下來，我們討論一下空間兩點間距離公式的特殊情況。當其中一點為坐標原點\(O(0,0,0)\)，另一點為\(P(x,y,z)\)時，根據空間兩點間的距離公式，\(\vertOP\vert=\sqrt{(x0)^2+(y0)^2+(z0)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)。這就是空間中一點到原點的距離公式。（引導學生思考并理解特殊情況）學生：我明白了，這就相當于把原點的坐標代入到一般的空間兩點間距離公式中。教師：非常好！通過這種特殊情況的討論，我們可以更深入地理解空間兩點間距離公式的本質。三、鞏固練習練習一：基礎應用教師：現在我們來做一些練習題，鞏固一下所學的知識。已知空間兩點\(A(1,2,3)\)，\(B(4,5,6)\)，求\(A\)，\(B\)兩點間的距離。（學生獨立完成，教師巡視指導）學生：根據空間兩點間的距離公式\(\vertAB\vert=\sqrt{(41)^2+(52)^2+(63)^2}=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3}\)。教師：非常好！大家計算得很準確。在計算過程中，要注意坐標的對應關系，按照公式準確計算。練習二：變形應用教師：接下來，已知點\(P(x,0,0)\)到點\(A(1,2,3)\)的距離為\(\sqrt{14}\)，求\(x\)的值。（引導學生分析題目，列出方程）學生：根據空間兩點間的距離公式可得\(\sqrt{(x1)^2+(02)^2+(03)^2}=\sqrt{14}\)。教師：很好！那接下來如何求解這個方程呢？（學生繼續求解，教師指導）學生：對方程兩邊同時平方可得\((x1)^2+4+9=14\)，即\((x1)^2=1\)，解得\(x=2\)或\(x=0\)。教師：非常棒！在求解這類問題時，我們先根據距離公式列出方程，然后通過解方程求出未知數的值。練習三：綜合應用教師：已知空間三點\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，判斷\(\triangleABC\)的形狀。（引導學生思考，小組討論）學生：我們可以先求出三角形三邊的長度，然后根據三邊長度的關系來判斷三角形的形狀。教師：非常好的思路！那請大家計算一下三邊的長度。（學生計算，教師巡視）學生：根據空間兩點間的距離公式可得\(\vertAB\vert=\sqrt{(01)^2+(10)^2+(00)^2}=\sqrt{2}\)，\(\vertAC\vert=\sqrt{(01)^2+(00)^2+(10)^2}=\sqrt{2}\)，\(\vertBC\vert=\sqrt{(00)^2+(01)^2+(10)^2}=\sqrt{2}\)。教師：很好！三邊長度都相等，那么\(\triangleABC\)是什么三角形呢？學生：等邊三角形。教師：非常正確！通過這個練習，我們可以看到空間兩點間距離公式在判斷空間幾何圖形形狀方面的應用。四、課堂小結教師：通過今天的課程，我們學習了空間兩點間的距離。我們從平面兩點間的距離公式出發，通過類比和推導，得到了空間兩點間的距離公式\(\vertP_1P_2\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。在推導過程中，我們運用了類比、轉化等數學思想方法，將空間問題轉化為平面問題進行解決。同時，我們通過做練習題，掌握了空間兩點間距離公式的應用，包括基礎計算、變形求解和綜合應用等。希望同學們在今后的學習中，能夠熟練運用空間兩點間的距離公式解決相關的空間幾何問題。現在，請大家回顧一下今天所學的內容，誰能總結一下？學生：今天我們學習了空間兩點間的距離公式，通過類比平面兩點間距離公式推導出來的，還做了一些練習題來鞏固公式的應用。教師：總結得很好！希望大家能夠在課后繼續復習和鞏固所學的知識，多做一些相關的練習題，加深對空間兩點間距離公式的理解和應用。作業設計（1）書面作業：教材課后練習題中關于空間兩點間距離的題目，要求學